問題驅動激思維，挖掘思想突本質

龔圣龍

[摘 要] 從數學知識發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，將“斐波那契解三次方程”的歷史故事運用于教學，使得引入與后面的探究渾然一體，利用問題驅動激活學生思維，突出數學本質.

[關鍵詞] “三個理解”；問題驅動；數學文化

2016年10月在鄂爾多斯舉行的全國綠色課堂杯高中數學青年教師優質課比賽與觀摩活動中，筆者設計并執教的人教B版《求函數零點的一種計算方法》給與會專家和教師留下了深刻的印象，獲得了特等獎. 本課就如何在課堂中利用問題驅動激活學生思維，挖掘教材顯性知識背后隱性的數學思想方法，突出數學本質，培養學生的思維能力方面進行了有益的嘗試. 以下是部分教學實錄與思考，希望與各位老師一起探討.

教學過程實錄

1. 情境創設，提出問題

師：這節課，我們共同研究一個熟悉的話題——解方程.

（1）2x-1=0；（2）x2+2x-3=0；（3）x3+2x2+10x-20=0.

生：基本都很快自主完成了方程（1）和方程（2）的求解，但在求解方程（3）時犯難了.

師：這第三個方程可不是老師隨便寫的一個. 在神圣羅馬帝國時期，人們經常在公共場合舉行解方程比賽，比賽常常吸引眾多的觀眾，其盛大情況，比我們今天到場的人還多，堪比明星演唱會. 國王腓特列二世也是一個數學迷，有一次他舉行了一個宮廷數學競賽，其中一道題就是求方程x3+2x2+10x-20=0的根.

師：跟大家一樣，當時沒有一個人能解出這個方程的根來，但是來自比薩的大數學家斐波那契卻贏得了比賽，深受國王的贊賞. 因為他成功地獲得了方程的近似解，并且精確到了小數點之后的6位數字.

師：大家想不想知道他是怎么算出這個近似解的？

生：想！

師：可惜他的解法已經失傳了，沒有人知道他當時是怎么解出來的，這也就成了數學史上的一個千古之謎.

師：同學們，本節課，就讓我們發揮奇思妙想，嘗試當一下斐波那契，給這個千古之謎一個合理的解釋.

設計意圖：從學生熟悉的簡單方程入手，輕松地進入課堂，開門見山，進入數學的情境中. 方程（3）大家都不會解，將“斐波那契解三次方程”的歷史故事運用于教學，引領學生對數學史上的一個未解之謎進行探秘，通過故事引入環節挑戰數學家的奇思妙想，激發學生的好奇心和求知欲.

2. 探究問題，建構新知

探究1：找出f（x）=x3+2x2+10x-20零點所在的一個區間？

生1：f（1）=-7， f（2）=16， f（1）f（2）<0，所以零點在（1，2）內.

生2：我想通過數形結合的方法找出這個區間， f（x）的圖像我不會畫，但是會畫f（x）=x3的圖像和二次函數f（x）=-2x2-10x+20的圖像，觀察這兩個圖像的交點所在的區間即可.

師：剛才兩位同學的厲害之處在于把搜索范圍從整個x軸縮小到（1，2）這個區間上了，如果能將區間（1，2）再縮小些，不就更接近我們要找的零點了嗎？

探究2：有哪些方法能將區間（1，2）不斷地縮小，使得零點還在里面？

生3：求f（1.1）， f（1.2）， f（1.3），不斷縮小區間.

生4：不斷取中點縮小區間.

生5：既然二等分可以，那取三等分點、四等分點等也應該是可以的.

生6：還可以從兩邊分別取值往中間擠，最終肯定能縮小區間.

師：大家的目標都是不斷地縮小區間，逐步逼近零點. 但都還局限在等分上，不是等分的縮小可不可以呢？

生7：當然可以，本質一樣.

師：這些方法都可以達到縮小區間的目的，那大家覺得哪種縮小區間的方法更好呢？為什么？

生8：取中點的方法，因為這樣要簡單一些.

師：很好！取中點簡單、易操作，又能快速縮小區間. 現在我們就用這種取中點的方法來尋找和零點更加接近的區間. （利用手中的計算器）

探究3：區間越來越小，那么一直這么進行下去是不是一定能求出零點的準確值呢？

生：（討論）有些說可以，有些說不行.

師：實際上許多問題不需要準確值，只需要在某個誤差范圍內就可以了，就像我們買黃金飾品的時候誤差為千分之幾克，買蘿卜、買小菜的時候就只關注是幾斤幾兩了.

設計意圖：由于學生以前的數學經驗中基本都是精確的解，所以潛意識里總是覺得都能求出精確解，這里向學生說明很多時候是沒有精確解的，并且讓學生體會無限逼近的極限思想. 通過黃金、小菜的例子說明生活中大都允許一定的誤差，只是要求不一樣而已. 通過此探究也讓學生明白，二分法求出來的不一定是近似的零點. 如果某個中點的函數值恰好等于0，那就是精確解了. 在后面學習的算法語言里也會體現.

探究4：怎么才能確定近似值與零點真實值的誤差（精確度）不超過0.1？

師：求出f（x）=x3+2x2+10x-20零點的近似值（精確度0.1）中“精確度0.1”的含義是什么？

生9：近似值與真實值的差的絕對值不超過0.1.

