揚概念探究之帆，啟能力提升之航

陳小芬

摘 要：概念是思維的細胞，因此我們必須十分重視基本概念的教學，在核心概念的教學上更是要做到“不惜時，不惜力”，讓學生能揚概念探究之帆，啟能力提升之航。“數學根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！” 本節課筆者在“為什么研究函數圖象對稱性”及“為什么要從代數的角度研究圖象的對稱性”等方面都設置了恰當的問題。

關鍵詞：奇偶性；概念教學；自主探究

一、 問題的提出

（一） “雙基”變“四基”——數學課程目標的新發展

數學教學在注重“雙基”的基礎上由東北師范大學史寧中校長提出了對數學基本思想方法和基本活動經驗的要求，并于2011 年正式寫入《義務教育數學課程標準》。作為義務教育后的高中課程，不僅是培養公民應有數學素養的基礎性課程，也是一門培養公民應有數學素養的發展性課程。這就要求學生通過數學學習不僅要獲得必需的知識與技能，還要在數學學習過程中提升對數學的感悟，加深對數學的認識，不斷積累經驗、獲得數學發展，培養提出、分析、解決數學問題的能力。

（二） 教材分析

本節是《普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修1）》（人教版）第一章第1.3.2“函數的奇偶性”。培養學生熟悉函數語言及符號并能熟練運用是本章的核心目標之一，本節的教學任務是通過符號化、形式化來使函數性質數學化，與此前函數單調性一脈相承，是后繼研究指數函數、對數函數、冪函數及三角函數的基礎。因此，本節課起著承上啟下的作用。

教學目標：

（1） 學生通過動手畫圖的數學活動，在感知函數圖象對稱性的過程中，逐步建立奇偶性概念；

（2） 能用數量關系刻畫函數圖象的對稱性；

（3） 會通過圖象特點判斷函數的奇偶性，能用奇偶性的定義判斷證明函數的奇偶性；

教學重點：

用數量關系刻畫函數圖象的對稱性

教學難點：

如何引導學生通過發現對稱點之間坐標的數量關系過渡到用數量關系刻畫函數圖象的對稱性

二、 教學實錄

（一）由特殊到一般——從直觀感受到深刻感悟

問題1 你能畫出函數f（x）=x0、f（x）=x2、f（x）=x4的圖象嗎？

（事先發給學生一張帶有坐標系及表格的紙，學生馬上在紙上作圖。前兩個函數圖象學生很快就畫好，第三個函數很多學生愣住了，不知如何下筆）

師（適時提示）：如何畫函數圖象？

生（恍然大悟）：列表，描點，連線。

設計說明 前兩個圖象學生在初中都接觸過，很容易畫出，第三個圖象對高一新生來說顯然有點難度，但學生可以利用初中已經學過的“描點法”進行作圖，通過動手實際畫圖的數學活動，既可直觀感知圖象的對稱性，又可有在數量關系上的體驗（在作圖的過程中會發現點坐標間的關系），為突破本節課的難點埋下伏筆。奧蘇貝爾指出：“影響學習的唯一的、最重要的因素是學生已經知道了什么。”

（教師實物投影學生的完成情況，再用幾何畫板畫出函數y=x6，y=x8的圖象）

問題2 觀察這5個函數圖象，從對稱的角度你發現了什么？

生：圖象關于y軸對稱

師：像這類關于y軸對稱的函數，我們起個什么名字好呢？

生（笑）：就叫偶函數吧，指數都是偶數的。

師：好，我們就把這類圖象關于y軸對稱的函數叫做“偶函數”。除了這些，你能說個偶函數的例子嗎？

生：如y=|x|，只要圖象關于y軸對稱的函數都是偶函數，還有很多。

設計說明 直觀感知圖象的對稱性，同時讓學生試著給這類函數命名，提高學生學習的主動性和積極性。這是一個初步定義，暫不出現形式化的符號表示，雖然不嚴格，但符合人們認識事物的規律，自然、合情。同時也給出了偶函數判斷的一種方法：幾何法，只要函數圖象關于y軸對稱的，就是偶函數，不僅僅是指數為偶數的這一類函數。

