《概率論與數理統計》課程中案例教學的探討

劉偉霞

摘要：針對《概率論與數理統計》教學中學生學習興趣不高且效果差的狀況，教學改革勢在必行。案例教學法不同于傳統的教學方法，強調以問題為綱，啟發學生的主動思維和創造性思維，提高學生的學習興趣，增強學生解決實際問題的能力，從而達到教學目的。

關鍵詞：概率論與數理統計；案例教學；教學探討

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）52-0177-02

一、案例的選擇

案例教學法的應用，目的是使得學生接收到的知識不再晦澀難懂而是形象生動貼近生活的專業常識，知識的理解也更透徹，進而可以運用到實踐問題中去。為了實現這個目的，首要的任務就是選擇合適的案例。這實際上是案例教學中最重要的也是讓任課教師最糾結的地方。為了發揮案例教學法最大的作用，在每一個教學環節選擇的案例都是不同的，不僅僅是難易程度的不同，應該慎重地選擇。例如，引入過一個概念或理論后，案例的作用是對前面的概念或理論做一定的理解和簡單的應用，根據學生認知規律和水平，此時選擇的案例應該貼近知識點，與知識點有較強的聯系但又不是太難理解。學生通過這個案例對概念或理論有了更深的認識，為下一步更深層次學習或自己動手解決實際問題打下基礎。

可以看這樣一個引入全概率公式的案例。在講述全概率公式之前，已經熟悉了求概率的幾種方法：頻率方法、古典方法和幾何方法，對較簡單的事件，這些方法是很好用的，但是當事件比較復雜時，這些方法用起來就顯得力不從心了。

例如，某高校概率統計教師的考勤方式分兩種：按學號隨機抽查點名和課堂小測。張三缺席，如果隨機點名被老師點到發現缺席的概率為0.3，如果課堂小測被老師發現缺席的概率是1。如果既沒抽查點名也沒課堂小測記錄全勤。若老師抽查點名、課堂小測和既沒抽查點名也沒課堂小測的概率分別為0.6、0.2、0.2，問張三被記錄缺席的概率。這是一個很直觀也貼近學生生活的例子，通過這個問題，學生的積極性被調動起來，紛紛對張三是否被記錄缺席進行猜測。而這個問題不能用以前所學過的方法來求解，但是根據常識，絕大多數學生都會回答張三被記錄缺席，進一步，老師要引導學生揭示其中的原因，再進一步根據數學推導得出全概率公式。最后，可以增加一個問題，若張三記錄缺席，問老師隨機點名的可能性多大？就進一步引出了貝葉斯公式。當學生對貝葉斯公式有了一定理解之后，也可以通過罕見病例診斷來讓學生明白人們對于臨床疾病的發生的真實概率與自我常識的背離。通過案例這種直觀工具，加入學生的討論，會讓抽象的理論具體起來，使得枯燥的課堂生動起來。

當然，在教學的其他環節，教師也可以設置一些案例，讓學生利用所學概念和理論來解決實際問題。不同的教學環節設置的案例應該是相對應的，案例的類型和難易程度應服務于教學環節的作用。問題可大可小，對于一些小問題課堂可以解決的就在課堂上討論解決。一些相對復雜的案例有時需要查閱資料、建立模型等，可以作為課堂的延伸放到課后處理，進而鍛煉了學生解決實際問題的綜合能力。圖1是案例教學法的常規流程，不是每一個知識點都要如此復雜，授課教師要根據實際情況，靈活應用。

二、通過案例教學，加強學生對統計思想和統計方法的理解與應用

《概率論與數理統計》課程中大部分內容都很容易從實際問題入手，許多概念的直觀性比較強，但相應的抽象概念就比較難以理解了，需要一個循序漸進的過程。一個概念只有感性認識和理性認識都比較透徹之后，這個概念才算真正理解了。當學生從直觀上理解了某個概念之后，應加強與其密切相關的其他概念之間的聯系與區分，經過分析比較可以使學生深刻理解基本概念和基本知識，深入地體會數學概念經過不斷的理性思考將他們抽象為嚴格化的思維過程。

