格林公式的教學環節設計

李慶賓　孟曉玲

摘 要 格林公式是多元函數積分學中的重點和難點之一，其定理較為抽象，應用又非常廣泛，學生們在學習這部分內容時總是不得其法。文章嘗試采用探索式的教學方法，在教師的指導下，以學生為主體，引導學生自覺地學習、主動地探究，著力培養學生分析問題、解決問題的興趣和能力，有利于創新思維與創新能力的形成與發展。

關鍵詞 格林公式 探究式教學 認知規律

0引言

格林公式是高等數學中一個非常重要的公式，它建立了二重積分與平面曲線積分之間的密切聯系，在多元積分學教學內容體系中處于承上啟下、承前啟后的地位，同時，格林公式在數學、物理和化學中都有著相當廣泛的應用。

筆者通過多方面調查研究發現，在該課程的教學過程中，常常存在定理的內容太抽象、證明過程理論性較強、定理的條件不好理解等問題.基于這些問題，為使教學效果更加突出，本文嘗試在格林公式的教學中，以啟發學生的思維為核心，引導學生主動進行探究，培養學生發現問題、解決問題的興趣和能力，真正使學生成為學習的主人，并且合理組織例題、習題，提高學生舉一反三、隨機應變的能力，使所學知識得到升華。

1格林公式及證明

無論是在教材中，還是大多數教師在教學時，往往是一開始就直接給出格林公式，這無疑是超前指路，置學生的心理、思維狀態于不顧，讓學生覺得定理的出現太突然、抽象，從而一開始就喪失了學習興趣.筆者認為，可以適當設計問題情境，逐步啟發學生進行探究，自然引出格林公式，遵循學生的認知規律。

1.1問題的引入

接下來讓學生考慮，如果D為任意的復雜單連通區域，格林公式是否成立？引導學生通過化繁為簡、由難變易的思想，適當添加輔助線分割區域，結合二重積分、曲線積分的性質，容易得到（3）式仍然是成立的。

1.3定理的完善

在給出具體的定理之前，為培養學生的探究式學習能力，可以先讓學生思考三個問題：（1）上述公式成立對被積函數有什么要求？（2）對積分區域和曲線有什么要求？（3）如果D是多連通區域，等式是否成立？引導學生逐一理解并解決這三個問題，并補充區域邊界正向的規定之后，本節課的重要定理——格林公式便呼之欲出了：設平面有界閉區域D由分段光滑的曲線L圍城，二元函數在D上具有一階連續偏導數，則有

，

其中L是D的正向邊界曲線。

為避免錯誤使用格林公式，應對格林公式的條件做重點強調，并采用課堂提問的方式讓學生解決下面問題：（1）如果L取得是D的負向邊界，公式怎么調整？（2）假如在計算曲線積分時，積分路徑L不是封閉的，怎么辦？（3）如果被積函數在D內某些點無定義、不可導或者導數不連續，能不能直接使用格林公式？通過指導學生回答上述三個問題，一方面可以充分調動學生參與課堂的積極性，激發表現欲，另一方面又加深了學生對定理條件的理解和記憶，為以后靈活的使用格林公式提供了思路和方法.

2例題的設計

課堂上講解必要的例題，是實現教學目的的一個重要環節，既可以幫助學生鞏固基礎知識和基本方法，又能夠拓寬學生思維，培養學生創造性解決問題的能力。筆者根據多年的教學經驗，在本節課中從三個方面設計例題。

2.1較為基礎的情形

由格林公式不難看出，在計算曲線積分或者二重積分時，為使計算過程簡單，節省計算時間，可將二者相互轉化，下面給出兩個簡單例子加以說明。

例1計算二重積分，其中D為由直線y=x，y=1和y軸所圍成的三角型區域。

分析：在二重積分原始的計算方法中，將其轉化為二次積分時，需要選擇適當的積分次序才可行，而利用格林公式可以直接轉化為I=xdy==1cos1，L是逆時針方向的整個三角形邊界。

例2計算I=（x2ycosx+2xysinx）dx+（x2sinx+x）dy，其中L為橢圓周x2+2y2=4，取逆時針方向。

分析：如果利用橢圓的參數方程把該積分轉化為定積分，計算過程將非常復雜，采用格林公式將其轉化為二重積分，D為橢圓域。

2.2非閉區域的情形

例3計算I=，其中L為從點（2，0）沿上半橢圓周x2+2y2=4到點（2，0）。

分析：該題的設計是被積函數與例2相同，而積分路徑變為上半橢圓周，不再封閉，受例2的影響，學生容易想到使用格林公式來求解，那么，取什么樣的輔助線？方向如何？計算步驟是什么？可逐步引導學生自行解決。

例4計算I=，其中L為從點沿上半橢圓周x2+2y2=4到（2，0）點。

分析：例4的積分路徑與例3完全一樣，仍需要添加輔助線，但例4的被積函數又含有奇點（0，0），是否能取與例3相同的輔助線？作什么樣的輔助線既能避開原點又使計算可行？讓學生帶著這些問題去思考、去探究，不斷發現并解決問題。事實上，為了避開原點，第一次取輔助圓周L1：x2+y2=4，≤x≤2應用格林公式得，通過代入技巧去掉奇點后，與例3相似，第二次做輔助線y=0，≤x≤2，再次使用格林公式即得。

2.3存在奇點的情形

例5計算I=，其中L為橢圓周x2+2y2=4，取逆時針方向。

分析：該例題的被積函數與例4一樣，積分路徑為閉曲線，內部有奇點（0，0），受例4的啟發，可以做輔助圓周L1：x2+y2=1避開原點，方向仍為逆時針，不難得到，去掉奇點后，再次直接使用格林公式計算出I=2€%i。值得注意的是，由于例4的鋪墊，例5可以嘗試讓學生獨立完成，因為這兩道題的基本思路和步驟都是一樣的；并且結果與輔助圓周的半徑沒有關系。

這里設計的五個例題，從簡單到復雜，比較典型，能使學生更好的掌握格林公式的使用條件和應用技巧，體會格林公式的靈活應用之美。

3結束語

以上是格林公式這節課的教學設計，從定理的引入到例題的解答，既充分體現了學生在學習過程中的主體地位，又發揮了教師在教學過程中的主導作用，教師適時的引導和總結可以使學生的思維迅速活躍起來，這樣的教學既有啟發性，又有誘惑力和幽默感，深入淺出，使學生感到格林公式可望又可及。

參考文獻

[1] 汪雄良，王春玲.格林公式的研究式教學探討[J].中國教育技術裝備，2013（30）：78-80.

[2] 同濟大學數學系.高等數學（第七版）（上冊）.北京：高等教育出版社，2014：240-241.

[3] 同濟大學數學系.高等數學（第七版）（下冊）.北京：高等教育出版社，2014：204-207.

[4] 瞿勇，金裕紅，李凌.格林公式之多次運用舉例[J].中國科教創新導刊，2011（23）：100-100.