數學概念有效性教學的策略探究

錢耀泉

摘 要：概念教學是數學教學工作中極其重要的組成部分，是奠定數學知識與技能的關鍵環節，是構建數學知識體系的核心。然而，該部分的教與學并未得到充分的重視，筆者基于APOS理論，以教學改革為導向，結合認知心理學及形成性評價機制等，得到了概念教學策略的啟示，并進行了教學的實證研究，嘗試運用本文的教學策略組織概念課的有效教學。

關鍵詞：數學教學 數學概念 APOS 有效教學 教學策略

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）07（a）-0216-04

1 研究背景

概念教學是數學教學工作中極其重要的組成部分，是奠定數學知識與技能的關鍵環節，是構建數學知識體系的核心。

然而，在實際教學中因對其重視程度不夠，容易出現相應的問題。對中職學生而言，他們常常會忽略掉學習數學概念中思維與理解的過程，只機械地記憶概念的“文字定義”；或者對概念的理解僅停留于文字表面，難將其與相關知識點建立有機聯系；又或者對概念的理解過于簡單、片面、主觀，而沒形成正確的概念，這就直接影響到日后相關知識的構建與運用。對部分教師而言，則過度傾向于解題教學，而對概念教學未予以足夠的重視，對于概念的部分往往簡單引入，生硬地一帶而過，又或者為了節省時間來講題，直接把概念枯燥地灌輸給學生，試問這些是我們提倡的“有效教學”嗎？恰恰相反，若不讓學生經歷、體驗數學概念的“猜想、發現、探究”過程，學生就如同“硬盤”一樣被動地儲存知識，未能有效地激發他們的學習興趣，未能有效地引導學生“吃透”概念，真正掌握概念的內涵與外延，這樣就直接剝奪了他們的思考空間，同時也遏制了學生思維的健康發展、創造性的發揮；這些都將直接影響到我們后續教學的實施與拓展。

2 數學概念課的教學有效性分析

2.1 數學概念有效性教學的內涵

數學作為反映現實世界空間形式與數量關系的科學，是由概念與命題組成的邏輯體系。其中，數學概念是反映現實世界空間形式與數量關系本質屬性的思維形式。數學是思維的科學，數學概念則是思維的細胞。概念乃思維的基本形式[1]，是對一切事物進行判斷和推理的基礎；是構成所有數學知識及技能的基礎與核心，所以正確理解概念是掌握數學知識和技能的前提；數學概念是數學教學的載體，是構成數學學科的基礎成分。教師只有讓學生充分探索與理解，并靈活運用數學概念，才能使學生明確其內涵與外延。而學生也只有親身經歷過數學概念的探索過程，才能把概念真正學懂，理解并掌握概念的來龍去脈，才能在獲得概念的同時，鍛煉他們的探究、觀察、分析、比較、歸納等能力。

2.2 數學課程標準及學業質量評價標準

《廣東省中等職業學校數學課程標準》中指出：數學課程要提高學生的數學素養，倡導學生自主學習、探究學習、合作學習的學習方式，發揮學生在學習上的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。激發學生學習數學的興趣，鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣[2]。

《廣州市中等職業學校數學課程學生學業質量評價標準》及《廣州市中職學校公共基礎課程學業質量評價標準的研究與實踐》中均有提到：依據學業質量評價標準開展的學業質量評價則是指“學生在學校課程上所取得的成就（包括知識與技能、過程與方法和情感態度價值觀）的測量和評價”。依據學業質量評價標準所開展的評價，既有學前診斷性評價，也有學習過程中的“形成性評價”，還有學后的終結性評價。在“數學”課中，學習經歷是學生學習的核心[3][4]。

因此，筆者認為我們的數學概念教學應鼓勵學生積極參與課堂活動，主動探究學習，讓學生成為課堂真正的主人，并積極采用形成性評價機制，對學生學習過程的各方面作充分而周全的評價。總體而言，二者不但沒有矛盾，而且相得益彰，更有利于充分調動學生學習的積極主動性，有利于課堂教學效率的提高，有利于課堂活動的順利開展，會使我們教學如虎添翼！

2.3 理論依據——APOS層次學習理論

APOS理論是美國數學教育家杜賓斯基（Ed Dubinsky）專門為研究“數學概念的學習”而提出的理論。他在APOS：A Construction Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research中提出學生學習數學概念是需要心理建構的，其建構過程需經歷四個階段。