在課堂上，教師作為組織者，在傳遞給學生知識的同時，應該把控好授課的節奏和課堂的氣氛。在課堂上組織教學時，應該扮演好組織者的角色，引發學生對案例的積極有效的討論，在討論中碰撞出思想的火花，進而提高學生的創新水平和解決實際問題的綜合能力。例如，在國家大力提倡二胎的背景下，女性的生育意愿受哪些因素的影響？這個問題在概率統計問題中應該是比較復雜的問題，涉及數據的搜集、整理和數據分析，可以很好地考驗學生們的綜合能力。

三、開設實驗課，滲透數學建模思想

在實際應用中，往往需要大量的數值計算，借助于MATLAB軟件、R軟件、SPSS軟件等工具，能簡化計算，且能把實踐教學內容更好地融入教學過程中，讓教學更加生動、易懂。結合學科特點，開設一定課時的實驗課，將數學建模思想和方法融入教學中，促使學生利用軟件來解決經濟問題，進一步提高教學效果。通過案例教學的講解，可以引導學生綜合應用所學知識，然后通過對案例的改造，讓學生自主探究和實現，從而可以了解學生對課程的知識掌握情況，也能提高學生的實際應用能力。同時，為今后引導學生自主探究和提高創新能力提供了思路和方法。

四、重新制定教學計劃及編寫教案

以經濟管理類專業為例，在保持傳統教學內容精髓的基礎上，增加經濟、金融知識和案例，組合成新的教學“模塊”。《概率論與數理統計》課程教學內容重組和優化后可以分成四個模塊：基礎模塊、專業結合模塊、案例分析模塊和應用提高模塊。數學教師和經濟學各專業教師共同商量案例分析和應用提高模塊的內容。將更貼切的經濟學實例補充到教學計劃和教學方案中，突出數學在經濟方面的工具作用。

例如，在講述多元回歸分析的時候，可以引入現在大學生身高普遍較高的身邊生活現象來引起學生的興趣，因為在前面的講述一元回歸分析的時候有簡單了解經典的父與子身高回歸問題，這個新的問題可以引出影響身高的因素是多元的，如健康飲食、身體鍛煉等等。在結合專業方面可以對我國城鎮居民消費支出來分析，在這個實例中也順便教會學生如何查找中國統計年鑒之類的公開數據。由于回歸分析是重難點知識，應該給學生布置課后作業。例如，大學生消費結構的研究，本市PM2.5濃度的多元統計分析與預測等等。讓學生在案例練習中對知識融會貫通，綜合分析能力也得到提高。案例教學法的使用，也要注意課后教學總結，總結課堂上的優點和不足，為以后的教學做好基礎。尤其是對案例的使用上，只有進行多次的教學嘗試，才知道對于每一章節案例的選擇和使用如何進行，做到游刃有余，拿捏到位。案例選擇更要不斷改革創新，與時俱進。在反復教學反思的過程中，教師的業務水平得到提高。

目前，《概率論與數理統計》課程考核大部分采用期末限時筆試的形式，以客觀試題為主，題型標準化，內容教材化，是純粹的“數學題”。這種考試模式使一些學生認為大學數學的學習跟中學數學一樣，而分析問題、解決問題的能力沒有得到提高。評價學生的學習能力其實可以采取多元考核方式，這也是考核中的難點。可以采取以下方式：（1）每一章結束時可以采用小測，不一定是數學題，可以讓學生寫自己認為重要的知識的歸納或感想；（2）跟經濟學相關的部分，可以讓學生寫一個小論文分析一個具體的問題或者調查報告；（3）鼓勵學生組隊參加數學建模或大學生創新訓練項目，優異者考核加分。這樣的評價考核，可使學生更注重平時的學習積累，不僅考核了學生對知識的掌握和運用情況，還考核了學生團隊協作能力。

案例教學法的引入是一場涉及教師課堂教學方式、學生學習方式以及思維方式的教學改革。應用該方法既可以鞏固基礎知識，又可以推動新知識的探索學習。它要求教師運用多門學科知識解決概率統計教學中的實際問題，教師要具有更開闊的視野、開放的思想和問題意識，促使學生主動思考，動手能力也得到提升，從而提高了教學質量。

參考文獻：

[1]肖鵬，杜燕飛.概率論與數理統計教學改革的幾點思考[J].數學教學研究，2009，（1）：60-61.

[2]楊月梅.金融類“應用型”人才培養中經濟數學的教學與改革[J].黑龍江教育學院學報，2013，（6）：60-61.