師：在我們的日常生活中也有許多對稱的現象：兩只耳朵、樹葉，摩天輪、剪紙等等（用投影顯示圖片），說明研究對稱性有一定的實際意義。

師： 以函數y=x2為例，請你說說是根據什么判斷它的圖象關于y軸對稱？

生：沿y軸把它對“折”，發現左右重合。

師：你怎么判斷對折后的圖象是完全重合的？

設計說明學生都覺得這是顯然的，但通過“折”這一數學活動，發現自己作的圖沒法達到預期的效果，但又不知道從何說起.學生思維進入了一種憤悱狀態，就會產生認知沖突的建構，從而更容易地激發學生對新知識需求的迫切心理，讓本課的研究主題“如何用精準入微的‘代數重新定義‘函數的奇偶性”呼之欲出。

師：剛才大家是出于一種幾何的直觀感覺判斷這些函數圖象關于y軸對稱，好，數學學習的確需要這種直覺，但也要注意到，我們不但要能大膽猜測，更要小心求證。何況，我們即使利用“描點法”畫的函數圖象有時也不大精準，再如：y=1x4+2x2+3，沒有幾何畫板這樣的工具，僅靠“描點法”是不容易畫出的。這個時候，我們就另尋他法，“形”上走不通，不妨走“數”，即用代數方法來研究幾何圖形！這樣的方法我們有用過嗎？

生：在研究函數單調性時，我們就是通過“任意的兩個值x1，x2，當x1

設計說明 想通過回顧單調性，類比函數圖象中用數量刻畫“上升”還是“下降”，為對稱性的數量刻畫做準備.

（二） 由感性到理性——用數量關系刻畫函數圖象的對稱性

問題3 如何從數的角度說明函數y=f（x）=x2的圖象確實關于y軸對稱？

生：我取了6個點（1，1），（2，4），（3，9）；（-1，1），（-2，4），（-3，9），發現它們關于y軸對稱.所以，我認為它的圖象是關于y軸對稱的。

師：若在此圖象上挖掉如下的一點呢？那它還關于y軸對稱嗎？

生：不是。

師：由此可見，函數的對稱性是一個整體的概念，且定義域有何特點？

生：關于y軸對稱。

師：那函數f（x）=x2，x∈[-1，3]是偶函數嗎？若不是，如何改動使其成為一個偶函數？

生：不是。改變定義域為[-1，1]即可，或其他[-2，2]等等。

師：是的，定義域關于y軸對稱（或者說關于原點對稱）是前提條件。我們可以用特殊點來說明圖象不是對稱的。由特殊到一般是數學基本的思想方法。那你通過1個、2個，6個甚至無數多個點就能說明圖象是關于y軸對稱的嗎？如何才能準確說明圖象是關于y軸對稱的？

片刻后，有學生回答：我們把 “點”改為“任意一點”。 設點P（a，f（a））是函數y=f（x）圖象上的任意一點，說明它關于y軸對稱的點也在函數圖象上，因為它是任意的，所以就能說明圖象確實是關于y軸對稱的。

師：你能證明嗎？

生：因為它關于y軸對稱的點為Q（-a，f（a）），且f（-a）=a2=f（a），所以點Q（-a，f（a））也在y=f（x）圖象上。

設計說明 通過嘗試探究具體函數，學生能初步感知解析式滿足f（-a）=f（a）的函數其圖象關于y軸對稱（先提是定義域關于原點對稱）。為正式出臺偶函數的概念積累一些具體的經驗。同時前置定義域關于原點對稱，呼應之前函數學習中提出的“定義域優先”的原則。

（三） 課時小結

1. 從函數知識脈絡看：數學學習過程是一個知識建構的過程，我們不僅僅學習數學的基本知識，更為重要的是要學會如何去學習，如何建構自己的知識脈絡結構。

2. 從思想方法看：數形結合思想是研究函數的一種重要思想方法，用代數方法研究幾何圖形特征，如本節課用數量關系刻畫函數圖象的對稱性。從點的對稱性到函數的奇偶性本質上也是一維到二維的延伸。

三、 回顧與反思

筆者精心設計教學流程，從“學生已有的學習經驗”進行教學設計，按“由特殊到一般——從直觀感受函數的對稱性到深刻感悟”“由感性到理性——用數量關系刻畫函數圖象的對稱性”“類比研究”“概念的深化”“概念的拓展”五個教學環節環環相扣。

參考文獻：

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