師：現在零點的真實值我們不知道，近似值也沒求出來，那怎么才能保證零點近似值與真實值的誤差不超過0.1呢？

生10：區間長度小于0.1.

設計意圖：學生面臨的問題是零點的真實值我們不知道，近似值也還沒求出來，那怎么才能保證零點近似值與真實值的誤差不超過0.1呢？這實際上是有一個轉化的數學思想在里面，兩個都是未知的不好操作，但是零點的真實值肯定在最后這個區間里，如果在這個區間里取近似值，并且用區間的長度（是已知的）與給定的精確度比較，顯然是一種很好的處理方法. 這里學生可能不易理解，在教學的過程中畫個數軸，標出區間端點和零點的位置，結合幾何直觀說明.endprint

完成4個探究活動，實際上就是師生一起合作，學生在實際操作中體會二分法的思想，理解其實質. 并且在過程中，讓學生邊思考，邊操作，邊體會，可以讓學生更好地理解二分法的思想，也為后面的概括抽象積累經驗.

后面幾個教學環節很多老師大同小異，不再贅述.

3. 學生給出二分法的定義，歸納基本步驟

設計意圖：數學學習不能只停留在經驗部分，需要上升到理論水平. 通過歸納、總結二分法的實質及利用二分法求函數零點近似值的步驟，形成有關二分法的理論知識，訓練學生的數學語言表達能力，培養學生的概括能力和抽象思維能力.

4. 例題鞏固二分法思想的應用

借助計算器，用二分法求函數f（x）=x3+1.1x2+0.9x-1.4零點的近似解（精確度0.1）.

設計意圖：通過例題讓學生體會用二分法求函數近似零點的完整過程. 學生通過交流合作進一步理解二分法的思想實質，掌握用二分法求方程近似解的步驟. 了解二分法在生活中的應用.

5. 歸納小結，給出口訣，算法框圖語言

定區間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間.

設計意圖：給出算法的概念，讓學生體會算法的優越性. 也為后面必修3中系統地學習算法做好鋪墊.

6. 介紹求近似值的其他方法

如華羅庚優選法、牛頓迭代法等，再次讓學生了解二分法只是求函數零點近似值的一種常用方法.

作業布置：

（1）第92頁習題3.1A組第3、4題；

（2）查找有關資料或利用互聯網查找有關高次代數方程的解的研究史料，追尋阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois），增強探索精神，培養創新意識.

（3）將你這節課的收獲與感受寫成一篇小報告或小論文的形式. 如《二分法的應用》《我看“逼近”思想》等.

教學感悟

人教社章建躍博士說中學數學教師要做到“三個理解”：理解數學、理解學生、理解教學. 要從數學知識發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考. 基于此，本設計著力從以下幾個方面努力做出了一些微創新：

1. 用簡單的方程和“斐波那契解三次方程”的歷史故事引入

從學生熟悉的簡單方程入手，輕松地進入課堂，開門見山，進入數學的情境中. 將“斐波那契解三次方程”的歷史故事運用于教學，引導學生對數學史上的一個未解之謎進行探秘，通過故事引入環節挑戰數學家的奇思妙想，激發學生的好奇心和求知欲.

南京大學鄭毓信教授指出情境創設的一個重要標準是：不僅僅起到“敲門磚”的作用，還應當在課程的進一步開展中自始至終發揮一定的導向作用.

本設計中的故事能引起學生的興趣，并且接下來就是圍繞這個方程來探究二分法，不會造成引入完了就完了的“兩張皮”現象，使得引入與后面的探究渾然一體.

2. 拿出二分法采用從特殊到一般的過程

教材上是先給出二分法的一般算法，比較抽象，不易理解. 所以本設計教學中采取不先講一般的理論，而是先結合引入中的三次方程來引導學生探究，再由學生結合這個具體的例子的探究過程嘗試歸納出二分法的一般步驟. 這樣更便于學生理解，并且在過程中培養了學生的歸納概括能力.

3. 以問題串和探究活動組織課堂

數學發展史表明，每一個數學概念、公式、定理的形成和發展都有著豐富的經歷，但教科書上不可能詳細呈現. 我們應該在對教材的二次開發過程中，讓學生親身經歷概念、定理等的建構過程，盡量接近數學家當初的困惑及思考，由自然到必然，揭示問題本質.

4. 讓學生明白二分法只是求函數零點近似值的一種常用方法

教學中無論是探究活動中的那些方法，還是后面介紹的華羅庚優選法、牛頓插值法、秦九韶算法等，包括作業中讓學生課后到網上查閱的相關資料，都是想讓學生明白二分法是一種很重要的算法，但不是唯一的甚至也并不見得就是最好的方法. 在整個教學過程中通過不同的環節慢慢滲透，肯定比說教強加給學生強. 通過這樣的設計力求拓寬學生的思維，課堂內容內涵豐富，凸顯數學的本質. 正是設計時定位“二分”也不是本節課的核心實質，只不過是其中的一種方法而已，所以引入時堅決不用猜價格的游戲，這個游戲一個很大的弊端就是由于太熟悉了恰好把學生的思想限定在“二分”上了，不利于學生思維的發散.endprint