APOS理論下初中數學核心概念及其教學策略探究

陳國華

[摘 要] 作為數學思維的基本形式和理解數學科學知識體系的基礎，數學概念的教學已經成為培養學生數學素養的必然要求. 本文探討了APOS理論下初中數學核心概念及其教學策略，以北師大版初中數學“函數”為例，進行深刻闡述.

[關鍵詞] 初中數學；核心概念；教學策略；函數

作為數學思維的基本形式和理解數學科學知識體系的基礎，數學概念的教學已經成為培養學生數學素養的必然要求. APOS理論是在數學概念學習過程中產生的一個結論，更能揭示數學概念的本質過程，體現學生理解數學概念的心理特點. 因此，在APOS理論下研究初中數學核心概念及其教學策略具有重要的意義.

核心概念的內涵及特征

數學核心概念是在一定數學概念體系中起著關鍵性作用、與其他概念是以一定的數學思想或方法聯系的、包含著豐富下位概念的一類概念. 從數學學科的角度分析，數學核心概念具有聯系性、奠基性以及豐富性等特征. 這些特征要求我們在識別、篩選核心概念時，首先要確定在一定的概念體系中；其次，厘清數學概念的發展脈絡；最后，選取那些起著核心作用、能夠生成其他下位概念的概念，這些概念或是標志數學方法重大變革，或是反映重要數學思想，或是反映本源的概念. 從數學學習的角度分析，數學核心概念的學習具有基礎性和可生長性特征. 這些特征要求教師在初中數學核心概念教學中遵循系統性和整體性特征，需要在一個更長教學階段中通過其他數學內容或與其生成的概念加深學生對數學核心概念的理解.

初中數學核心概念教學的意義

一是加深對數學學科特點的理解. 新課標中指出教師要關注數學概念中的“核心概念”，關注抽象數學概念的形成過程與實際背景，在教學中要將核心概念貫穿于初中數學的始終，這些新課程實施的要求體現了核心概念教學的重要意義.

二是提高數學整體的認識. 教師應通過聯想、類比、知識的遷移和應用等方式，找到某些重要數學內容，并以此為載體將數學知識串聯起來，讓學生充分感受數學知識的整體性，體會各個知識點之間的聯系，提高具體問題的解決能力. 而處于一定概念體系中的核心概念具有上述教育價值，能夠為新課程教學提供一個重要思路.

以函數這一核心概念為例，北師大版初中數學教材中涉及的函數概念的下位概念分別為一次函數、反比例函數、二次函數以及銳角三角函數. 同時，許多立體幾何、求最值等問題都可以轉化為函數問題. 此外，初中函數概念教學是高中階段學習映射條件下函數概念的基礎. 所以，在整個初中數學教學中研究函數這個核心概念具有重要的意義.

APOS理論下初中數學核心概

念教學策略

杜賓斯基提出的APOS理論是以學生建構數學概念的思維過程為起點，通過活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Scheme）四個階段，引導學生再次經歷數學史上的概念創造與發展過程，幫助學生構建數學概念，從而培養學生的思維能力. 筆者結合多年實踐，在APOS理論本土化教學中提出了如圖1所示的初中數學概念教學循環結構模式.

1. 透過“數學現實”，導入概念背景

作為產生數學知識前后的邏輯連接，數學現實更能體現現實問題和數學背景知識之間的內部聯系，教師應在課堂教學中讓學生主動地感受和體驗前人研究和創造的過程，并在學生已有認知的前提下將教師講解的知識作為新知結構的原始材料，通過內化做出合理解釋，并將所學知識不斷完善到自己原有的認知框架中.

2. 透過“現實情境”，初建概念形式

在“概念的形式初建”階段，教師應結合學生已有的認知結構和認知水平，有計劃地在已設置的“問題情境”中，透過實際生活中耳熟能詳的概念素材和“問題情境”中產生的沖突與矛盾，激起學生學習的欲望和學習的動機，積極主動地初步建構數學概念.

