小學數學問題解決認知的研究、模擬及其教學啟示

殷慶

摘 要：小學數學在新課改這一教育背景中，對問題解決能力的重視程度越來越高。數學問題解決過程即思維認知、模擬以及分析的系列過程，同時，它能對后期數學教學給予重要啟示。本文以“異分母相加”問題為例，探究了小學數學在進行問題解決時的認知研究、模擬和啟示。

關鍵詞：小學數學；認知分析；問題；模擬；教學啟示

前言

近年來隨著科學的發展速度逐漸加快，部分專家學者對數學學習過程的研究越來越深入。數學解題活動是較為典型的學習活動，分析該學科的問題解決認知和模擬，不僅能夠探索相對系統的認知規律，還能獲得有效的教學啟示，促進小學數學有序發展。

一、 小學數學問題解決認知模擬中存在的問題

現如今，計算機技術在社會發展中占有重要的社會地位，該技術廣泛走進教育教學領域，在數學問題解答方面發揮著不可替代的重要作用，它能縮短問題的解決時間，降低問題的復雜程度。但是，該先進技術如果從單一的機器角度進行解題分析，它與學科規定的解答存在較大差異，一定程度上，超過了小學生已有的知識范圍，該技術對數學教學的貢獻相對較小。某教授針對數學問題解決認知過程進行分析時，雖然給出了相應的認知模擬理論，但是具體的認知過程未能及時提供。除此之外，雖然相關研究學者對于數學問題解決進行了各自分析，但是分析具有絕對獨立性，分析缺乏綜合性和實質性，研究成果尚待完善。

二、 小學數學問題解決認知模擬的基本分析

（一） 典型的數學問題

小學數學異分母相加以小學生獨立進行異分母運算為基本的教學目標，同時，該問題也是程序性知識中較為經典的數學例題。學習這一數學知識內容之前，小學生要掌握基本的倍數知識，數學教師在分析教材和了解學生學習特點的基礎上，應合理設置數學問題。

（二） 具體認知研究

數學問題解決認知研究以認知模擬做基本的分析依據，主要由六模塊構成，分別為視覺模塊、產生式模塊、提取模塊、目標模塊、空間模塊、輸出模塊。本文“異分母相加”數學問題解決認知流程具體如下：首先，學生對于教師提出的數學問題通過視聽過感知后，準確明細數學題意，然后將解題目標確定為異分母相加，即1/5+2/3=？，該過程即文字問題到數字問題的轉換。其次，實際解決1/5+2/3=？時，產生式“不同分母相加運算，得出最小公倍數”，即分式運算變為5和3的最小公倍數運算，5×3=15。再次，將不同分母統一化，開始分母通分，通分結果為：3/15和10/15。然后，通分過后進行同分母相加數學運算，運算原則為：相同或者不同分子相加，分母保持不變。最后，根據上述通分運算規則，進行3+10=13的分子運算，最終結果為13/15，即完成異分母相加的數學問題解決運算。

三、 具體實驗驗證

（一） 研究對象

選取某小學校五年四班三名男生、三名女生為研究對象，其中，數學成績優秀、數學成績一般、數學成績較差的學生各占兩名，平均年齡131個月，年齡范圍在127～137個月之間。

（二） 基本材料

所設置的兩道數學問題分別是思維練習題和異分母相加題，具體問題如下：

問題一：五年一班進行跳繩測驗，第二組7名學生在60秒鐘的跳繩成績分別為171、143、133、145、137、141、139，從成績中選出最能代表一般跳繩水平的成績。

問題二：給圖形為長方形的白卡紙填充顏色，紅顏色占紙張的五分之一，綠顏色占紙張的三分之二，并且紅綠顏色不能重合，提問，紅色和綠色共占紙張的多少？

（三） 數據整理

所收集的資料由兩部分構成，第一部分是口語報告，第二部分是數學解題作業。前者由專業工作人員進行文本翻譯，翻譯過后結合后者進行編碼分析。編碼分析的過程中，要將分析內容統一化，避免出現過大的編碼分歧。

