關于大學數學教學的探討

孫小康

摘要：結合近幾年來課程中的教學實踐，針對模塊化教學方法的弊端，只重視講授教材內容忽視數學學科之間的聯系，就更新教學觀念，轉變教學思想，改進教學方法等方面進行了深入的探討。

關鍵詞：微積分；高等數學；復變函數

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）32-0210-02

復變函數是理工科的專業基礎必須課.在本科數學專業，復變函數論在整個課程體系中起著承上啟下的重要作用.

采取科學而有效的教學方法，將煩瑣而復雜的知識進行合理的梳理和整合，讓學生更輕松更容易地接受和理解知識.

多元函數的基本概念：設D是開集，如果對于D內任意兩點，都可用折線連接起來，且該折線上的點都屬于D，則稱開集D是連通的.聚點：設E是平面上的一個點集，P是平面上的一個點，如果點P的任何一個鄰域內總有無限多個點屬于點集E，則稱P為E的聚點.

如果函數z=f（x，y）在點（x，y）的某鄰域內有定義，并設P′（x+Δx，y+Δy）為這鄰域內的任意一點，則稱這兩點的函數值之差f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）為函數在點P對應于自變量增量Δx，Δy，的全增量，記為Δz，即 Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）.

如果函數z=f（x，y）在點（x，y）的全增量Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），其中A，B不依賴于Δx，Δy，而僅與x，y有關，ρ=■，則稱函數z=f（x，y）在點（x，y）可微分，AΔx+BΔy稱為函數z=f（x，y）在點（x，y）的全微分，記為dz，即dz=AΔx+BΔy，函數若在某區域D內各點處處可微分，則稱這函數在D內可微分.如果函數z=f（x，y）在點（x，y）可微分，則函數在該點連續.

可微的條件：定理1（必要條件） 如果函數z=f（x，y）在點（x，y）可微分，則該函數在點（x，y）的偏導數■、■必存在，且函數z=f（x，y）在點（x，y）的全微分為

dz=■Δx+■Δy.

一元函數在某點的導數存在與微分存在等價，但多元函數的各偏導數存在，全微分不一定存在.可舉例說明多元函數的各偏導數存在并不能保證全微分存在.

定理2（充分條件） 如果函數z=f（x，y）的偏導數■、■在點（x，y）連續，則該函數在點（x，y）可微分.

習慣上，記全微分為dz=■dx+■dy.

通常可以將二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和稱為二元函數的微分符合疊加原理，全微分的定義可以推廣到三元及三元以上函數：

du=■dx+■dy+■dz.

問題1：能否找到一充分必要條件，準確地刻畫全微分的性質.

問題2：能否找到一個處處連續處處不可微的例子.

問題3：如果是面上的曲線弧，則定義對弧長的曲線積分為：

■f（x，y）ds=■■f（ξ■，η■）Δs■

誤差分析：1.（x，y，z）為被積函數時，函數取點近似替代，是在一個體積微元取值，不一定取到曲線上的函數之值，在實數域討論三元積分是否有意義？

2.Δs=■是用線段長近似替代曲線長，用符號：Δs=Δx+iΔy是否更合理？

數學是一門最能激發學生自由本能、創新意識的學科，復變函數的學習是建立在高等數學學習的基礎上的，但它的抽象性和邏輯性遠遠超過了數學分析和高等數學，許多概念和結論在表述形式上雖高度相似，但二者之間的意義卻相去甚遠，目前部分院校對教材知識結構安排不合理，缺乏新意，內容剪輯不合理，嚴重影響教師和學生的使用，對數學的教學極為不利.

參考文獻：

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