揚概念探究之帆，啟能力提升之航

陳小芬

摘 要：概念是思維的細胞，因此我們必須十分重視基本概念的教學，在核心概念的教學上更是要做到“不惜時，不惜力”，讓學生能揚概念探究之帆，啟能力提升之航。“數(shù)學根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！” 本節(jié)課筆者在“為什么研究函數(shù)圖象對稱性”及“為什么要從代數(shù)的角度研究圖象的對稱性”等方面都設置了恰當?shù)膯栴}。

關鍵詞：奇偶性；概念教學；自主探究

一、 問題的提出

（一） “雙基”變“四基”——數(shù)學課程目標的新發(fā)展

數(shù)學教學在注重“雙基”的基礎上由東北師范大學史寧中校長提出了對數(shù)學基本思想方法和基本活動經驗的要求，并于2011 年正式寫入《義務教育數(shù)學課程標準》。作為義務教育后的高中課程，不僅是培養(yǎng)公民應有數(shù)學素養(yǎng)的基礎性課程，也是一門培養(yǎng)公民應有數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展性課程。這就要求學生通過數(shù)學學習不僅要獲得必需的知識與技能，還要在數(shù)學學習過程中提升對數(shù)學的感悟，加深對數(shù)學的認識，不斷積累經驗、獲得數(shù)學發(fā)展，培養(yǎng)提出、分析、解決數(shù)學問題的能力。

（二） 教材分析

本節(jié)是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學（必修1）》（人教版）第一章第1.3.2“函數(shù)的奇偶性”。培養(yǎng)學生熟悉函數(shù)語言及符號并能熟練運用是本章的核心目標之一，本節(jié)的教學任務是通過符號化、形式化來使函數(shù)性質數(shù)學化，與此前函數(shù)單調性一脈相承，是后繼研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)的基礎。因此，本節(jié)課起著承上啟下的作用。

教學目標：

（1） 學生通過動手畫圖的數(shù)學活動，在感知函數(shù)圖象對稱性的過程中，逐步建立奇偶性概念；

（2） 能用數(shù)量關系刻畫函數(shù)圖象的對稱性；

（3） 會通過圖象特點判斷函數(shù)的奇偶性，能用奇偶性的定義判斷證明函數(shù)的奇偶性；

教學重點：

用數(shù)量關系刻畫函數(shù)圖象的對稱性

教學難點：

如何引導學生通過發(fā)現(xiàn)對稱點之間坐標的數(shù)量關系過渡到用數(shù)量關系刻畫函數(shù)圖象的對稱性

二、 教學實錄

（一）由特殊到一般——從直觀感受到深刻感悟

問題1 你能畫出函數(shù)f（x）=x0、f（x）=x2、f（x）=x4的圖象嗎？

（事先發(fā)給學生一張帶有坐標系及表格的紙，學生馬上在紙上作圖。前兩個函數(shù)圖象學生很快就畫好，第三個函數(shù)很多學生愣住了，不知如何下筆）

師（適時提示）：如何畫函數(shù)圖象？

生（恍然大悟）：列表，描點，連線。

設計說明 前兩個圖象學生在初中都接觸過，很容易畫出，第三個圖象對高一新生來說顯然有點難度，但學生可以利用初中已經學過的“描點法”進行作圖，通過動手實際畫圖的數(shù)學活動，既可直觀感知圖象的對稱性，又可有在數(shù)量關系上的體驗（在作圖的過程中會發(fā)現(xiàn)點坐標間的關系），為突破本節(jié)課的難點埋下伏筆。奧蘇貝爾指出：“影響學習的唯一的、最重要的因素是學生已經知道了什么。”

（教師實物投影學生的完成情況，再用幾何畫板畫出函數(shù)y=x6，y=x8的圖象）

問題2 觀察這5個函數(shù)圖象，從對稱的角度你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：圖象關于y軸對稱

師：像這類關于y軸對稱的函數(shù)，我們起個什么名字好呢？

生（笑）：就叫偶函數(shù)吧，指數(shù)都是偶數(shù)的。

師：好，我們就把這類圖象關于y軸對稱的函數(shù)叫做“偶函數(shù)”。除了這些，你能說個偶函數(shù)的例子嗎？

生：如y=|x|，只要圖象關于y軸對稱的函數(shù)都是偶函數(shù)，還有很多。

設計說明 直觀感知圖象的對稱性，同時讓學生試著給這類函數(shù)命名，提高學生學習的主動性和積極性。這是一個初步定義，暫不出現(xiàn)形式化的符號表示，雖然不嚴格，但符合人們認識事物的規(guī)律，自然、合情。同時也給出了偶函數(shù)判斷的一種方法：幾何法，只要函數(shù)圖象關于y軸對稱的，就是偶函數(shù)，不僅僅是指數(shù)為偶數(shù)的這一類函數(shù)。

