淺談中學數學中數形結合的妙用

趙靜涵

摘 要：中學數學中有許多數形結合的例子，如點與實數對、函數與圖像、曲線與方程等。在解題中利用數形結合的思想方法，可將抽象的教學語言與直觀的圖像有機結合起來，發展形象思維和抽象思維并使之轉化，從而達到優化數學思維品質（思維的獨創性、靈活性、準確性、廣闊性）以及培養我們創新意識和創新精神的目的。

關鍵詞：數形結合 數學思維 創新

數學是研究事物的空間形式和數量關系的科學，“數”與“形”雖然研究的對象和使用的方法不盡相同，但它們之間卻有著內在的聯系。就在平面直角坐標系中而言，便有點與實數對，函數與圖像，曲線與方程的有機結合，因此數形結合是數學的本質特征，宇宙間萬事萬物元不是“數”與“形”的和諧統一。所以數學教學中突出數形結合的思想方法是充分把握了數學的精髓和靈魂。

所謂數形結合的思想方法，其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，發展形象思維和抽象思維并使之相互轉化。通過對圖像的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，實現抽象概念與具體表象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀，通過數理解形，加深對形的認識與思考，更有助于解形。

筆者在做作業中曾碰到這樣一些題：

例1.解不等式︱3x-2︱+︱3x+1︱<6（x∈R）

解法一：分類討論，當x≤時，原不等式可化為2-3x-3x-1<6， x>， ∴

當

∴

當x>時，原不等式可化為3x-2+3x+1<6， x<， ∴

解法二：令z=3x，可使問題轉化為研究橢圓︱Z-2︱+︱Z-1︱=6內長軸上點的變化范圍，因橢圓長軸頂點橫坐標為和，所以<3x<，即

很明顯，在平時的解題中利用數形結合的思想方法有效的培養了我們的創新意識，使得解題思路簡潔明了。

例2.求值：cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°

解法：觀察角的變化，前后相差72°，正好是正五邊形的一個外角，因此作一個邊長為1的正五邊形A1A2A3A4A5（如圖1），且A1A2與x軸的夾角為5°，則A1A2=（cos5°，sin5°），A2A3=（cos77°，sin77°），A3A4=（cos149°，sin149°），A4A5=（cos221°，sin221°），由A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A1=0，知cos5°+cos77°+cos149°+cos221°+cos293°=0.

該解法巧妙的應用了向量作出幾何圖形，體現了數形結合的創造性和和諧美。

下面就數形思想能優化我們數學思維品質，培養我們創新意識和創新精神，粗淺的談一下自己的看法。

一、數形結合，能優化數學思維品質。

提高數學思維能力，優化數學思維品質是數學教學目標之一。數 形結合思想能引導我們創設新的情景，開拓新的思路，直現易懂，方 法簡捷、誘人深思。

1.由數思形，培養數學思維的獨創性

例1，某輪船公司每天中午各有一對輪船在紐約和哈係之間相對開 出，途中所化的時間來去都是七晝夜，問今天中午從哈佛開出的船在途中會遇到幾艘船迎面而來？

分析：這是在十九世紀的一次國際 數學會議上，法國數學家柳卡向在場的 數學家們提出的一個他稱為“最困難”的問題， 當時竟難住了在場的數學家們，答案莫衷一是。事后，才有人實驗性地 畫了 一個簡單到連小學生也能明白的圖 形，才宣告問題的解決。”最困難”問 題的解決竟如此簡潔，正是發掘了問題 所潛藏的形”的因素，充分發揮了圖 形的“形象”的作用。

例2，已知已知a2+b2=1，c2+d2=1，a，b，c，d都是正數，求證：ac+bd≤1。

分析：要求證的是一個代數式不等式，通過觀察很容易聯想到幾何中托勒密定理：圓內接凸四邊形對邊乘積之和等于兩對角線的乘積。于是構造一個直徑為1的圓，從而使命題直觀化。

