把時間還給學生，把機會讓給學生

金明+賀育林

[摘 要] 本文通過《正弦、余弦函數的圖像》教學實踐，說明課堂教學中如何注重知識的形成過程，如何讓學生多思考、多動手實踐、多分析對比、多探究、多合作交流. 課堂教學中教師重在導，以問題驅動學生思考、實踐、交流、體驗、感悟. 在教學過程中，教師通過有層次地設置問題來引發學生的思考，培養學生發現問題、提出問題的能力.有意識地把本節課作為一個很好的提出問題的載體，去培養學生的問題意識，訓練學生的數學思維，提高學生自主探索和合作學習的能力.

[關鍵詞] 感悟；對比反思；體驗過程；誘發探究；教學思考

[?] 問題提出

“課堂教學以學生為主體，教師為主導”是新課標教學理念. 但在實際的課堂教學中，我們很多教師由于受應試教育的影響較深，總是自覺或不自覺地搶占了學生表現的機會. 如該學生“講”的，教師代替了學生講；該學生動手“做”的，教師代替了學生做；該學生動腦“思考”的，教師給予時間較短，學生末能充分思考；等等.

《正弦、余弦函數的圖像》這節課的教學很多教師認為很簡單，用電腦操作一下，讓學生體驗一下正弦、余弦函數的圖像的得出過程，歸納出“五點作圖法”，然后通過大量的作圖練習鞏固所學知識即可. 這種不注重知識的形成過程、不重視學生的體驗的教學在現實中普遍存在. 課堂教學如何落實以學生為主的理念，如何把時間還給學生，把機會讓給學生？筆者通過一個課例加以說明，以下是《正弦、余弦函數的圖像》的教學實錄及反思.

[?] 課堂教學實錄

1. 讓學生做實驗，感悟函數圖像

師：同學們，我們已經學習了三角函數的定義及應用（同角三角函數的關系及誘導公式），現在我有一個問題：為什么叫三角函數？如為什么y=sinx叫正弦函數？

生1：在函數y=sinx中，y隨x變化而變化，所以是函數.

生2：一個角確定唯一一個正弦值，任意一個給定實數x有唯一確定的值sinx與它對應，由這個對應法則所確定的函數y=sinx叫正弦函數.

師：非常好，生2結合函數的定義理解正弦函數非常準確. 要研究函數，應從哪些方面進行研究呢？

生3：定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等.

生4：先要作圖吧.

師：剛才兩位同學都說得對，研究函數必研究函數的圖像和性質，函數圖像對函數性質的研究有幫助. 今天這節課我們重點探討正弦、余弦函數的圖像. 正弦、余弦函數的圖像到底是什么樣子的呢？下面，我們先做一個彈簧振子的實驗.

（實驗）請一位同學搖動手柄，帶動紙筒勻速轉動，我們把彈簧拉離平衡位置，放手使其振動，彈簧中間的毛筆就會在紙上記錄下一條曲線，請同學們欣賞實驗結果.

此時，我們得到了一條非常優美的波形曲線，學生驚呼：居然是這樣的形狀……一臉興奮.

（電腦演示）通過播放動畫，同學們可以更清楚地看到曲線形成的過程.

師：這條曲線描述了彈簧相對于平衡位置的位移隨時間變化的情況，在物理中，這種簡諧運動的振動圖像就被稱為正弦或余弦曲線.

師：同學們在生活中還見過哪些形狀類似的曲線呢？能否舉一兩個例子與大家分享一下？

生5：體操運動員舞動的彩帶.

生6：湖面上泛起的層層波浪.

生7：示波器下聲波的圖像，我們生活中用的正弦交流電等.

師：很好，同學們舉的例子都對，看樣子同學們對這個圖像并不陌生. 其實，世界上許多運動變化都具有周而復始、循環往復的特點，而刻畫這些現象最好的數學模型，就是我們今天要研究的正弦和余弦函數的圖像.

教學感悟：問題情景的設置達到了預期的效果，新穎的引入讓人眼前一亮，引發學生去積極思考，激起了學生強烈的好奇心和學習興趣.通過學生親自做實驗，讓學生在第一時間對正弦和余弦函數的圖像有了一個初步的了解. 讓學生舉例，使學生體驗到數學來源于生活.

