淺談初中數(shù)學(xué)數(shù)軸上行程問題的解決

方瑞祥??

摘要：數(shù)軸上的行程問題是初中數(shù)學(xué)中比較重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生而言具有一定的難度。而對(duì)于數(shù)軸上的行程問題要如何解決，也是值得深入研究考量的。對(duì)此，本文首先分析了數(shù)軸上行程問題的基本內(nèi)涵，然后闡述了解決這些問題的具體方法對(duì)策，希望可以對(duì)學(xué)生有效掌握相關(guān)知識(shí)提供可靠的參考指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)軸行程問題；基本內(nèi)涵；解決方法

數(shù)軸并非一根實(shí)際存在的軸，其是假想出來(lái)的，表示所有數(shù)在這一根軸上的變化。在數(shù)學(xué)教學(xué)不斷進(jìn)步發(fā)展的情況下，出現(xiàn)了數(shù)軸行程這一類問題，其可以看作是追及、相遇問題在數(shù)軸上的表現(xiàn)。由于數(shù)軸本身是不存在的，因此在教學(xué)中學(xué)生很容易產(chǎn)生理解上的差錯(cuò)，從而不能正確對(duì)問題進(jìn)行求解。

一、 數(shù)軸上行程問題的內(nèi)涵分析

數(shù)軸上行程問題是將傳統(tǒng)行程問題和數(shù)軸相結(jié)合的一個(gè)全新的教學(xué)內(nèi)容，其有效實(shí)現(xiàn)了兩部分知識(shí)點(diǎn)的融合，可以通過(guò)這一個(gè)點(diǎn)的教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)軸和行程都形成理解認(rèn)識(shí)。在數(shù)軸行程問題中，其既會(huì)涉及數(shù)軸自身的基本概念，又會(huì)涉及行程問題中的追及和相遇，可謂復(fù)雜程度顯著提升，對(duì)于學(xué)生的思維能力要求更高。根據(jù)實(shí)際的問題來(lái)看，數(shù)軸上的行程問題和傳統(tǒng)的行程問題相似，也可以分為追及、相遇、遠(yuǎn)離、速度等不同的類別，下面就一一進(jìn)行闡述。

（一） 追及類數(shù)軸行程問題。這類問題同傳統(tǒng)的行程追及問題相似，主要區(qū)別在于追及的對(duì)象發(fā)生了變化。傳統(tǒng)追及問題的追及對(duì)象是人、車輛等，而數(shù)軸行程追及問題的對(duì)象變成了數(shù)字。例如：已知數(shù)軸上有兩點(diǎn)A和B，兩點(diǎn)的坐標(biāo)別為2和10，如果A點(diǎn)以每秒4個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，而B點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，那么在多少秒以后，A點(diǎn)可以追上B點(diǎn)？從這個(gè)問題可以看出，數(shù)軸行程追及問題也是兩個(gè)對(duì)象處在不同的起始位置，然后依照不同的速度向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，最后在一定時(shí)間后處于同一個(gè)位置。

（二） 相遇類數(shù)軸行程問題。顧名思義，相遇類數(shù)軸行程問題就是在數(shù)軸上，有兩個(gè)處在不同位置的數(shù)，然后分別以相同或是不同的速度相向運(yùn)動(dòng)，在一定時(shí)間之后相遇，處于同一位置。例如：在數(shù)軸上有A和B兩個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為-12和12，若A點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)以每秒4個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)其相遇時(shí)，距離原點(diǎn)多少個(gè)單位？這就是一個(gè)相遇類的數(shù)軸行程相遇問題，其核心思想是和傳統(tǒng)相遇問題一致的，只是載體出現(xiàn)了變化。

（三） 遠(yuǎn)離類數(shù)軸行程問題。這類問題就是兩個(gè)對(duì)象在同一位置或是不同位置，在相同時(shí)間或是不同時(shí)間，以不同的速度同向或是反向運(yùn)動(dòng)，要求出在一定時(shí)間之后距離多遠(yuǎn)。例如：數(shù)軸上有A和B兩個(gè)點(diǎn)，其分別處在2和6的坐標(biāo)位置，其中點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，那么兩個(gè)點(diǎn)要達(dá)到44個(gè)單位的距離，需要花費(fèi)多少秒的運(yùn)動(dòng)時(shí)間？這個(gè)問題就是比較典型的遠(yuǎn)離類問題，兩個(gè)單位之間的距離越來(lái)越遠(yuǎn)，最后達(dá)到問題所求的距離。

