高中數學解題教學中的變式訓練探討

王旭

摘要：數學教學作為高中教學的重要組成部分，數學學習的好壞，不僅影響到學生的學習成績，還關系到學生的高考，甚至今后的發展，高中數學教學的重要性不言而喻。尤其是數學解題教學，不僅可以讓學生掌握更多的解題技巧，還可以提升學生的思維能力，已經成為了高中數學教師教學的重點。為了能夠為高中數學解題教學提供更多的參考，本文首先闡述了變式訓練的基本概念，然后分析了高中數學解題教學過程中存在的問題，最后針對高中數學解題教學中變式訓練的開展進行了探討。

關鍵詞：高中數學 解題教學 變式訓練

對高中階段的學生而言，數學科目的學習對他們的影響至關重要，高中數學教師在教學過程中一定要利用各種有效的教學方法傳授學生更多的解題技巧。變式訓練的提出，能夠為高中數學解題教學提供更多的參考，通過變式訓練，學生能夠從中獲取更多的解題思路，幫助學生解決問題的同時，也培養了學生的思維能力，促進了學生的全面發展。

一、變式訓練的基本內容分析

何為變式訓練？所謂變式訓練指的是數學教師對公式、定理、概念等數學命題進行巧妙轉化，在不改變本質因素的情況下，讓學生充分掌握數學中的本質屬性，逐漸提升思維能力的過程，這就是變式訓練。

二、高中數學教學過程中存在的問題

1.數學教師教學觀念陳舊

受到傳統教學觀念的束縛，高中數學教師在進行教學的時候會受到高考功利的影響，關注的只是學生的考試成績以及排名，在學生對知識的理解和運用方面重視程度嚴重不夠。其實，高中數學是一門應用性非常強的學科，尤其是涉及到應用性以及邏輯性較強的知識內容時，如果只傳遞給學生一定的理論知識，但不加強學生對所學知識進行實踐的話，學生將會認為數學學習非常枯燥，再加上高中數學確實存在一定的難度，久而久之，學生將逐漸失去對數學學習的興趣，最后無法運用所學教學知識去解決實際遇到的問題，從而不利于培養優秀的數學人才。

2.數學教師教學方式落后

在進行教學的過程中，因為受到傳統應試教育觀念的束縛，許多高中數學教師的解題教學方式缺乏一定的科學性和合理性。在實際的教學過程中，高中教師仍然“單向式”地向學生傳授知識內容，將自己視為教學的中心，忽視了學生的主觀感受，也忽視了學生的接受能力。在這種“滿堂灌”的教學形式下，學生只能被動地接受知識的“洗禮”，聽從教師的指揮，按部就班地完成教師布置的教學任務，這種教學方式對學生思維能力的培養將其不利。

三、變式訓練在高中數學解題教學中的應用

1.一題多變，提高學生解題的思維深度

一題多變是指將一道數學母題合理地演變出多道子題。高中數學教師在開展教學活動的時候，可以選擇學生出錯率較高的題型進行講解，將其演變成具有不同解題思路和方法的數學題，培養學生從不同的角度思考問題，理解題目的意義，通過對改變的數學題目的聯系，提高學生的思維深度。所以，在實際教學操作的時候，數學教師一定要突破傳統教學觀念的限制，不能單純地為了解題而解題，而是要培養學生的解題思維，提升學生的應變能力，讓學生在解題過程中學會舉一反三，為學生今后的發展奠定基礎。

例如，面對這樣一道數學題：已知圓O的方程x2+y2=r2，求經過圓上一點M（x0，y0）的切線方程。高中數學教師在進行這道數學題的教學過程中，可以將這道母題變式成三道子題。

第一，已知M（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2的內部（異于圓心O），請求出直線x0x+y0y=r2和圓O總共有多少個交點？

第二，已知M（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2的外部，那么直線x0x+y0y=r2代表的幾何意義是什么？請說明。

第三，已知M（x0，y0）在圓O：x2+y2=r2的內部（異于圓心O），請證明：過M點的弦（直徑除外）的兩個端點在圓上兩切線的交點軌跡為直線x0x+y0y=r2。