2. 讓學生嘗試作圖，對比反思

師：試驗中的彈簧振子畫出了這么優美的曲線，同學們想不想也用手中的筆和彈簧振子PK一下呢？

生眾：想！（躍躍欲試）

師：非常好！那我們就先來作y=sinx在區間[0，2π]的圖像. 作函數圖像分哪幾個步驟啊？

生眾：①列表；②描點；③連線.

師：請同學們在學案上先試著畫出它的圖像.

（學生活動：作完圖像后，同桌之間相互對比、交流. 教師收集學生所作圖像. ）

師：請同學們觀看投影，這是我收到的四位同學作圖的結果. 在同一坐標系下，作出的圖像并不是很一致，思考產生這些差異的原因是什么.

生8：由于像sin，sin這些點必須取近似值才能描點，有誤差，導致不夠準確.

教學感悟：從學生的認知規律出發，利用作圖通法——列表描點法——作正弦函數的圖像，培養學生積極動口、動手、動腦的習慣. 讓學生相互交流所作的圖像，發現其中出現的差異，引導學生分析差異產生的原因. 教學中注重培養學生的動手能力、合作交流能力，發現問題、探索問題、解決問題的能力. 教學過程中，教師通過在投影儀上對學生所作圖像的展示，能夠很快發現列表描點法作正弦函數圖像的缺點.

3. 讓學生思考如何精準作圖，體驗過程

師：很好，而且非特殊角的三角函數值，我們更沒有辦法精確得出，這種描點作圖的方法，我們稱為代數描點法. 既然代數描點不夠精確，你能提出更好的方法嗎？（學生沉思，一時沒有好的辦法. ）

師：要研究三角函數值的表示，讓我們回到三角函數的定義. 在定義中，三角函數值是用比值來表示的，除了這種表示方法外，還可以用什么方式來刻畫呢？

生9：三角函數線.

教師引導學生回憶三角函數線的相關知識（回顧舊知：正弦線、余弦線）：設任意角α的終邊與單位圓相交于點P（x，y），過點P作x軸的垂線，垂足為M，則sinα==MP，cosα==OM. 有向線段MP叫做角α的正弦線，有向線段OM叫做角α的余弦線.

為了作三角函數的圖像，三角函數的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數值都為實數. 在一般情況下，兩個坐標軸上所取的單位長度應該相同，否則所作曲線的形狀就各不相同了，從而影響初學者對曲線形狀的正確認識.

師：下面我們先以為例，思考：如何利用正弦線在直角坐標系中作出點

，sin

的坐標？

生10：先作單位圓，把圓心放在x軸負半軸上，作出對應的正弦線，再平移到x軸右邊與橫坐標同起點，就找到了點

，sin

的坐標.

師：這種描點的方法，我們稱為幾何描點法. 與代數描點相比，幾何描點在精度上有了很大的提高. 作出了

，sin

這一個點后，其余的點也能用同樣的方法作出嗎？

生眾：一樣平移即可.

教師用動畫演示作圖步驟：①把圓分成12等份，對應x軸右側13個點的橫坐標；②作各角的正弦線；③將正弦線向右平移，得各點的縱坐標；④用光滑的曲線連接正弦線的終點.

師：作出了y=sinx在區間[0，2π]的圖像后，我們不禁要問：y=sinx在整個實數集上的圖像又是怎樣的呢？我們先考慮區間（2π，4π）的圖像與區間[0，2π]的圖像有什么聯系.

學生11板演，作出區間（2π，4π）的圖像. 并說明原因：由于sin（x+2kπ）=sinx，（k∈Z），即終邊相同的角具有相同的三角函數值，所以區間（2π，4π）上各點的縱坐標與區間[0，2π]上各點的縱坐標對應相等，也就是可以由區間[0，2π]的圖像向右平移2π個單位得到.

師：非常好，剛才生11同學作出了y=sinx在區間（2π，4π）的圖像并說明了理由，我們能否作出y=sinx在定義域R上的圖像呢？

生12：同樣地，我們把[0，2π]區間的圖像，每次向左或向右平移2π個單位，就可以得到y=sinx在整個實數集上的圖像了. 原因還是：sin（x+2kπ）=sinx，（k∈Z），即終邊相同的角具有相同的三角函數值.

