淺談高中數(shù)學中函數(shù)和方程思想的應用例證

靳祥利

摘要：高中數(shù)學相對于初中和小學已經相對比較復雜，在邏輯思維上有了更高層次的要求，這就要求學生在解題中熟練掌握基本的思想概念，運用基本思維解題。在數(shù)學的教學過程中也應該做思維邏輯上的引導鍛煉。進一步分析函數(shù)與方程思想的特點，將邏輯思維解題運用到具體實踐中加以分析。

關鍵詞：高中數(shù)學 函數(shù)和方程 解題思想 實踐應用

高中數(shù)學中函數(shù)方程極為重要，這不僅是表現(xiàn)在課本所占比重上更是表現(xiàn)在實際的解題過程中，是對于數(shù)學教學中的數(shù)學能力和數(shù)學本質上的更高層次的要求和體現(xiàn)。對于高中生而言，這一解題能力的培養(yǎng)比固定解題步驟就題論題來的更有意義。

一、關于函數(shù)與方程思想

（一）函數(shù)思想

從某種意義上講，函數(shù)思想就是在變化中找尋動態(tài)的不變，針對具體的數(shù)量關系建立起函數(shù)關系或是構造函數(shù)，并利用建立的函數(shù)關系性質和函數(shù)圖像來解決分析復雜問題，將復雜問題簡單化以最終解決題目。解決函數(shù)問題首先具備函數(shù)思想，用思維邏輯構造整個解題思路，以不變應萬變，通過具體的觀察和分析把握解題關鍵，建立最終函數(shù)關系來分析解決具體問題。

（二）方程思想

數(shù)學的任何思維活動都是建立在數(shù)學思想的基礎之上的，與其說解決問題所需要的是精確的計算和公式處理，不如說所有的步驟都是建立在數(shù)學思想上，真正的解題策略不是步驟而是思路也就是數(shù)學思想，數(shù)學方法的運用在數(shù)學思想中實現(xiàn)具體反映，所以可以說數(shù)學的關鍵是數(shù)學思想，所謂方法只是思想指導下的行為體現(xiàn)而已。方程思想主要是通過對數(shù)學問題中變量的分析，把握其中直接間接的關系，將隱含的或是表明的具體關系用方程或是方程組的形式呈現(xiàn)在具體的解題過程中，使得復雜的關系條件簡單化，變得條理清晰分明，在構造方程的過程中需要充分了解和運用方程的性質，學會轉化和分析，將文字轉化為關系式，這個過程需要學生對整個的方程概念有足夠了解和認識，用方程的思維去觀察和分析，最終達到解決和處理問題的目的。

二、關于解題思想的運用

（一）數(shù)學方法和數(shù)學方法總論

方法一般認為是指研究或認識的某種途徑和理論，從理論和現(xiàn)實實踐中把握最合理的解決方案和操作手段，方法也就是方式和途徑選擇，所以方法從科研的角度上講，是人們用以研究問題、解決問題的工具和手段。數(shù)學方法是在數(shù)學領域中所講的概念，主要是指數(shù)學活動過程中的途徑、程序及操作手段。狹義上所認為的數(shù)學方法是指處理數(shù)學問題過程中所采取的各種途徑和手段，而廣義上又可以將這一概念擴展理解為對某一具體研究對象的性質進行分析和總結，最終構建數(shù)學模型的行為，使得整個的數(shù)學解題概念更加的邏輯性，遵循其中的符號意義和公式公理，在這一基礎之上對數(shù)學符號進行符合邏輯的運算和推演，從而進一步的揭示研究對象的本質規(guī)律，找到符合其特點的最佳解決方法，數(shù)學步驟只是解決基本的數(shù)學問題，或復雜或簡單，但基本數(shù)學思想構建的是一種解決問題的思想，它已經不僅僅局限在解決數(shù)學問題上，而是會受益在日常生活的方方面面，是一種分析問題解決問題更加客觀理性的思維方法。數(shù)學思想分為多種類型，方程思想和函數(shù)思想是屬于最基本的概念型數(shù)學思想，這類思想需要建立在相關的數(shù)學概念的背景基礎之上，這就要求學生和教師充分理解和把握數(shù)學的基本理論概念，做到靈活掌握運用，從而在熟練的解題思路中形成方程和函數(shù)解題的數(shù)學思維。