（四） 結果分析

為了驗證模型的有效性，本次實驗主要應用對比分析法，即將口語報告結果與計算機模擬結果進行對比，通過比較觀察對后者實施有效性分析。在異分母相加數學問題解決中，口語報告的同學在實際解題中均具有環節一致性，在最小公倍數這一數學環節中，其中一位同學在不規范產生式的影響下導致了解題失誤，其余同學都能正確求得最小公倍數為15。這一數學問題的口語報告和解決認知模擬相比，二者具有一致性。

四、 小學數學教學從中得到的啟發

隨著社會經濟、科技發展步伐的逐漸加快，人工智能等先進設備的不斷問世，它能為小學數學問題解決提供新的發展方向，與此同時，它還能將復雜的數學問題簡單化，深入分析數學知識內容，優化數學設計，完善數學培訓系統。

（一） 解決方式多樣

解決異分母相加這一數學問題時，雖然同學最終的解題結果均是15，但是在解決問題的過程中，其中一位同學提到了質數這一數學概念，指兩個分子互為質數，從而激活了大腦中互質數數學定義，記憶模式特點為陳述性。另兩位同學忽略互質數，直接說出了公倍數，這兩人的激活記憶模式特點為程序性。從中能夠看出，當解決同一數學問題時，學生考慮問題的角度和解題策略存在差異性，因此，教師在實際教學中應重點培養學生的數學思維水平、開闊學生的思維空間，對于多角度思考數學問題的同學，教師應及時給予表揚。

（二） 自動化現象明顯

在解決異分母相加最小公倍數這一數學問題時，某位同學求最小公倍數期間提出了互質數概念，其余兩位同學將數值15直接說出。從中可以看出，小學生解決數學問題時，能夠將已有的數學知識經過認知操作實現知識壓縮，隨著學習時間的不斷積累，多個認知操作能夠融合統一，最終形成“組塊”，同時能夠說明自動化現象的存在，學習者經過系統性數學訓練后，面對復雜的數學問題時，能運用視覺編碼和部分系列輸出操作將復雜的數學問題簡單化、自動化呈現。某位研究專家這樣指出：要想在某領域中取得顯著成就，在長時間的知識記憶中要具備五萬個知識組塊，并且五萬個知識塊作為具體目標在該領域中實施思維操作，大多時候將其視為策略應用，但是實際這類知識塊相對完善和成熟。同時，足以說明數學成績差異較大的同學對同一問題存在解題不同、思維分析不同，成績相對優異的同學對自動化知識的運用更加自如，然而，成績相對較差的同學運用自動化知識時會較困難。

（三） 構建正確的產生式

在本文的異分母相加數學解決中能夠看出，上述同學之所以會出現錯誤的解題現象，主要是因為該同學構建了錯誤的產生式，她將分子和分母做了乘法運算。導致該同學產生錯誤產生式的原因主要有兩種，一種是這位同學對分數知識的把握不夠牢固，對分數知識理解和運用的認識較模糊，分數語義模型分析存在一定問題。另一種是這位同學不明晰通分知識，對通分方法和意義的掌握不夠扎實，所以后期出現了分子和分母相乘。由此可見，教師在引導學生解決數學問題時，一定要構建正確的產生式，如果產生式發生了錯誤，那么最后的結果也會是錯誤的，從而大大降低了數學解題準確率。

（四） 細化認知分析過程

異分母相加的數學計算中，上述失敗現象屬于這類數學知識運算中較為典型的錯誤，該同學分別將分母相乘=15，分子相乘=2，乘法運算是準確無誤的，從中能夠看出，該同學能扎實掌握乘法運算法則、能準確辨別分子、分母，同學主要錯在未能創建正確的產生式。為了促使該同學能創建規范的產生式，數學教師要為該同學輸入正確的最小公倍數這一產生式，從而糾正同學錯誤。

結論

綜上所述，小學數學問題解決認知分析、模擬在小學數學課堂教學中發揮著重要作用，構建規范的認知模型后，教師能利用該模型有效把握學生學習心理以及知識認知程度，能合理控制教學進度。小學數學問題解決過程較復雜，教師為此要細化學科內容，具體落實教學步驟，提高學生對已學數學問題的吸收效率。

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