剖析簡單知識，抓住數(shù)學(xué)思想本質(zhì)

高玉潔

[摘 要]加法交換律作為小學(xué)數(shù)學(xué)階段為數(shù)不多的定律之一，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起著非常重要的作用。剖析“加法交換律”這一簡單的知識，抓住這一知識背后的數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)，并通過四次執(zhí)教時(shí)的思考與探討，獲得了更具有指導(dǎo)性的教學(xué)方法。

[關(guān)鍵詞]加法交換律；數(shù)學(xué)思想；簡單知識

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）32-0016-02

2016年4月22日，我有幸在“現(xiàn)代與經(jīng)典”活動(dòng)上執(zhí)教 “加法運(yùn)算律”這一課，可以說，為了這節(jié)課我?guī)缀踅g盡腦汁，四次磨課的經(jīng)歷仍歷歷在目。

加法交換律如此簡單，還有必要教嗎？

加法交換律當(dāng)然要教，教學(xué)大綱安排這個(gè)內(nèi)容豈有不教之理？大家都知道，加法交換律在小學(xué)一年級的時(shí)候就已經(jīng)伴隨學(xué)生左右了，比如數(shù)的分與合（如圖1）；二年級的加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置進(jìn)行驗(yàn)算；根據(jù)圖中信息寫出2個(gè)或者4個(gè)算式的題目（如圖2）……都是加法交換律的一種應(yīng)用。一個(gè)伴隨了學(xué)生幾年的如此簡單的知識卻在四年級下學(xué)期時(shí)單獨(dú)列出來專門學(xué)習(xí)，究竟目的何在？難道僅僅是為了介紹運(yùn)算律？難道僅僅是為了后面的簡便計(jì)算奠定基礎(chǔ)？

必須教，而且教的要得當(dāng)！

帶著這樣的疑問，我翻閱了近十年中國期刊網(wǎng)和教育類期刊等有關(guān)加法運(yùn)算律的所有文章。從中發(fā)現(xiàn)，在四年級下學(xué)期教學(xué)運(yùn)算律并不僅僅是為后面的簡便運(yùn)算奠定基礎(chǔ)和提供保障，它還有更為重要的作用，那就是擴(kuò)充“數(shù)集”。所謂“數(shù)集”就是各種數(shù)的集合。在擴(kuò)充“數(shù)集”方面，“基本運(yùn)算律”扮演了一個(gè)非常重要的角色，即在擴(kuò)充后的新的數(shù)集（有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集）里，自然數(shù)的“基本運(yùn)算律”必須依然保持有效。加法交換律和加法結(jié)合律就是“基本運(yùn)算律”之一。

在第一學(xué)段，學(xué)生只是初步體會(huì)加法或乘法交換律的思想，教師并沒有告訴他們所謂加法或乘法的交換律是什么，而且也沒有這個(gè)必要。在第二學(xué)段，學(xué)習(xí)加法交換律和加法結(jié)合律時(shí)，學(xué)生就需要經(jīng)歷加法運(yùn)算律的數(shù)學(xué)化過程。基于加法運(yùn)算律的重要作用，這個(gè)內(nèi)容必須教，而且教的要得當(dāng)。如何才算得當(dāng)？這也是我在磨課過程中反復(fù)思量和推敲的。

既然有必要教，那該怎么教？

看似一節(jié)簡單的課，其實(shí)教起來真的不容易，正所謂“看人挑擔(dān)很輕松，自己挑擔(dān)重千斤”。在備課期間，我查閱了小數(shù)網(wǎng)、實(shí)錄課件光盤等視頻資料并進(jìn)行了梳理。在教學(xué)“運(yùn)算律”這一內(nèi)容時(shí)主要有兩大類：一類是安排“加法交換律和加法結(jié)合律”一個(gè)課時(shí)和“乘法交換律和乘法結(jié)合律”一個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。另一類是安排“加法交換律和乘法交換律”一個(gè)課時(shí)（以張齊華教師執(zhí)教課例為典型）和“加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律”一個(gè)課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。這兩種課時(shí)的安排方式都沒有原則性上的好與壞，可以說各有千秋。交換律和結(jié)合律分開教更能對比出加法交換律、乘法交換律，以及加法結(jié)合律、乘法結(jié)合律之間的區(qū)別和聯(lián)系，利于學(xué)生遷移和聯(lián)想，通過加法自然而然想到乘法、減法、除法等是否也存在這樣的規(guī)律。通過幾次試教，我確定了把加法交換律和乘法交換律作為一個(gè)課時(shí)來教學(xué)的思路。

