圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用

尹麗

摘要：BaconRoger曾經說過：數學是科學的大門鑰匙，忽視數學必將傷害所有的知識，因為忽視數學的人是無法了解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的。數學是多種學科里面最為重要的學科，隨著學習的深入，數學的難度也隨之增加，高中階段的數學中讓學生較頭疼的就是圓錐曲線參數方程這一塊的知識點了，這一方面的知識不僅難度較大，而且占有較高的分值，如何突破圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用是本文重點討論的對象。

關鍵詞：高中數學；圓錐曲線方程；應用

圓錐曲線類數學題目的解題關鍵是利用橢圓、雙曲等其它變形的圓錐曲線上的不同焦點進行解題。橢圓方程、雙曲線方程在一些公式上面非常相似，所以在解答時，一定要認真分析，牢記二者的相關概念，不要混淆，相互轉化，由點至面，熟練運用各類方法技巧解答圓錐曲線參數方程問題。

一、靈活轉換，利用圓錐曲線參數方程解決最值問題

很多學生在學習數學的時候存在一個誤區，總認為數學成績提不上去的原因是習題量不夠，所以有的學生會陷入一種盲目的刷題狀態，而忽略學習方法和思維模式上存在的不足。學生要根據自身知識水平以及學習習慣安排數學學習，善于總結和歸納，了解自身知識掌握情況，有針對性的進行習題設計，而非一味追求練習量，認清數學學習更重要的是建立數學思維，而不是培養做題機器。

例如在這道題中：橢圓x2/a2+y2/b2（a>b>0），橢圓內接四邊形為ABCD，各邊和對應的坐標軸平行，求該四邊形的周長和面積。看到這道題時，首先要根據已知條件畫出相應的圖形，不難分析出該題目中的四邊形是長方形，在長和寬未知的情況下計算長方形的周長和面積有一定的難度，所以要運用轉換思想，將長和寬和橢圓聯系起來。我們在學習橢圓概念的時候知道，x=a×cosθ，y=b×sinθ，S=4xy=4ab cosθsinθ= 2absin2θ。由于y=sinx函數的最大值是1，所以當sin2θ=1時，四邊形的面積達到最大值，此時S=2ab；當sin（θ+β）=1時，周長取到最大值，為（4a2+b2）1/2。這種由一般規律總結的公式可以直接拿來應用，在做選擇題和填空題時可以有效節省計算過程，提高做題質量。

二、牢記定義，熟練應用正余弦定理

高斯曾經說過：寧可少些，但要好些，二分之一個證明等于0，波利亞也曾說過：從最簡單的做起，這些都是說學習數學要從基礎抓起，只有牢記基礎概念，才能有所創新，才能有更多發散式的思維。圓錐曲線問題復雜多變，不可能記住所有的題型，但是基礎知識都是通用的。解題時，可以多于同學互相討論，尋求解決問題的最簡單方法，著名數學家華羅庚說過，“新的數學方法和概念，常常比解決數學問題本身更重要”[1]。

例如在下面這個問題中：已知雙曲線x2/a2+y2/b2（a<0，b>0），P為雙曲線上的一個動點，∠F1PF2=θ，求三角形F1PF2的面積。首先由面積公式列出S=1/2| PF1|×| PF2| sinθ，（2c）2=| PF1|2+| PF2|2- 2| PF1|×| PF2| cosθ，聯立上述兩個方程，就可以得到| PF1|×| PF2| =2b2/（1-cosθ），帶入面積公式，即可求得問題答案。

三、發散思維，利用圓錐曲線公式解決參數方程

數學學習的連貫性很強，知識點的關聯性也很緊密，所以在數學學習過程中切忌偷懶，因為有可能課堂上稍微偷個懶，老師就講過一個知識點了，自己在課下所花費的時間要遠遠不止這一節課的時間。如果課堂上有不明白的地方，要課下及時問老師或者跟同學討論，爭取不把問題留給明天，今天的問題今天解決。圓錐曲線是歷年來必考的題目，靈活多變，公式繁多，除了多練習之外，一些公式也是需要不斷背誦的，這樣才能強化記憶。可以多跟“學霸”交流解題方法，以培養自己的發散思維[2]。

例如在下面這道題中：已知橢圓方程是x2/a2+y2/b2（a>b>0），與x軸正半軸的交點記為M，，若是曲線上存在懂點N ，并且滿足ON垂直OP，求橢圓的離心率范圍。在解這道題之前，要先畫草圖進行分析，再結合自己已經掌握的知識進行發散式思維拓展，當遇到瓶頸時，可以先放一放，跟同學進行討論，如果仍然沒有想出解決方法，就要向老師尋求幫助。如果這是在考場上，不要因為一道題浪費太多時間，要懂得取舍，此外，對于這種常規題目，多多少少能寫出來一點解題步驟，能寫到哪一步就寫到哪一步，多一個公式就會多幾分。這道題就可以按照常規的步驟來寫，首先是設N點的坐標是N（a×cosθ，b×sinθ），由已知得M（a，0），y然后由MP垂直ON得（b×sinθ/ a×cosθ）×{b×sinθ/（a×cosθ- a）}=- 1，化簡得到b2/a2=1- 1/（1+ cosθ），再根據橢圓方程的基本定義a2=c2+b2，順利求出離心率范圍。

四、圓錐曲線方程解題注意事項

很多學生一看到圓錐曲線方程就頭大，會下意識認為很難，甚至直接跳過去不做，其實圓錐曲線方程主要考察的是學生對于概念、公式的掌握情況，題目較常規，尤其是大題，基本不會出得特別刁鉆。同學們利用掌握的公式和積累的解題技巧來答題，就算計算結果有誤，也會拿到一定的分數的。這種常規題目的解題技巧關鍵在于認真，以及平時打下的良好基礎，在平常練習時，多總結、多歸納、多思考、多記憶，在考試的時候才不會無從下手，被它“嚇到”。學生在平時練習的時候要養成隨手將題目中的重點內容圈出來，以免出現遺漏的地方。不要執迷于計算結果，重點是熟悉解題思路和過程，時間充足的話，還可以嘗試突破常規解題方法，尋找新的解題途徑[3]。

五、結語

高中數學學習更重要的是積累解題技巧和培養思維習慣，學生不應該為了“刷題”而“刷題”，而是結合自身知識水平以及做題習慣，有針對性地練習。高中數學較難，學生可以準備錯題本，及時將不會或是做錯的題目記錄下來，以便考試之前翻閱，有效提高復習的效率[4-6]。

參考文獻

[1] 雷鵬.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用[J].學周刊，2016，09：134.

[2] 王琦.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用[J].科學大眾（科學教育），2017，01：28.

[3] 杜素麗.淺談轉化思想在高中數學解題中的應用[J].學周刊，2014，21：126.

[4] 毛芹.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用[J].理科考試研究，2014（05）.

[5] 梁偉彬.淺析直線與圓錐曲線問題的幾種解法[J].中學數學，2012（05）.

[6] 陳堯明.直線參數方程教學設計[J].教學月刊（中學版），2011（12）.endprint