3. 透過“概念的鞏固和應用”，細化概念符號

在“概念的符號細化”階段，教師必須對數學概念內部進行再加工與再提煉，通過精心設計習題和例題幫助學生進一步認識、鞏固和應用數學概念，提煉出數學概念的本質屬性. 值得一提的是，在概念鞏固時，為了使學生達到以不變應萬變的效果，教師應不斷變換數學符號的多種形式. 在概念應用時，為了充分理解數學概念的本質屬性，應通過針對性強的變式訓練活動，使概念的標準符號和非標準符號之間達到靈活變換，進而多角度地充實學生對數學概念的理解和應用.

4. 透過“概念的形式化與抽象化”，明確概念的本質

在“概念的本質明確”階段，為了使學生形成一個穩定的概念，將鞏固和應用后的數學概念上升為數學概念的形式化與抽象化. 要深刻理解數學概念的實質，教師應采用數學化的語言給數學概念進行定義，反思和提煉學生已有的“數學現實”和教師設計的數學情境，從而實現數學概念內部的理想化加工和再提煉的“數學化”過程.

5. 透過“概念的聯系”，聯結概念系統

在該階段中，教師應及時幫助學生回顧和總結課堂知識，設法搭建新、舊知識的內在關聯，挖掘其課程中所蘊含的數學思想方法，讓學生理性思考數學思維和數學觀念，不斷完善學生的認知結構.

初中數學核心概念教學案例

為了研究的方便，本文選擇北師大版初中數學教材“函數”部分知識為例進行深刻闡述.

1. 透過“數學現實”，導入概念背景

在上課前，要求學生通過上網查閱、聆聽家長講述等方式了解函數概念的背景資料，廣泛收集函數概念產生與發展歷程的圖片以及國內關于函數概念的產生的相關內容. 在課堂上組織學生相互交流和探討，體會函數概念產生的背景.

2. 透過“現實情境”，初建概念形式

通過糧店購買大米、乘車去學校等實際案例創設活動情境，引發學生積極思考哪些是常量、哪些是變量，感悟常量和變量的關系，讓學生在感性素材中構建函數概念. 同時，深刻理解引入“函數”概念的必要性. 例如，筆者在教學中設計了以下現實情境：

教師每天開車上班，小車的耗油量平均為0.1升/公里，并且通過小車自身攜帶的行程儀可知，學校到自己家中的距離為30公里.

（1）隨著油費的上漲和下跌，教師每天需要支付的油費是如何變化的？請學生思考哪些量是變化的，哪些量是不變的.

（2）若93號汽油的價格為x元，教師每天需支付的油費為y元，則它們之間的關系是什么，怎樣應用解析式進行表示？

3. 透過“概念的鞏固和應用”，細化概念符號

為了突破教學的重難點知識，理解函數概念的實質，應用y=x進一步理解函數的兩個變量，理解y是隨著x的變化而變化，只要x的值確定了，則y的值也就隨著確定了. 并理解解析式中x，y的形式符號定義，要求學生應用其他符號寫出函數的解析式，進一步拓展應用概念的認識.

4. 透過“概念的形式化與抽象化”，明確概念的本質

除了文字表述外，函數還可以通過解析表達式進行表示. 當教師提及某個具體函數時，學生能夠聯想到函數的概念、解析表達式等具體內容. 例如，在概念的形式化與抽象化階段，筆者設置了以下題目組織學生抽象函數概念：

（1）填表格.

（2）y是x的函數嗎，為什么？那么x是y的函數嗎？

（3）若輸入一個實數a，會輸出一個實數b，則b是a的函數嗎？

5. 透過“概念的聯系”，聯結概念系統

通過回顧學生學到了哪些數學知識、學到了哪些數學思想方法等方式，強化函數概念的內涵和外延，真正理解函數是學生進行分析、綜合、比較、抽象、概括等一系列過程，并強化常量和變量之間的內在關聯，領悟函數概念形成過程中歸納和抽象概括的思維. 同時，布置課后練習題目，進一步理解和深化函數概念.

綜上所述，初中數學核心概念教學不可能一勞永逸，而是按照“導入概念背景、初建概念形式、細化概念符號、明確概念本質、聯結概念系統”五個階段組織學生學習. 只有這樣，才能不斷提高初中學生對于核心概念的理解和認識，才能不斷提高初中數學教學的質量.