教師要窺見加法交換律背后深層次的東西！

整體的教學(xué)思路確定了，接下來就是“磨”教學(xué)流程的過程。

第一次試教，我以算式62+38為切入口，給出豎式計(jì)算的過程，然后提問：“如何對這道加法算式進(jìn)行驗(yàn)算？”學(xué)生回答：“交換62和38的位置列豎式驗(yàn)算。”我追問：“為什么？”也就是這一問，讓聽課的教師有了很多的想法：為什么在引入環(huán)節(jié)大做文章呢？

蘇霍姆林斯基說：“如果教師不想方設(shè)法使學(xué)生進(jìn)入情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)，就急于傳授知識，那么這種知識只能使人產(chǎn)生冷漠的態(tài)度，而不動(dòng)感情的腦力活動(dòng)就會(huì)帶來疲倦。沒有歡欣鼓舞的心情，學(xué)習(xí)會(huì)成為學(xué)生沉重的負(fù)擔(dān)。”我的設(shè)計(jì)意圖是通過舊知引入新知，于是在課始，我就想抓住學(xué)生的眼球，但是學(xué)生并不知道為什么可以交換，而為什么可以交換正是教學(xué)加法交換律這一內(nèi)容所要研究的，顯然，讓學(xué)生用還沒學(xué)過的知識回答正要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是不符合教學(xué)邏輯的。

再次執(zhí)教時(shí)，我采用了南京市教研員朱宇輝教師提出的建議，直接用簡便計(jì)算進(jìn)行導(dǎo)入，因?yàn)閷W(xué)生雖然沒有學(xué)過加法交換律，但是已經(jīng)會(huì)運(yùn)用加法交換律湊整的方式進(jìn)行簡便計(jì)算。大家都覺得這樣的導(dǎo)入方式特別好，我在試教的過程中也非常順利，但是學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容的關(guān)鍵不是簡便計(jì)算，而是讓學(xué)生在觀察、比較、驗(yàn)證中探索出運(yùn)算律，所以加法交換律背后深層次的東西到底是什么？除了前面提到的簡便運(yùn)算、擴(kuò)充“數(shù)集”，還有其他的嗎？當(dāng)然有，就如前面提到的，是讓學(xué)生通過簡單的例子進(jìn)行觀察、比較、驗(yàn)證，從而得出結(jié)論，感受從特殊到一般的數(shù)學(xué)思考過程，感悟數(shù)學(xué)思想的存在。

如果教數(shù)學(xué)思想，那么要滲透到何種程度？

提到數(shù)學(xué)思想，不得不聯(lián)想到數(shù)學(xué)素養(yǎng)。國際學(xué)生評價(jià)項(xiàng)目（PISA）把數(shù)學(xué)素養(yǎng)界定為“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一種個(gè)人能力，學(xué)生能確定并理解數(shù)學(xué)在社會(huì)中所起的作用，得出有充分根據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和能夠有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)。這是作為一個(gè)有創(chuàng)新精神、關(guān)心他人和有思想的公民，適應(yīng)當(dāng)前及未來生活所必需的數(shù)學(xué)能力”。

加法交換律這一內(nèi)容，到底要為學(xué)生埋下怎樣的有關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的種子呢？我認(rèn)為：首先，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，通過觀察來發(fā)現(xiàn)等號左右兩邊的兩個(gè)加數(shù)有什么相同的地方和不同的地方；其次，要有追問意識，為什么兩個(gè)加數(shù)交換位置，和依然不變？再次，學(xué)生通過舉例子驗(yàn)證加法交換律的過程尤為重要，不能走過場，在課堂上舉什么樣的例子？如何舉例？到底舉多少個(gè)？……都要認(rèn)真思考。endprint

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。”我在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生舉例子，一開始，學(xué)生舉例子就是簡單地模仿，比如“4+6=6+4”，并沒有想過計(jì)算驗(yàn)證。這里到底需不需要計(jì)算驗(yàn)證？我認(rèn)為：有必要驗(yàn)證，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該具備的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S素養(yǎng)。