（二）函數(shù)與方程思想運用

高中數(shù)學問題中涉及多種函數(shù)類型，一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、復合函數(shù)，等等。與之相配合使用的少不了方程，當然還有不等式問題和數(shù)列問題，這也恰恰從另一個方面論證了函數(shù)思想方法的應用涉及多種方面，應用范圍面十分廣泛，在整個的高中數(shù)學中屬于至關重要的解題思想。在具體的解題過程中要注意把握函數(shù)的基本性質，包括定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性，等等，還要充分結合其他的解題思想，如圖形結合、分類討論，化歸轉化，將文字的條件轉化為更為直觀的函數(shù)圖像，化繁為簡、化難為易、化未知為已知，列出其中關聯(lián)的數(shù)量關系，建立方程或者方程組，進一步分析變化的特殊和一般。以實際例題說明，已知，（a、b、c∈R），則有（ ）；（A） （B） （C） （D）

解法一：依題設有：a·5-b+c=0

∴是實系數(shù)一元二次方程的一個實根；∴△≥0∴故選（B）

解法二：去分母，移項，兩邊平方得：≥10ac+2·5a·c=20ac

∴故選（B）。解法一通過簡單轉化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點，運用方程的思想使問題得到解決；解法二轉化為b2是a、c的函數(shù)，運用重要不等式，思路清晰，水到渠成。當然，針對具體的數(shù)學問題，首先要考慮是否可以用一個代數(shù)式抽象成為一個函數(shù)，將方程轉化為函數(shù)關系，將字母視為基本變量，再針對變量考慮是否可以符合基本函數(shù)，圖像是怎樣的，通過轉化為的函數(shù)運用函數(shù)的不同類型性質和圖像來進一步分析解決問題。

比如，已知彈簧的長度y（厘米）在一定的限度內是所掛重物質量 x（千克）的一次函數(shù).現(xiàn)已測得不掛重物時彈簧的長度是6厘米，掛4千克質量的重物時，彈簧的長度是7.2厘米，求這個一次函數(shù)的關系式。分析：已知y與x的函數(shù)關系是一次函數(shù)，則關系式必是y=kx+b的形式，所以要求的就是系數(shù)k和b的值.而兩個已知條件就是x和y的兩組對應值，也就是當x=0時，y=6；當x=4時，y=7.2。可以分別將它們代入函數(shù)式，進而求得k和b的值。設所求函數(shù)的關系式是y=kx+b，根據(jù)題意，得b=6①，4k+b=7.2②，解這個方程組，得b=6，k=0.3所以所求函數(shù)的關系式是：y=0.3x+6。不是所有的問題都可以簡單的將字母轉化為函數(shù)來進行處理，有必要的話也可以考慮建造輔助性函數(shù)來幫助自己解決更為復雜的數(shù)學問題，對于一個等式問題，可以試著將等式看成含有未知數(shù)的方程加以思考處理，在面對方程時需要明晰方程性質，考慮方程根的正負問題以及相對區(qū)域范圍，思維的形成離不開重復的演練和熟悉，這樣才能使自己靈活的掌握和運用這些基本思想來解決多變的數(shù)學具體問題。以應用型題目為例，在解決這類題目之前首先要明白命題意圖和題目所表達的條件意思，將文字抽象為數(shù)學性的表達語言，建立基本的數(shù)學模型和關系式，在這個過程中運用函數(shù)的性質和圖像等知識來把握分析，其實最根本的就是找準變量之間的關系，列出函數(shù)關系式，表現(xiàn)在一般的題目中也就是關于基本未知數(shù)的方程式，這其中需要主要的是函數(shù)未知數(shù)的定義域和值域的問題，在沒有明確的表明限制條件的情況下也要注意考慮實際問題是否符合，根據(jù)實際問題情況把握未知數(shù)的取值范圍，列出準確的方程式，當然這一過程中可以盡可能地利用圖像，圖像的直觀反映不僅有利于發(fā)現(xiàn)關鍵，在某種程度上還有一定的檢驗和提醒的作用。

三、結束語

數(shù)學不只是在教育中占據(jù)一席之地，更是一個國家富強的重要支撐。僅僅讓學生通過數(shù)學的學習掌握基本的知識和公式理念是不夠的，更為重要的是使他們在數(shù)學的學習中，在解決具體的數(shù)學問題中把握住邏輯思維的方法，函數(shù)與方程的思想不僅作為高考的重要考點存在，更是人生各種問題處理的理性思考，在整個的成長和生活中都具有十分重要的意義。

參考文獻：

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