師：正弦函數在定義域R上的圖像，我們稱之為正弦曲線. 如圖3所示.

教學感悟：教師通過提問，引發學生思考，讓學生從作y=sinx的一個點，到作一個區間的圖像，再到作整個實數集上的圖像，由淺入深，步步深入，讓學生體驗到數學思維的樂趣，問題設計符合學生接受新事物的認識規律. 在教學中，教師將展示的機會讓給學生，讓學生思考、讓學生作圖、讓學生說理等.

4. 作圖引申，誘發探究

師：我們已經作出了正弦函數y=sinx在定義域R上的圖像，能否作余弦函數y=cosx的圖像呢？請同學們思考.

生12：先作y=cosx在[0，2π]上的圖像，再用誘導公式進行平移得出y=cosx在定義域R上的圖像.

師：很好，那么怎么作y=cosx在[0，2π]上的圖像呢？

生13：與正弦函數一樣用余弦三角函數線進行平移. 不對不對，在x軸上不能平移.

生14：好像能在y軸上平移，但還是有點不方便.

師：能否轉換一下思路，借助我們已經作出的正弦函數的圖像呢？

生15：根據誘導公式，利用cosx=sin

x+

，所以y=cosx的圖像可由y=sinx的圖像向左平移個單位得到.

師：非常好，生15根據誘導公式將余弦函數轉化為正弦函數作出了它的圖像. 余弦函數在定義域R上的圖像，我們稱之為余弦曲線. 如圖4所示.

教學感悟：教師提出問題促使學生進行思考，給學生思維空間. 學生由于受正弦函數作圖的影響，思維可能出現偏差，當學生想不到時給一點點提示，繼續讓學生思考，相信學生的能力. 給足夠的時間、空間讓學生思考，讓學生交流展示.

5. 讓學生觀察發現，探求作圖的簡易方法

師：對函數圖像形狀的認識，為我們簡化作圖提供了有利的支持. 知道了這兩個點，我們就可以很快地作出一次函數的簡圖. 知道了拋物線的頂點與x軸的兩個交點，我們也可以很快地作出二次函數的簡圖. 請同學們觀察區間[0，2π]上正、余弦函數的圖像，有哪些點在決定圖像形狀的過程中起到了關鍵性的作用？

生16：觀察正弦函數的圖像先由原點上升到最高點，再回到x軸，再下降到最低點，最后又回到x軸，也就是有5個點在決定圖像形狀的過程中起到了關鍵作用. 即點（0，0），

，1，（π，0），

，-1，（2π，0）.

師：非常好，觀察能力非常強. 同樣，根據余弦函數先下降再上升的變化趨勢，也有5個關鍵點（生齊答5個關鍵點的坐標）.

師：有了這5個關鍵點，函數圖像的形狀也就基本確定了. 那么，今后在精度要求不太高的前提下，我們還需要像前面的代數描點法一樣，作出13個點的坐標嗎？

生眾：不需要，只需列出5個關鍵點的坐標.

師：對，我們只需列出5個關鍵點的坐標，再描點，最后連線. 注意此時的連線，不僅要用光滑曲線，還要注意到函數圖像形狀的特點，相對x軸外凸. 這種作函數簡圖的方法，我們稱它為“五點作圖法”. 以后我們作圖就用“五點作圖法”.

教學感悟：教師通過回顧一次函數、二次函數的作圖啟發學生思考如何方便快捷地作出正弦函數、余弦函數的圖像，讓學生觀察、思考后得出結論，將結論的發現過程讓給學生.

6. 讓學生作圖，鞏固知識

師：既然“五點作圖法”這么方便快捷，我們不妨嘗試一下. 我們先來用“五點作圖法”作y=sinx+1，x∈[0，2π]的簡圖. 看哪位同學做得又快又好. 有沒有同學愿意上來，給大家做一個示范？

巡視教室，找一位學生板演，教師對個別學生進行指導，并提醒學生注意思考，如何利用區間[0，2π]上y=sinx的五點，求出y=sinx+1的五點.

板演完畢，教師點評并強調，此時表格中的第一行和第三行，才是我們要描點的五點對應的橫、縱坐標，描點時，要注意到曲線的走勢，用光滑曲線連線.

師：下面，請同學們觀察作出的圖像，與y=sinx在區間[0，2π]的圖像有什么聯系呢？

生18：可由y=sinx向上平移一個單位得到.