第一階段——活動（Action）階段：概念的引入階段，是以學生已有的認知結構為基礎，綜合考慮學生的學情與認識規律，在認真分析所授概念的具體內容與其在概念體系中位置的前提下設置活動，讓學生親身經歷，主動建構，從而對所授概念形成較直觀的理解。

第二階段——過程（Process）階段：概念的定義階段，是對“活動”進行思考一定的抽象得出概念的特有性質，從而初步形成概念的一般定義的“過程”。

第三階段——對象（Object）階段：概念的分析階段，是對“活動”與“過程”的升華，將抽象出的概念賦予其形式化的定義及符號，成為一個具體的“對象”，并由學生主動將其納入已有概念體系的階段，在以后的學習中以此為對象去進行新的活動。

第四階段——概型（Scheme）階段：概念的運用階段，是“對象”階段中概念本質和概念體系進一步的理解、揭示和實例化，最終要形成綜合的心理圖式。

APOS理論是對皮亞杰（J.Piaget）的“自反抽象”（Refle ctive Abstraction）理論的拓展，它對數學學習過程中學生的思維活動做出深入的研究，揭示了數學概念學習的本質。其建構的四個階段應當循序漸進，這樣建立起來的概念具有豐富的內涵，其中包含著概念的現實原型、概念的抽象過程、數學思想方法和概念的形式化對象等[5]。

3 概念有效性教學的策略探究endprint

筆者基于杜賓斯基的APOS層次學習理論，按照數學課程改革及學業質量評價標準的要求，以應用價值取向為導向，結合認知心理學與形成性評價機制，進行教學策略探究，得出概念教學策略的啟示。

3.1 “直觀感知概念”策略

心理學指出人類認識新事物是從感覺和知覺開始的，我們可從學生的專業實際出發，引入與概念最相符合的實例或實物，設計恰當的活動環節，讓學生經歷概念的探索過程，以最直觀的方式建立并感受概念和體驗數學與現實的聯系，這樣一來也有助于學生對概念的理解與運用。

3.2 “學生抽象出概念本質”策略

在直觀感知的基礎上，教師引導學生經歷探索、分析、內化、歸納等系列思維過程，再由學生用“自己的語言”抽象出概念的本質，當學生遇到疑惑并不解時，教師再提出進一步進行指導。筆者多年來的做法是用“學生語言”來對概念進行定義、板書。其好處有其一，以學生為主體，讓學生經歷探索，激發他們思考，并得出概念的過程，印象尤為深刻；其二，鍛煉他們的思維與表達能力；其三，作為同齡人表達的語言更容易被其他學生領會與理解。

3.3 “以錯糾錯”策略

在學生形成概念后，教師可通過運用“正例為主，反例為輔”的方式，在幫助學生鞏固新概念的同時，通過適量的變式訓練發現錯題，及時糾正學生認知上的偏差，完善他們的知識體系，提升學生對概念掌握的準確性。

3.4 “多維度應用”策略

數學源于生活，因而按照應用價值取向為導向，我們不但要引導學生在后續的相關學習中靈活運用數學概念，反復構筑完整的知識體系，更要讓數學知識回歸到學生的生活或專業中，找到現實對應的原型，逐漸形成綜合的心理圖式。因此鼓勵學生從多個思維角度運用數學解決生活或專業上的問題，進一步幫助學生更全面、更清晰地認識概念，并感受數學的應用價值，是個十分重要的策略。

3.5 “提升參與度”策略

在課堂上學生是學習的主體，他們的參與度直接影響到教學的達成度。因此，教師應當憑借形成性評價機制，鼓勵學生或學習小組積極參與學習的全過程，適當增強學習的趣味性或競爭性，對在學習過程中表現積極的學生或小組給予及時的肯定、表揚或加分等，并對其進行記錄，以提高學生的學習興趣，促進教學各環節的順利開展。

上述的策略1～4之間為環環相扣、循序漸進的關系，共同構成螺旋式上升的教學過程。而策略5則應貫穿于學習的全過程，是開展各環節良好的催化劑。

4 概念有效性教學策略的實證研究

近年來，該校借著市精品課程建設為契機，以人才培養目標為導向，并根據《中職數學教學大綱》和《廣州市中職學生學業質量評價標準匯編》擬定課程教學目標，結合我校專業課程的設置，對數學課進行整合與開發，形成具有我校特色的數學教學內容。譬如：在“空間幾何體”內容中，我們將柱、錐、臺及球作了整合，并進行合理的開發，使之更符合學生實際的學習需要，更有效地促進學生學好專業課，使數學課更好地服務于專業學習。