證明：作直徑為1的圓，其中AC是直徑，B，D是圓上兩點，使AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，如圖，顯然a，b，c，d滿足題設條件。

由圓內接四邊形的托勒密定理有AB· CD+BC · AD = AC · BD≤ ACa （BD≤ AC）

即ac+bd≤1成立。

2.由形化數，培養數學思維的靈活性。

例3.如圖已知三個并排的單位正方形

求證：θ1+θ2+θ3=90°

分析：建立如圖高斯復平面，則Z1，Z2，Z3幅角分別是θ1，θ2，θ3，而θ1+θ2+θ3卻是三個復數Z1，Z2，Z3乘積的幅角，所以欲證幅角為90°，只須證Z1，Z2，Z3是一個純虛數即可。

證明：如圖3建立高斯復平面，則向量Z1，Z2，Z3幅角分別是θ1，θ2，θ3，而Z1=1+i，Z2=2+i，Z3=3+i，∴Z1·Z2·Z3=（1+i）（2+i）（3+i）=10i

∴Z1·Z2·Z3的幅角θ1+θ2+θ3=90°

例4已知ABCD為正方形，以AB為底向形內作底角為15°的等腰三角形EAB， 求證：△CDE為正三角形。

分析：考慮到題中有豐富的邊角關系，不妨運用三角函數來研究。

證明：設正方形的邊長為a，則△EAB中運用正弦定理，

=

得AE= =2asin15°，在△DAE中，運用余弦定理

DE2=AD2+AE2-2ADAEcos∠DAE

=a2+（2asin15°）-2·a2·sin15°·cos75°

=a2+4a2（sin15°）2-4a2（sin15°）2=a2

∴DE=a 同理可得CE=a

∴CD = DE=CE

即△CDE為正三角形

3.數形對照，培養數學思維的準確性

例5.已知︱Z-3-4i︱≤6，求︱Z︱的最小值。

分析：在解答此題時我們容易受思維定勢負遷移的作用，輕易相信解法：︱Z︱min=6-︱3+4i︱=1，這是腦中無“形”的表現，只有正確的畫出如圖5，才能找到正確答案︱Z︱min =0

例6，求經過圓C1：x2+y2=9和圓C2：x2+y2-14x+33=0的交點且經過P（2，1）的圓的方程。

分析：我們在解此題時往往很自然的使用圓系方程，設所求方程為x2+y2-9+λ（ x2+y2-14x+33）=0，再將點P的坐標代入后求出λ=2/5，然后再把λ=2/5代回方程得7X2 + 7y2-28x + 21 = 0，此時 我們便認為大功告成了。實際上這個結論不完整的，只要圖形（如圖6）一畫出，就得知原來的這兩個 圓相外切，它們僅有一個公共 點，故給定條件實質上是兩個 已知點P、Q，所求解應為圓心 在P、Q兩點的連線的垂直平分線上的圓系方程，如圖PQ的垂直平分線方程為x-y-2 = 0，故所求圓 的方程的圓心可設為（a， a-2），本題的解為x2+y2-2ax+2（a-2）y+6a-9=0，由此可見，研究“數”問題，利用“形”就不易出錯。

4.數形滲透，培養數學思維的廣闊性。

例7.如圖7，設點A對應復數2，點 B為丨Z|=l上的動點，△ABC是以BC為斜 邊的等腰直角三角形，且A、B、C是按 順時針次序排列的。求C點的軌跡方程。

解法一：設ZB=x1+y1i，ZC=x+yi，由于繞點A按逆時針方向旋轉90°得，所以x1+y1-2=（x+yi-2）i，從而x1=2-y，y1=x-2，將其代入x12+y12=1得點C的軌跡方程為（x-2）2+（y-2）2=1.

解二：設ZB=cosθ+isinθ，則x=2+sinθ，且y=2-cosθ，消去參數得：（x-2）2+（y-2）2=1.

