提高學生英語背誦效率的有效策略

袁曉琳

摘 要 中學數學教師在進行教學設計時需圍繞“為什么要教”和“如何有效地教”兩個問題展開，而數學史能很好地回答這兩個問題。從數學知識的產生與發展角度重新解讀教材內容，利用“現實的數學”和“再創造”的教學原則組織教學過程，有助于說明教學內容的重要性和促進課堂教學的有效性。

關鍵詞 教學設計 問題驅動 數學史 再創造

數學史家莫里斯·克萊因（M.Kline）指出“數學史是教學的指南”，因為個體知識的發生過程遵循人類知識的發展過程[1]。弗賴登塔爾（H.Freudenthal）認為“年輕的學習者重蹈人類的學習過程，盡管方式改變了”，同時也指出“我們不應該完全遵循發明者的歷史足跡，而是經過改良的有更好引導的歷史過程”[2]。在此基礎上他提出了兩個重要的數學教學原則——“現實的數學”和“再創造”。即應依據數學史和學生實際對教材內容重組再創造，設置恰當的問題情境讓學生經歷數學知識的再發現過程和體驗所涉及的思想方法。

數學史是一種文化，記載著數學思想的發生與形成過程。初等數學內容大都是為解決某個實際問題在歷史長河中慢慢形成的，因此，了解數學史有助于教師更好地理解相關教學內容產生的背景及其在生產生活中的應用。這既能回答“為什么要教”，又能解決“如何有效地教”，為情景創設提供依據和參考。該如何有效地運用數學史進行教學設計？下面嘗試對高中“正弦定理”和“余弦定理”的教學內容進行分析，提出相應的教學建議。

一、對“正、余弦定理”教材編寫的思考

以人教版教材必修5為例，“正弦定理”和“余弦定理”的教學內容獨立介紹，并以不同的方式引入[3]。

（1）已知兩邊及其所夾的角；（2）已知三邊。最后還探討了余弦定理和勾股定理的關系。

一節課的開端非常重要，教師進行教學設計時常會審視教材：為什么要這樣引入和展開新知？有沒有更好的處理方式？首先一個疑慮是，教材對兩個定理的引入是否有些突兀？為什么會想到對直角三角形兩個銳角的正弦作變形得到特殊情形的正弦定理？為什么會考慮到用向量的數量積處理三角形的邊長問題？教材沒能很好地展現知識的發現過程，更多的是在已經知道結論的情況下反過來尋找各種驗證和證明方法。此外，正弦定理和余弦定理同是對于三角形邊角關系的探討結果，在教學中是否可以通過同一個生活或數學情境引入以體現課堂教學的高效性，同時體現知識間一脈相承的關系？

二、對常見教學設計的思考

從查找的相關文獻看，教學設計思路都能體現新課程標準的理念，注重數學與現實的聯系，以探究推動教學，強調對學生數學應用意識的培養[4-6]。以正弦定理為例，教學設計基本遵循：1.創設一個現實的問題情境體現數學知識的產生和形成過程；2.啟發、引導學生將現實問題轉化、抽象為數學問題；3.新問題與學生已有的知識儲備形成認知沖突，引導學生嘗試從特殊的直角三角形入手猜想結論再推廣至一般三角形并證明；4.利用正弦定理去解決2中所提出的問題[5]。

但上面所創設的情景較為繁雜，需花不少的時間完成1和2環節才能進入到新知的探索。且將現實情景抽象為數學問題后就放置一邊，然后脫離情境探討正弦定理后才回頭解決提出的問題。這樣的情境設計忽視了情境創設的目的性和實效性。從認知心理學的角度看，原來活動的吸引力和新活動的特點是影響注意轉移的主要因素[7]。如果創設的情境對學生有很大的吸引力且提出的問題學生自信能找到解決的辦法，那教師就很難轉移學生的學習注意，引到下一個任務的學習，從而導致教學設計環節的失敗。

三、從數學的歷史發展看平面中的“正、余弦定理”

遠在公元前3000年，人們已經在實際測量中發現三邊比例為3∶4∶5的三角形一定是直角三角形，后來發展為現在所熟知的畢達哥拉斯定理或稱勾股定理。勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情況，但兩個定理的發現完全在不同的歷史時代。歐幾里得（Euclid）最早給出了正弦與余弦的定義，提供了邊與角的關系。歷法和航海的發展要求人們對球面進行研究，所以從歷史發展順序看，球面三角的發展先于平面三角[8]。直到1450年后，由于平面三角在測量中的重要性，它才被突顯出來受到重視。韋達（Vieta）在1593年給出了普遍采用的平面三角形余弦定理公式：=。而平面三角形的正弦定理由波斯的歷史學家阿爾比魯尼（al-B？觘rūn？觘）給出并作了證明，后由雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）在1463年到1464年寫的《論三角》中對平面三角形正弦定理和球面三角形正弦定理加以清晰的表達。隨著數學自身的發展，平面中的正、余弦定理被推廣到n維歐氏空間中，得到n維正、余弦定理[9]。

從歷史的發展看，由于實際測量的需要在討論三角形邊角問題時產生了正弦定理和余弦定理。而由于數學自身發展的需要，數學家將這兩個結論推廣到了n維空間。這為教學的開展和探究提供了依據。