下面筆者以《認識幾何體》概念課為例，進行教學的實證研究，嘗試運用該文的教學策略組織概念課的有效教學，以拋磚引玉。

4.1 《認識幾何體》的課程地位簡析

該課位于北師大版的《數學（基礎模塊）》（下冊）第九章的第9.5節中，它的學習要求是要讓學生經歷認識各類幾何體的學習過程，能準確判斷簡單幾何體的類型，為后繼學習空間幾何體的側面積、表面積及體積等起著非常重要的作用。學生只有準確辨認出幾何體類型、充分理解幾何體構造，才能正確進行而后的計算，才能正確解決相應工程量及預算分析等專業應用問題。因此本節內容是學生后續學習非常重要的奠基。

4.2 《認識幾何體》教學實踐案例

4.2.1 “直觀感知概念”策略

上課開始前，筆者準備了許多帶編號的幾何體手工模型，包括柱、錐、臺及組合體等，而且每一類的幾何體又包含各自的小類別，譬如柱體模型中有大小不一的圓柱、直三棱柱、正四棱柱、斜棱柱、五棱柱及正六棱柱等模型，并對學生以同構異質的方式編排分組，讓學生經歷觀察、探索“幾何體的分類”。

環節1活動：一上課，筆者就將幾何體的手工模型全部散亂地放在講臺上，學生見狀都非常好奇，竊竊私語。

老師：同學們，這里有很多的幾何體手工模型，猶如剛從市場買回來的一堆食材一樣，有蘿卜、青菜、魚、牛肉等，雜亂無章地擺放著，現請各學習小組討論一下，能不能將它們分門別類擺放好呢？

學生聽到后，熱情瞬間被點燃，紛紛展開激烈的討論。不一會兒，各小組輪流展示分類的結果。在學生得出了幾何體模型的正確分類后，教師板書幾何體的分類柱體、錐體、臺體、球體，并對分對的小組給予加分，最快分對的小組再加2分。

點評：在本環節中，學生經歷了對各種幾何體進行最直觀的分類過程，學生用自己的眼睛和感覺去感知、探索、認識幾何體，通過觀察與比較，對各類幾何體有一個大致的印象，有了初步的認識。但這對準確辨別幾何體是不夠的，還需要進行環節2的探索過程，深入探討幾何體的結構特征，完善幾何體的概念。

4.2.2 “學生抽象出概念的本質”策略

在學生初步感知的基礎上，筆者引導學生繼續深入探討，抽象出幾何體的結構特征。

環節2活動：雖然在環節1已提出各類幾何體的概念，但筆者并不急于解釋這些概念，先賣個關子，反問學生請各小組再仔細觀察、討論，為什么它們能夠放在一起呢？各類幾何體分別具有怎樣的結構特征？表達越準確，得分越高。

學生繼續展開討論，積極思考問題，然后小組輪流發言。雖然在一開始的回答比較稀奇古怪，譬如有學生說“都有相同的顏色、都比較小”等，但這些答案立刻遭來其他學生的反駁，隨后學生的回答，其思維點變得越來越精準。

有學生說：“柱體都有兩個平行的底面”。endprint

接著有學生補充：“它不但有兩個平行的底面，而且是兩個一樣的底面”。

后來有學生給出更準確的表達：“柱體有兩個平行且全等的底面”。

在學生精彩地探討回答中，我們漸漸得到了較清晰的結構特征。筆者盡量用學生的原話板書各類幾何體的結構特征，并按答案的精準度對他們的回答給予加分。

點評：學生在該環節中經歷了小組思考、比較、歸納的過程，這是學生由感性認識上升到理性認識的過程，學生用自己的語言抽象出各類幾何體的結構特征，鍛煉了他們的能力，進一步提升學生對幾何體概念的認知水平，同時讓學生體會“由具體到抽象”的數學思想在清晰地認識幾何體之后，仍需要通過適量的練習進行鞏固，即環節3。