解三：繞點A按逆時針方向旋轉得。

∴ZB-2=（ZC-2）i，∵丨ZB |=l，∴|（ZC-2）i+2|=1，即|Z-（2+2i）|=1.

解四：由ZC= -ZBi+2+2i，用全等變換方法可得點C的軌跡為（2，2）為圓心，1為半徑的圓，∴（x-2）2+（y-2）2=1.

二、 數形結合，培養我們的創新意識和創新精神。

數形結合思想能引導我們突破常規，另辟路徑，打破已有的思維 定勢。同時也只有不墨守成規，敢于沖破常規解法、常規思路的束縛，才能擺脫思維的呆扳性，才能有所創新。

例8，已知x，y，z均大于零，a=， b=

c=，求適：a + b>c，b+c>a，c + a>b

此題用常規的思維方法，我們可能久思不得其解，陷入了“山重水復疑無路”之境，如果我們不要固守常規解題模式，通過分析a2 = x2 + y2 - 2xycos120°，ba = y2+z2— 2yzCosl20 °，c2 = x2 +z2-2xzCosl20°

運用余弦定理，構造出如圖三角形，讓我們仿佛進入了“柳暗花明又一村”的天地，這無疑培養了我們的創新意識和創新精神.

三、數形結合，錘煉“雙基”，啟迪思維。

“雙基”是各類數學考試重點，同時又是形成能力的基礎，在復習中 注意有關的數形結合的應用，就能錘煉“雙基”，啟迪思維。

1.數形結合在選擇題中的應用。

例9：方裎sinX=lgX的實教根個數是（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D.無窮多

分析：由對數函數的定義域知x>0， 又丨sinX 丨≤1，故lgX≤1，即X≤10，所以只要在（0， 10]上畫出Y2=LgX，Y2=sinX的圖象（圖9），可知方程有3個解，應選（C） .

例10：0.32，20.3，log20.3三個數的大小順序是（ ）

A. 0.32<20.3

C. log20.3<0.32<20.3 D. log20.3<20.3<0.32

分析：題中的三個數可分別視為三個函數Y1 =X2， Y2=2x，Y3 = log2X，當自變量取值 為x = 0. 3時的函數值，可在同一坐標系中畫出 三個函數的圖像和直線x = 0.3，從圖10可知答案為（C）

2.數形結合在解填空題中的應用.

例11：已知X+Y+1=0，則的最小值是_。

分析：如果將看成是兩點間的矩離，那么我們頭腦里構造一個幾何模型。點（1，1）到直線x+y+l=0的距離即為滿足題設的最小值，。

四、加強數形結合訓練，把握數學思想精髓

加強數形結合訓練，可以鞏固和加深有關數學概念的理解，打好數學基礎，優化數學思維品質，培養我們的創新意識和創新能力，提高分析、解決問題能力。而在訓練中還應注意以下幾點：

1.以數探形，挖掘條件

數學問題的表述往往是抽象的，讓解題者困惑，應注意把題中條件，數學語言用圖形表示，并善于發現、挖掘隱含的條件，達到柳暗花明的功效。

2. 數形比較，嚴密解題

有些代數問題，若用純代數方法解題時，由于變形時不等價或考慮不周，易解錯或漏解。若能將數轉化為形，就能化繁為簡、化難為易，解法新穎別致，回味無窮。尤其對學生培養發散性思維和創造性思維有很幫助

3.數形兼顧，準確解題

數是形的依據，形是數（式）的體現，兩者不可偏廢，要兼顧，才 能準確解題。否則會因草圖的粗糙輕率，畫錯圖而解錯題，

總之，只有把數量關系的精確刻劃與幾何圖形的直觀形象有機地 結合起來，才能充分暴露問題的條件與結論之間的內在聯系。通過‘ 數”與形”之間的對立.轉化，來優化解決問題的方法，把握數學 精髓。

最后引用著名數學家華羅庚的話“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離”。

參考文獻

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