四、數學史視角下“正弦定理”和“正弦定理”的教學設想

根據教材內容的安排，正弦定理（第1課時）和余弦定理（第1課時）的教學目標主要是：掌握定理的公式結構并能進行簡單的計算；在探究發現定理及其證明的過程中豐富知識間的聯系，體會定理的應用價值和蘊含的數學思想方法。由于正、余弦定理的內在聯系，可利用同一個問題情景引入新課，使用相似的探究方式展開教學。目的是體現教學的連貫性，提高課堂的有效性和高效性。據此下面給出正弦定理（第1課時）的教學思路。

1.回顧直角三角形中的邊與角關系

復習勾股定理的內容、正弦和余弦的定義，以及它們的作用。

【意圖】為后面提出問題引入新知做鋪墊，緊扣勾股定理進行新知探究。

2.設置問題、引發思考

三角形按角分類，除直角三角形還有銳角和鈍角三角形。在生活中更多涉及到后面兩類三角形的邊長、角度及面積的測量和計算。而面積由邊長和角度確定，所以對一般三角形邊角關系的討論就顯得尤為重要。endprint

問題：某市在江的兩側A，B處有一座跨江大橋，橋長AB已知。為緩解交通壓力，市政公司要在A處及與B同側的C處之間規劃一條過江隧道。為估算隧道的造價成本，工作人員用測角儀測出了∠ABC，∠ACB的度數。由此能確定AC的距離嗎？

將上述的實際問題轉化為數學問題：如圖3，∠A，∠B，∠C對應的邊分別是a，b，c.若∠B，∠C的度數和邊長c的長度已知，如何求邊長b？

【意圖】通過創設實際情境，讓學生體會到新知識與生活的聯系及應用價值，激發求知欲；引導學生將現實情境轉化為數學模型與問題，通過“橫向數學化”[2]培養學生簡單的數學建模思想。

3.解決問題、探究定理

啟發提問1：大家已經知道直角三角形中的邊角關系，能否利用它們來解決這個問題？假定圖3是銳角三角形，能否將其轉化為直角三角形來處理呢？

【意圖】為了解決本節課的核心問題，通過啟發提問學生自然地想到作高引入輔助線構造直角三角形，解決了為什么要作和如何作輔助線的難點。同時也引導學生嘗試使用和體驗化未知為已知、化陌生為熟悉的化歸思想，以及轉化和“一般—特殊”的數學思想。

在探究過程中，教師需引導學生規范表述出正、余弦定理，并引領他們體會所涉及的數學思想、欣賞蘊含的數學美。

4.聯系舊知，形成新的認知結構

啟發提問2：結合之前學過的知識，還有沒有其它的方法證明正弦定理呢？（學生可能運用向量法、等積法或建立坐標系等方法[4-6]。）

【意圖】在已知定理結論的情況下，啟發學生從不同的角度去證明定理，尋找與已有知識間的聯系，有助于培養學生的發散思維能力和反思能力。且新知必須與學生已有的舊知緊密聯系形成新的認知結構，才能使新知識得以鞏固和運用

5.鞏固練習、小結

通過簡單的練習加深對定理的理解和運用；明確正弦定理在三角學中的重要地位及其在解三角形問題中的作用；回顧定理的證明方法和涉及的數學思想。

6.課后引申

思考：在平面中，從直角三角形出發轉而對一般三角形的探討得到正弦定理。那么，從平面類比到空間，在空間多面體中（以斜三棱柱為例）是否也存在類似的結論呢？

三角形中邊與角的關系，類比到三棱柱中則對應于面與二面角的關系.如圖4，斜三棱柱ABC-DEF中，記側面BEFC，ADFC，ADEB的面積分別為S1，S2，S3。作三棱柱的直截面GHI，記的三個內角分別為∠1，∠2，∠3。容易得到∠1，∠2，∠3分別是所在兩個側面構成的二面角的平面角。

【意圖】將正、余弦定理推廣到三維空間，目的是為開闊少數學有余力學生的數學視野，體會到類比思想在數學研究中的重要作用。解決這個問題又需利用新學的正、余弦定理，再次用到轉化的思想。

數學教材給教學提供了一個藍本，教師需結合數學史對教學內容進行再創造。讓學生在探究學習中親身經歷數學知識的再發現過程，同時也為學有余力的學生提供更多的思考。數學教學的主要目的是讓學生習得具體知識的同時掌握承載在知識之上的數學思想方法和解決問題的策略，所以教學過程中應重視數學思想方法的滲透，讓學生學會“數學地”思考。

參考文獻

[1] 徐章韜，汪曉勤，梅全雄.認知的歷史發生原理及其教學工程化——以數學學科為例[J].數學教育學報，2012（1）.

[2] 弗萊登塔爾.作為教育任務的數學[M].上海：上海教育出版社，1992.

[3] 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書·數學必修5[M].北京：人民教育出版社，2010.

[4]管理河.高中數學教學中的數學情景與提出問題——“正弦定理（一）”教學案例[J].數學教育學報，2002（4）.

[5] 吳新建.把“數學發現”的權利還給學生——正弦定理的教學設計[J].數學通訊，2004（11）.

[6] 周春雷.“余弦定理”的探究式教學[J].中學數學教學參考，2004（6）.

[7] 劉儒德.學習心理學[M].北京：高等教育出版社，2010.

[8] 莫里斯·克萊因.古今數學思想（第一冊）[M].上海：上海科學技術出版社，2014.

[9] 沈文選.單形論導引[M].長沙：湖南師范大學出版社，2000.

【責任編輯 郭振玲】endprint