（四） 速度類數(shù)軸行程問題。這類一般是在限定時(shí)間和距離的情況下，對(duì)其中一個(gè)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行求解。例如：在數(shù)軸上存在兩個(gè)點(diǎn)A和B，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為2，點(diǎn)B坐標(biāo)為8，兩個(gè)點(diǎn)都向右側(cè)運(yùn)動(dòng)，3秒后相距3個(gè)單位，已知點(diǎn)B的速度為每秒4個(gè)單位，那么點(diǎn)A的速度為多少？這就是一個(gè)比較典型的求解速度的問題，其解題關(guān)鍵和傳統(tǒng)行程速度問題是一致的，需要在教學(xué)中予以注意。

二、 數(shù)軸上行程問題的解題要點(diǎn)

數(shù)軸上行程問題的類型多樣，條件、問題都不相同。但是，由于這類問題本身的特殊性，使其存在一些關(guān)鍵要點(diǎn)，在解題過(guò)程中，就需要對(duì)這些關(guān)鍵要點(diǎn)予以有效把握，從而確保解題準(zhǔn)確。

第一，要明確數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)之間的距離關(guān)系。和傳統(tǒng)行程問題不同的是，在數(shù)軸上的數(shù)有正負(fù)之分，點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)決定了正負(fù)關(guān)系。要對(duì)兩個(gè)點(diǎn)之間的距離進(jìn)行確定，則一定要用右側(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)減去左側(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣得出的結(jié)果就是兩者之間的距離。例如點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為3和-2，那么右側(cè)減左側(cè)就是3-（-2）=5，即二者距離為5個(gè)單位。

第二，點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)可以看作一個(gè)加減過(guò)程，即向右側(cè)移動(dòng)看作加，向左側(cè)移動(dòng)看作減。比如，點(diǎn)A的坐標(biāo)為5，如果向右側(cè)移動(dòng)5個(gè)單位，那么就是5+5=10，移動(dòng)后的坐標(biāo)就是10。如果向左側(cè)移動(dòng)3個(gè)單位，那么就是5-3=2，移動(dòng)后的坐標(biāo)就是2。

第三，數(shù)軸上的行程問題實(shí)際上就是將問題放在了數(shù)軸當(dāng)中，使得問題本身就存在數(shù)形結(jié)合的屬性。因此在解答相關(guān)題目的時(shí)候，不能脫離數(shù)軸單純想象，而應(yīng)該將數(shù)軸畫出來(lái)，實(shí)際演示數(shù)軸上點(diǎn)的具體移動(dòng)過(guò)程，理清其中的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，從而找準(zhǔn)解答題目的關(guān)鍵信息。

三、 數(shù)軸上行程問題的解答方法

（一） 圖形法

數(shù)軸上行程問題本身具有的數(shù)形結(jié)合屬性，就使得圖形法成為了解答此類題目的最有效手段。在解答相關(guān)題目的時(shí)候，根據(jù)題意畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上標(biāo)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，以及其在移動(dòng)前后的位置關(guān)系，以此明確運(yùn)動(dòng)過(guò)程，得出解題思路。在教學(xué)中，教師就需要以實(shí)際的題目對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠?qū)D形法有效掌握。

例如：在數(shù)軸上有A和B兩個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為2，如果點(diǎn)A以每秒3個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，那么在多少秒之后，點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)相同？這就是一個(gè)簡(jiǎn)單的追及問題，依據(jù)圖形法，可以畫出A、B兩個(gè)點(diǎn)的位置示意圖，如下圖所示。首先可以得出兩個(gè)點(diǎn)之間的距離，即AB=2-（-3）=5，即相距5個(gè)單位，然后可以就算兩個(gè)點(diǎn)移動(dòng)速度的差值，即3-2=1，最后就可以計(jì)算出相遇時(shí)間：5÷1=5秒。

