高考數(shù)學(xué)抽象函數(shù)解題方法研究

唐海燕

摘 要：在中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)是一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容，是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線(xiàn)，對(duì)于高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也是必要基礎(chǔ)。在函數(shù)中，抽象函數(shù)是一個(gè)重要部分，由于其并不具有具體的解析表達(dá)式，因而是最不容忽視的難點(diǎn)和重點(diǎn)。學(xué)生在解決數(shù)學(xué)抽象函數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，往往會(huì)遇到一定的問(wèn)題。基于此，本文結(jié)合一些高考中的經(jīng)典題目，對(duì)抽象函數(shù)的解題方法進(jìn)行了研究。

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；抽象函數(shù)；解題方法

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中，抽象函數(shù)具有較大的難度。利用此類(lèi)問(wèn)題，能夠?qū)W(xué)生理解函數(shù)的概念、性質(zhì)、實(shí)際應(yīng)用論證能力進(jìn)行全面考查，同時(shí)也能夠?qū)W(xué)生接受、理解數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的能力進(jìn)行綜合性的考查。

一、求函數(shù)值的問(wèn)題

對(duì)于此類(lèi)抽象函數(shù)問(wèn)題，可以對(duì)具體函數(shù)進(jìn)行類(lèi)比聯(lián)想，從而得出解題思路。

例：在實(shí)數(shù)集R當(dāng)中，有函數(shù)f（x），已知函數(shù)f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x）f（-2）=1- ，則f（2006）的值為多少。

解：根據(jù)已知條件可知，f（x+2）=[1+f（x）]/[1-f（x）]，f（-1）=2- ，如果對(duì)f（2006）進(jìn)行逐步推導(dǎo)，將會(huì)十分麻煩。對(duì)此，我們可以利用上述式子與tan（x+π/4）=（1+tanx）/（1-tanx）進(jìn)行類(lèi)比，這兩個(gè)式子具有類(lèi)似的結(jié)構(gòu)形式。在y=tanx中，有π=4×π/4，因此，f（x）也可能具有周期性，且周期為4×2=8。

f（x+4）=f [（x+2）+2]=[1+f（x+2）]/[1-f（x+2）]={1+[1+f（x）] /[1-f（x）]}/{1-[1+f（x）]/[1-f（x）]}=-1/f（x）

f（x+8）=f [（x+4）+4]=1/[-1/f（x）]=f（x）

從而得出，f（2006）=f（8×250+6）=f（6）=f（-2+8）=-f（-2）=1-。

在解決此類(lèi)抽象函數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，對(duì)于任何滿(mǎn)足條件的具體函數(shù)，抽象函數(shù)的結(jié)論都成立。所以，可以通過(guò)對(duì)一些具體函數(shù)的觀(guān)察，采用類(lèi)比聯(lián)想的方法進(jìn)行解題，并通過(guò)具體函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)抽象函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，從而得出答案。

二、比較函數(shù)值大小的問(wèn)題

對(duì)于此類(lèi)抽象函數(shù)問(wèn)題，可以利用畫(huà)出函數(shù)草圖的形式進(jìn)行解決。

例：在R中的奇函數(shù)f（x）是增函數(shù)，在（0，+∞）中，偶函數(shù)g（x）的圖像和函f（x）的圖像重合，已知a>b>0，則在不等式①f（b）-f（-a）>g（s）-g（-b）②f（b）-f（-a）g（b）-g（-a）④f（a）-f（-b）

解：根據(jù)題目給出的函數(shù)畫(huà)出圖像，如圖所示，根據(jù)圖像能夠直觀(guān)地看出，不等式①、③成立，②、④不成立。

在解決此類(lèi)抽象函數(shù)題目的時(shí)候，根據(jù)給出的函數(shù)性質(zhì)及條件，將相應(yīng)的圖像畫(huà)出，就能夠直觀(guān)地進(jìn)行觀(guān)察和了解，從而輕松地解決題目。

三、求函數(shù)解析式的問(wèn)題

對(duì)于此類(lèi)抽象函數(shù)問(wèn)題，可以通過(guò)變量代換的方法，利用一些特殊值，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換和消元，最終解決題目。

例：已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足條件f（f（π/2））=b，且b為常數(shù)；f（0）=a，且a為常數(shù)；f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且x、y∈R，求f（x）的表達(dá)式。

解：根據(jù)條件能夠得知x、y具有任意性，也就是說(shuō)我們可以對(duì)其進(jìn)行賦值或換元。綜合所有調(diào)價(jià)能夠?qū)瘮?shù)方程組進(jìn)行構(gòu)建，從而對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行求解。假設(shè)x=0，y=t，則f（t）+f（-t）=2acost；假設(shè)x=f（π/2）+t，y=f（π/2），則f（π+t）+f（t）=0；假設(shè)x=f（π/2），y=t+f（π/2），則f（π+t）+f（-t）=-2bsint。綜合三個(gè)式子，能夠得出f（x）=acost+bsint，即為得出的函數(shù)解析式。

在此類(lèi)抽象函數(shù)問(wèn)題的解決過(guò)程中，主要對(duì)隱含的條件進(jìn)行挖掘，并合理地對(duì)其進(jìn)行賦值，對(duì)相應(yīng)的方程或方程組進(jìn)行構(gòu)建，將抽象函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的問(wèn)題進(jìn)行解決，這樣就能夠?qū)Τ橄蠛瘮?shù)的問(wèn)題進(jìn)行快速解決。

例如，在對(duì)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究，或是對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行求解的時(shí)候，可以采用代換法，將未知數(shù)x替換為-x，或是1/x。也可以在題目條件允許的范圍內(nèi)，對(duì)0、1、-1等特殊值進(jìn)行帶入。

作為高考中一種常見(jiàn)的問(wèn)題，抽象函數(shù)問(wèn)題有時(shí)利用常規(guī)的方法也難以解決。對(duì)此，我們應(yīng)當(dāng)仔細(xì)研究和分析題目信息，針對(duì)不同題型，采用不同的方法和策略，靈活地運(yùn)用各種解題手段，從而更加快速、準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。

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