4.2.3 “以錯糾錯”策略

教師通過變式訓練，審視學生對各類幾何體概念的理解程度，發現錯題，適時引導，及時糾正學生認識上的偏差，提升學生對概念掌握的準確性。

環節3活動：

老師：認識了我們的新朋友之后，請各小組看看學案，是否能準確辨認我們“生活中的幾何體”？看哪個小組完成得又對又快！

各個小組在展開討論后，爭先恐后地搶答。答對的學生加分。大部分學生的回答都是正確的，唯獨對某工地溝渠的判斷上有較大的分歧——本課的一個難點。

老師：我們仔細觀察一下，該幾何體的結構特征是什么？

有學生說：它有兩個上下平行且相似的底面，它是臺體。

也有學生回答：不對！它有兩個平行且全等的梯形底面，所有它是四棱柱。

有學生反應過來，接著說：這是個放倒著的四棱柱。

老師：恭喜你！回答正確！它其實是水平放置的直四棱柱。為什么它不是臺體呢？

片刻，有學生說：真正臺體的側棱延伸能交于一點。

其余學生馬上恍然大悟。通過教師的引導，學生學會抓住“結構特征”，準確地辨識了該幾何體。

筆者趁熱打鐵，提醒學生注意“結構特征”的重要性。

老師：看來我們幾何體的結構特征非常重要，下面來鞏固該知識點。請各小組完成學案的第三部分的連線題和填空題（做對的學生可以加分）。

點評：在該環節中，筆者先讓學生辨認“生活中的幾何體”，它們或橫著、或豎著擺放，這其實是種變式訓練。同時穿插了一個難點“水平放置的四棱柱”，多數學生的第一反應是“四棱臺”，在經過教師的引導后，學生就較快地能通過“結構特征”進行正確的判斷，從而突破該難點。緊接著，教師再次引發學生思考它不是臺體的原因，加深對“臺體”的認識。通過該題也讓學生重視對“結構特征”的學習，教師因勢利導，讓學生完成“結構特征”的鞏固練習，完善學生的認知。

4.2.4 “多維度應用”策略

（1）學生結合本課的知識，發揮自己的空間想象能力，在學案上畫出柱、錐、臺等幾何體的正視圖、側面展開圖，進一步加深學生對各類幾何體構造的認識。

（2）鼓勵學生自由組合制作小組，在課后制作幾何體手工模型，再次加深學生對幾何體構造的認識。要求：學生3～5人為一組，選出組長，使用卡紙按要求制作幾何體手工模型，根據團隊合作精神及制作水平對組長及組員進行評分。

（3）鼓勵學生在后續幾何體表面積、體積以及專業課等相關學習中靈活運用本課知識，繼續構筑完整的知識體系，逐步形成綜合的心理圖式。

點評：該環節是學生的課后作業，讓學生結合本課知識，充分發揮學生的主觀能動性，動手畫出各類幾何體的正視圖、側面展開圖，動手制作幾何體模型，使學生從多個思維角度感受幾何體的構造，不僅可鞏固本課概念知識，還鍛煉了學生的空間想象能力，而且為學生在后續學習表面積、體積，以及專業課中土方量、預結算等知識奠定基礎，同時這些也是形成綜合心理圖式的過程，從而增強了概念教學的有效性。

綜上，筆者依據數學概念課的教學目標，采用形成性評價為主要的評價機制，通過設計了“幾何體模型分類、歸納幾何體的結構特征、變式訓練、動手畫畫圖”及“制作模型”等系列環節，從而激發了學生學習幾何體的興趣，引導學生經歷了猜想、觀察、分析、類比、歸納等探究過程，對其滲透從具體到抽象，從特殊到一般的思想方法，從而構建了各類幾何體的概念，培養了學生空間想象、歸納總結及邏輯思維等能力，提升了他們的數學素養水平，初步達成本課的教學目標。筆者在后續的授課中得到良好的教學反饋。

5 總結與展望

誠然，數學是一門環環相扣、邏輯極強的學科。正如華羅庚先生所言：“數學的學習過程，就是不斷地建立各種數學概念的過程”。唯有透徹、有效的概念教學，給學生預留足夠的思考時間與空間，才能有效構建完整的數學知識體系，才能有效增強學生的變通力與創造力，才能有效地提高學生的數學素養。讓我們拆卸掉學生“硬盤”的負累，讓他們自由地走進美麗的數學花園，充分地吸收養分，探索神秘的數學世界，綻放出絢麗的思維之花，結出智慧之果！

參考文獻

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[4] “中職學校公共基礎課程學生學業質量評價標準的研究”課題組.中職公共基礎課程學業質量評價標準的研究與實踐2[EB/OL].廣州市數理教研網.http：//vs-maths.guangztr.edu.cn/a/jiaoyanhuigongzuo/huodongqingkuang/2012/0924/306.html，2012-09-24.

[5] 李莉.學生學習數學概念的層次分析[J].數學教育學報，2002（3）：12-15.

[6] Ed Dubinsky， M. A. Mcdonald. APOS： A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research. The Teaching and Learning of Mathematics at University Level[J]. Springer Netherlands， 2001：275-282.endprint