師：也就是說，我們作y=sinx+1的圖像還可以通過平移y=sinx來作圖.

師：接下來，我們再來看一個與余弦函數有關的作圖. 請同學們在學案上作出y=-cosx（x∈[0，2π]）的簡圖.

學生板演，再由一位學生更正作圖過程中不完善的地方.

師：同樣地，我們可以看出，y=-cosx可由y=cosx如何變換得到呢？

生齊答：關于x軸對稱得到.

教學感悟：通過例題的講解，加深學生對新知識的理解，鞏固與深化正弦函數圖像的運用，讓學生真正能夠做到學以致用，提高學生解決問題的能力. 通過追問使學生明白利用圖像變換作圖，也是一個非常實用的方法.

7. 總結回顧，人文引申

師：最后，讓我們一起來回顧一下今天的探究之旅，我們學到了什么？

生：主要學到了正弦、余弦函數的三種描點作圖法，此外，我們還學到了可以利用圖像的平移和對稱變換來作圖.

師：很好. 其中，“五點作圖法”是本節課的重點，同學們一定要熟練掌握. 不知道大家是否與我有同感，正弦曲線和余弦曲線，就像是我們的人生，有高峰也有低谷. 祝愿同學們能把握好人生的關鍵點，畫出屬于我們自己的精彩人生軌跡！

教學感悟：教師將正弦曲線和余弦曲線與人生聯系在一起，豐富了數學知識，體現了人文關懷，同時也激勵了學生.

[?] 教學反思

在現實的課堂教學中，有的教師為了趕教學進度、多做幾道題，很多時候不能做到將時間還給學生，將機會讓給學生. 筆者聽過很多講解這一節內容的課，有的教師用二十分鐘不到的時間就講完了：他不花時間去做實驗，只是用電腦展示（學生體驗不到正弦曲線來源于生活），不讓學生去嘗試用描點作圖（學生體驗不到不同學生作圖的差異和準確作圖的必要性），只是直接用電腦演示用單位圓中的正弦線去平移作圖（學生體驗不到這樣作圖的好處），然后講解如何作余弦函數的圖像，總結出“五點作圖法”，接著就是大量的練習鞏固. 這樣做學生也許能掌握本節課的內容，但學生缺少情感的體驗，缺乏學習數學的熱情，沒有體會到數學思維的魅力.

本節課筆者在做教學設計時抓住了一個突出的特點：把時間還給學生，將機會讓給學生. 讓學生做實驗體驗到正弦曲線、余弦曲線來源于現實生活；讓學生嘗試描點作圖，反思作圖差異形成的原因為精準作圖作了鋪墊；引導學生回顧三角函數線，啟發學生由作一個點到一個區間再到整個R上的圖像，在此過程中讓學生說、讓學生思、讓學生畫、讓學生合作交流體驗數學思維的樂趣；接著引導學生如何作余弦函數的圖像. 在此過程中學生思維出現偏差時，不是教師告知結論，而是啟發誘導，讓學生去想、去思考、去展示思維成果，最后讓學生觀察思考得出“五點作圖法”. 在教學過程中，教師通過有層次地設置問題來引發學生的思考，培養學生發現問題、提出問題的能力.筆者有意識地把本節課作為一個很好的提出問題的載體，去培養學生的問題意識，訓練學生的數學思維，提高學生自主探索和合作學習的能力.

“將機會讓給學生，將時間還給學生”不應是一個口號，而應付諸行動. 在教學時，把原本屬于學生的時間還給學生：把練習的時間還給學生，把思考的時間還給學生……讓他們觀察、歸納、概括、探究、參與舉例、參與再創造……教師不要去爭、去搶、去占，而是要參與到學生的活動中去. 教師將問題展示后，最好選擇閉嘴（你作為教師是早就想好了，可學生才接觸到），不要跟學生去爭搶，把機會讓給學生，你“休息休息”，學生有困難你再去啟發，他們沒有跌倒你扶他干嘛？巡視后投影，再提問、互動交流，多暴露學生的思維過程.

參考文獻：

[1] 程新展. 數學概念教學的十種策略，中國數學教育，2010（4）.

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[3] 金明. 課堂教學應讓學生盡情地“說”. 中學數學，2013（3）.