從這個(gè)題目可以看出，在數(shù)軸上將題目中的位置關(guān)系表示出來(lái)，就可以非常明顯地看出兩者之間的距離關(guān)系，然后根據(jù)題目所給出的速度關(guān)系，就可以快速求出相遇時(shí)所需花費(fèi)的時(shí)間。不僅如此，如果將上述題目的條件進(jìn)行簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，就可以改變成一個(gè)遠(yuǎn)離類問題：點(diǎn)A移動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)B移動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位，則兩者相距10個(gè)單位時(shí)，經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間？改變條件之后就可以得出，之后相距為10個(gè)單位，之前相距為5個(gè)單位，因此運(yùn)動(dòng)使得兩者距離增加了5個(gè)單位。而根據(jù)速度差3-2=1，可以得出時(shí)間為5÷1=5秒，即5秒后兩者距離拉大到10個(gè)單位。endprint

（二） 轉(zhuǎn)化法

數(shù)軸本身的抽象性使得學(xué)生在理解上容易出現(xiàn)問題，因此在遇到相關(guān)題目的時(shí)候，可以將數(shù)軸行程類問題轉(zhuǎn)化成傳統(tǒng)的行程問題，在求解之后再將結(jié)果轉(zhuǎn)化到數(shù)軸之上。通過(guò)這樣一個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，就將抽象的問題轉(zhuǎn)化成了學(xué)生所熟知的具象問題，可以實(shí)現(xiàn)有效解答。

例如：有A和B兩個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上，其坐標(biāo)分別為1和9，在3秒后兩者相距2個(gè)單位，已知點(diǎn)B的速度為每秒4個(gè)單位，但是方向未知，試求點(diǎn)A的速度以及運(yùn)動(dòng)方向。這道題目難度稍大，若是通過(guò)圖形法求解，由于點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)方向未知，學(xué)生很可能在圖形上繞暈自己。因此，可以將其轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的行程問題，方便求解。因此可以將其轉(zhuǎn)化為：甲乙兩人相距8公里，3小時(shí)后相距2公里，已知乙的速度為每小時(shí)4公里，那么試求甲的速度。轉(zhuǎn)化之后可以發(fā)現(xiàn)，3小時(shí)乙運(yùn)動(dòng)了12公里，因此甲乙兩人不可能相向而行，必然是同向運(yùn)動(dòng)。由此可以設(shè)甲的速度為x，則（x-4）×3=8-2，可以解得x=6。再將答案轉(zhuǎn)化到原題中，即點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)速度為每秒6個(gè)單位。然后再考慮運(yùn)動(dòng)方向，由于點(diǎn)A速度大于點(diǎn)B，若是向左運(yùn)動(dòng)，兩者距離會(huì)越來(lái)越大，因此兩者都是向右運(yùn)動(dòng)。由此可得，點(diǎn)A的速度為每秒6個(gè)單位，向右運(yùn)動(dòng)。

（三） 聯(lián)想法

所謂聯(lián)想法，就是將數(shù)軸上的點(diǎn)聯(lián)想為其他動(dòng)態(tài)的對(duì)象，如一只螞蟻、一只蜜蜂，通過(guò)螞蟻、蜜蜂的形象運(yùn)動(dòng)，消除題目本身的抽象性。

例如：數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)分別為A和B，坐標(biāo)分別為-10和5，現(xiàn)在點(diǎn)A向右側(cè)移動(dòng)2秒，每秒移動(dòng)2個(gè)單位。然后點(diǎn)B向左移動(dòng)，每秒移動(dòng)3個(gè)單位，2秒之后，兩個(gè)點(diǎn)相距多少個(gè)單位？對(duì)于這個(gè)題目，就可以采取聯(lián)想法，將點(diǎn)A想象為一只螞蟻，將點(diǎn)B想象為一只蜜蜂，然后就是螞蟻先移動(dòng)2秒，再和蜜蜂一起移動(dòng)。于是可以得出：2×2=4，3×2=6，2×2=4；4+6+4=14，15-14=1，即兩者相距1個(gè)單位。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)軸上的行程問題在初中階段是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)其形成有效掌握，才能對(duì)數(shù)軸的相關(guān)知識(shí)清晰理解。對(duì)此，需要明確這類問題的類型特點(diǎn)，掌握解題關(guān)鍵，對(duì)圖形法、轉(zhuǎn)化法和聯(lián)想法巧妙利用，確保可以高效、準(zhǔn)確地解答這類題目。

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