在解決該題的時候，通過變式訓練，讓學生能夠掌握如何求出過已知圓上一點的切線問題，數學教師根據學生的接收情況，從中總結出不同題目的相同規律，進而提高學生的解題技巧，深化學生對教學內容的理解。

2.一題多解，擴展學生的思考范圍

一題多解是變式訓練的另一種方法。通過一題多解，學生的數學思維將會得到充分的激發，數學教師在教學過程中需要向學生強調各已知條件之間的聯系，不要局限于對單一已知條件的思考，從而導致思維受到限制，無法展開，最終造成解題困難。其實，一題多變的解題方式，從名稱上便能得知，主要是訓練學生解題的靈活性和發散性。

例如，在面對：如果sin2x+cosx+a=0存在實根，那么a的取值范圍是多少？的時候，我們可以嘗試多種解題方法。

第一，原方程sin2x+cosx+a=0可以變換成cos2x-cosx-1=a，假設a是為x的函數，從已知條件可以得到：cosx的取值范圍在-1至1之間，所以a=（cosx-1/2）2-5/4，若cosx為1/2的時候，a是最小值，此時a=-5/4；若cosx為-1的時候，a是最大值，此時a=1，。因此，該題中a的取值范圍為（-5/4，1），這表明如果a處在（-5/4，1）區間內，cosx一定在（-1，1）之間取值，與x有實數根相對應。

第二，假設cosx=m，原方程可以轉化為：1-m2+m+a=0，從而得到函數f（m）=-（m2-m+1/4）+5/4+a，如果方程有（-1，1）中的實數解，則說明二次函數f（m）的圖像在區間（-1，1）內和m軸存在交點。然后，再結合圖形進行解答，當拋物線和m軸在（-1，1）區間內有一個交點，當且僅當f（-1）f（1）≤0的時候，也就是（1-a）（-1-a）≤0，此時可以得到a的取值范圍為（-1，1）；當拋物線和m軸在（-1，1）區間內存在兩個交點，并且a的取值范圍在（-5/4，-1）的時候，y=f（m）和m軸在（-1，1）內存在交點，說明方程存在實數解。

3.多題歸一，培養學生的思維能力

高中數學的學習，基本上都是考察學生的理論知識應用能力，盡管每次考試的題量非常多，但是都是考察學生對理論知識的理解和應用，通常都是在原有的數學規律和常規解題模式上進行變化。高中數學教師在實際教學過程中，可以利用直線方程帶入圓錐曲線方程的方法，設計成考查一元二次方程知識的數學試題，也可以利用方程根和系數的關系改變成新的數學試題，但是萬變不離其宗，無論怎么變，考查的都是幾何基本方法的掌握，這就是數學解題教學多題歸一思想的具體體現。

例如，求出：x+2x2+3x3+4x4+…+nxn（x不為0）。

在解這道題的時候，先假設{an}是一個等差數列，{bn}是各項數列都為正數的等比數列，并且a1和b1都為1，a3與b5的和為21，a5與b3的和為13，（1）求出{an}和{bn}通項公式，（2）求數列{an/bn}的前n項和Pn。分析之后，我們不難發現，這道題運用了“錯位相減法”，如果數列{Rn}滿足Rn=an·bn，并且{an}是等差數列，{bn}是等比數列，那么數列{Rn}的前n項和可以使用“錯位相減法”求出。

四、結語

總而言之，高中數學知識的學習具有一定的難度，再加上學生面臨高考的壓力，如果數學學習不理想，將會對學生的自信心造成嚴重打擊。因此，高中數學教師需要在進行解題教學的過程中應用變式訓練的教學思路，提升學生的思維能力，讓學生掌握更多的解題技巧，促進學生數學成績的提升。

參考文獻：

[1]胡曉明.關于高中數學解題教學中的變式訓練的相關研究[J].中國校外教育，2016，（07）：59-60.

[2]王志華.變式訓練在高中數學解題教學中的應用[J].中學生數理化，2016，（05）：84-85.

[3]王基華.變式訓練在高中數學解題教學中的應用[J].中學數學教學參考，2016，（07）：69-70.

[4]蘭國強.探討高中數學解題教學中的變式訓練[J].數學學習與研究，2016，（08）：26.

[5]孫凱禎.重視高中數學解題教學中的變式訓練[J].新課程，2015，（01）：53.