師：在我們的日常生活中也有許多對稱的現(xiàn)象：兩只耳朵、樹葉，摩天輪、剪紙等等（用投影顯示圖片），說明研究對稱性有一定的實際意義。

師： 以函數(shù)y=x2為例，請你說說是根據(jù)什么判斷它的圖象關于y軸對稱？

生：沿y軸把它對“折”，發(fā)現(xiàn)左右重合。

師：你怎么判斷對折后的圖象是完全重合的？

設計說明學生都覺得這是顯然的，但通過“折”這一數(shù)學活動，發(fā)現(xiàn)自己作的圖沒法達到預期的效果，但又不知道從何說起.學生思維進入了一種憤悱狀態(tài)，就會產生認知沖突的建構，從而更容易地激發(fā)學生對新知識需求的迫切心理，讓本課的研究主題“如何用精準入微的‘代數(shù)重新定義‘函數(shù)的奇偶性”呼之欲出。

師：剛才大家是出于一種幾何的直觀感覺判斷這些函數(shù)圖象關于y軸對稱，好，數(shù)學學習的確需要這種直覺，但也要注意到，我們不但要能大膽猜測，更要小心求證。何況，我們即使利用“描點法”畫的函數(shù)圖象有時也不大精準，再如：y=1x4+2x2+3，沒有幾何畫板這樣的工具，僅靠“描點法”是不容易畫出的。這個時候，我們就另尋他法，“形”上走不通，不妨走“數(shù)”，即用代數(shù)方法來研究幾何圖形！這樣的方法我們有用過嗎？

生：在研究函數(shù)單調性時，我們就是通過“任意的兩個值x1，x2，當x1

設計說明 想通過回顧單調性，類比函數(shù)圖象中用數(shù)量刻畫“上升”還是“下降”，為對稱性的數(shù)量刻畫做準備.

（二） 由感性到理性——用數(shù)量關系刻畫函數(shù)圖象的對稱性

問題3 如何從數(shù)的角度說明函數(shù)y=f（x）=x2的圖象確實關于y軸對稱？

生：我取了6個點（1，1），（2，4），（3，9）；（-1，1），（-2，4），（-3，9），發(fā)現(xiàn)它們關于y軸對稱.所以，我認為它的圖象是關于y軸對稱的。

師：若在此圖象上挖掉如下的一點呢？那它還關于y軸對稱嗎？

生：不是。

師：由此可見，函數(shù)的對稱性是一個整體的概念，且定義域有何特點？

生：關于y軸對稱。

師：那函數(shù)f（x）=x2，x∈[-1，3]是偶函數(shù)嗎？若不是，如何改動使其成為一個偶函數(shù)？

生：不是。改變定義域為[-1，1]即可，或其他[-2，2]等等。

師：是的，定義域關于y軸對稱（或者說關于原點對稱）是前提條件。我們可以用特殊點來說明圖象不是對稱的。由特殊到一般是數(shù)學基本的思想方法。那你通過1個、2個，6個甚至無數(shù)多個點就能說明圖象是關于y軸對稱的嗎？如何才能準確說明圖象是關于y軸對稱的？

片刻后，有學生回答：我們把 “點”改為“任意一點”。 設點P（a，f（a））是函數(shù)y=f（x）圖象上的任意一點，說明它關于y軸對稱的點也在函數(shù)圖象上，因為它是任意的，所以就能說明圖象確實是關于y軸對稱的。

師：你能證明嗎？

生：因為它關于y軸對稱的點為Q（-a，f（a）），且f（-a）=a2=f（a），所以點Q（-a，f（a））也在y=f（x）圖象上。

設計說明 通過嘗試探究具體函數(shù)，學生能初步感知解析式滿足f（-a）=f（a）的函數(shù)其圖象關于y軸對稱（先提是定義域關于原點對稱）。為正式出臺偶函數(shù)的概念積累一些具體的經驗。同時前置定義域關于原點對稱，呼應之前函數(shù)學習中提出的“定義域優(yōu)先”的原則。

（三） 課時小結

1. 從函數(shù)知識脈絡看：數(shù)學學習過程是一個知識建構的過程，我們不僅僅學習數(shù)學的基本知識，更為重要的是要學會如何去學習，如何建構自己的知識脈絡結構。

2. 從思想方法看：數(shù)形結合思想是研究函數(shù)的一種重要思想方法，用代數(shù)方法研究幾何圖形特征，如本節(jié)課用數(shù)量關系刻畫函數(shù)圖象的對稱性。從點的對稱性到函數(shù)的奇偶性本質上也是一維到二維的延伸。

三、 回顧與反思

筆者精心設計教學流程，從“學生已有的學習經驗”進行教學設計，按“由特殊到一般——從直觀感受函數(shù)的對稱性到深刻感悟”“由感性到理性——用數(shù)量關系刻畫函數(shù)圖象的對稱性”“類比研究”“概念的深化”“概念的拓展”五個教學環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣。

參考文獻：

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[4] 張彬.函數(shù)奇偶性教學之我見[J].中學數(shù)學教學版，2013，06.endprint