通過引導(dǎo)，學(xué)生舉例子的范圍慢慢變大（如上圖），通過不斷地舉例、觀察、分析與思考，有的學(xué)生甚至得出“三個(gè)數(shù)、四個(gè)數(shù)相加，交換位置后，它們的和依然不變”的結(jié)論，這種學(xué)習(xí)效果是非常理想的。

“授人以魚不如授人以漁。”因此，一堂真正具有思想深度的數(shù)學(xué)課，留給學(xué)生的是心靈激蕩的數(shù)學(xué)思考和長久受用的解決問題的數(shù)學(xué)方法，這是研究與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值之所在。其實(shí)數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是在一節(jié)課上，而是貫穿整個(gè)教學(xué)過程的始終，并不是一堂公開課才要兼顧數(shù)學(xué)思想方法的滲透與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，而應(yīng)每一堂實(shí)實(shí)在在的數(shù)學(xué)課上都要有這個(gè)意識。

我在教學(xué)加法交換律后提出一個(gè)問題：“在其他的運(yùn)算中是否也存在這樣的現(xiàn)象？”看似一個(gè)簡單的問題，卻能引發(fā)學(xué)生無限的思考。學(xué)生自然而然想到減法交換律、乘法交換律、除法交換律，但他們在舉例驗(yàn)證時(shí)，又遇到了新的問題：被減數(shù)和減數(shù)，被除數(shù)和除數(shù)相同時(shí)，減法交換律和除法交換律似乎并不成立。對此，我認(rèn)為只要能夠讓學(xué)生把握這個(gè)意識就可以了：驗(yàn)證一個(gè)規(guī)律成立，要舉很多個(gè)例子；否定一個(gè)規(guī)律存在，只要能舉出一個(gè)反例就夠了。事實(shí)上，學(xué)生能舉出很多反例證明不存在減法交換律和除法交換律。

鎖定不完全歸納法，為中學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)！

不完全歸納法是從一個(gè)或幾個(gè)（但不是全部）特殊情況做的考察中出一般性結(jié)論的歸納推理。不完全歸納法又叫普通歸納法。在中學(xué)階段，歸納法尤為重要。那么在小學(xué)階段，為了學(xué)生的中學(xué)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，教師應(yīng)該有意識地將其進(jìn)行滲透。

學(xué)生在舉例子驗(yàn)證的過程中往往都是脫口而出，并沒有計(jì)算，所以我先給出兩組題目“54+328=328+54；54+328=382、328+54=382、54+328=328+54”，然后提問：“你覺得哪一種舉例更科學(xué)、更嚴(yán)謹(jǐn)？如果讓你舉例子，你會(huì)采用哪種方式？”幾次試教后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生非常喜歡第二組的舉例方式，在后來舉例的過程中也能夠先計(jì)算再寫等式。

在舉例過程中，舉多少個(gè)例子才夠呢？事實(shí)上，舉例子并不求多，而是要有典型性和代表性，比如，追問：“舉出一位數(shù)加一位數(shù)僅僅這樣就可以了嗎？”學(xué)生自然而然想到一位數(shù)加兩位數(shù)、兩位數(shù)加兩位數(shù)等。這樣的引導(dǎo)顯然比讓學(xué)生隨意地舉例要好得多。

經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過程才是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)意義的真正所在。加法交換律這一小小的知識，蘊(yùn)含著大道理。在小學(xué)階段為中學(xué)的數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)提前鋪路，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益！

沒有絕對的真理，要有懷疑的意識！

葉圣陶先生曾說：“教材無非是個(gè)例子。”教材設(shè)置的加法交換律這一內(nèi)容很簡單，但是要教給學(xué)生的思想和素養(yǎng)卻是我們教師要認(rèn)真思考的。

加法交換律看上去似乎對于任何事物都成立，但事實(shí)并非如此。在沒有時(shí)間的空間下（三維以內(nèi)），加法交換律是完全正確的，一旦有了時(shí)間軸，這個(gè)定律就不成立了。什么叫沒有時(shí)間的空間下？什么叫時(shí)間軸？其實(shí)這些并不重要，重要的是培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑、反思的意識，讓學(xué)生在看待事物、學(xué)習(xí)知識的過程中且學(xué)且反思！加法交換律這一非常簡單的知識，表面上沒有什么教學(xué)難度，但實(shí)際上是存在一定難度的，其難在教師要通過實(shí)際教學(xué)分析出最適合學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想，而這也正是這節(jié)課教學(xué)的目的所在！

（責(zé)編 金 鈴）endprint