基于數學文化的數學教學設計例析

謝孝順

【摘要】數學文化作為一種特殊的文化形態，已經得到了數學界和數學教育界的廣泛重視.近年來，隨著信息技術的發展、數學課程的不斷改革，表明數學素養在數學教育中的地位越來越突出，同時也說明了數學文化在數學教育中扮演的角色也越來越重要.基于數學文化的教學設計，應該是聯系數學文化理論與實踐研究的一種方式，對其深入探究可以促進數學文化理論在數學教學實踐中的滲透.

【關鍵詞】數學文化；教學設計；函數

數學文化作為一種特殊的文化形態，已經得到了數學界和數學教育界的廣泛重視.近年來，隨著信息時代的發展、數學課程的不斷改革，表明數學素養在數學教育中的地位越來越突出，同時也說明了數學文化在數學教育中扮演的角色也越來越重要.

《普通高中數學課程標準（實驗）》在“課程的基本理念”中指出，數學教育應體現數學的文化價值[1]，而體現數學的文化價值實質上就是在數學教育中，不僅僅要注重數學知識的教育，更重要的是注重知識背后蘊涵的數學思維過程、背景、發展脈絡和數學思想、數學精神等的教育，即數學文化教育[2][3][4].《九年義務教育數學課程標準（實驗）》和《普通高中數學課程標準（實驗）》明確提出，數學課程應反映數學文化，并要求以滲透的方式融入數學課程當中.那么如何讓數學教學充滿活力，特別是在當前提倡發展學生核心素養的背景下，如何在數學教學中更好地融入數學文化，做到數學知識和數學文化的和諧統一，數學知識與人的全面發展相結合，從而更好地促進數學教育的發展，是擺在我們每一個數學教育工作者，特別是一線數學教師面前一個重要的課題.本文擬從兩個方面闡述，如何在平時的數學教學中真正融入數學文化.

一、數學教學“教什么”

現行高中數學教學存在的若干個困惑，主要表現在三個方面：（1）數學概念教學的困惑；（2）學生形成個人的數學觀與其成長的困惑；（3）《課標》與高考應試之間對應的困惑.

教育部在《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》中闡明，高中教學應積極培育學生的社會主義核心價值觀，充分發揮高考命題的選拔功能和育人功能，同時也要增加中華優秀傳統文化的考核，比如，在數學中增加數學文化的內容.筆者認為，數學教學不僅僅是知識層面，更重要的是思想方法層面、精神層面和知識的生成過程，即數學文化應該滲透在數學教學中，只有這樣才符合現代教育的發展理念[5].因此，可以說數學文化能夠決定和影響數學教學，其主要表現在兩個方面：（1）決定“教什么”；（2）影響“如何教”.

決定“教什么”，從宏觀方面看，就是要符合高中數學課程標準；從微觀方面看，就是要能夠實現高中數學課堂的教學目標.而判斷課堂教學是否真正高效的標準，是要看教師在教學中是否能引導學生積極探索，學生思維是否受到了有效的啟迪，學生分析問題、解決問題的能力是否能有所提高，學生的鉆研品質是否能得到培養.因此，在課堂教學中不僅僅要注重數學知識的傳授，更重要的是對學生的數學思想方法、數學素養的培養.特別是數學概念的教學，教師要善于引導學生從日常生活中的實例入手，通過有關的實物、圖示、模型等，在學生已有的數學知識和經驗的基礎上，經歷從感性認識到理性理解的轉變，從而自然地引入概念，使學生對概念有深刻的認識，同時讓我們的教學目標水到渠成.下面以“函數的概念”中的教學片斷為例簡要說明.

函數的概念是數學最重要的概念之一，其本質是從一個非空數集到另一個非空數集的特殊對應，它揭示了現實世界中數量關系之間相互依存和變化的實質，是描述客觀世界中變量間依賴關系的數學模型.

《普通高中數學課程標準（實驗）》中指出，函數概念的教學應通過豐富實例，進一步讓學生體會函數是描述變量之間的一種重要的數學模型，并在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用，了解構成函數的要素；從學生已掌握的具體函數和函數的描述性定義入手，引導學生聯系自己的生活經歷和實際問題，嘗試通過列舉不同的函數，從而構建函數的一般概念[6].因此，本節課的教學目標如下：

1.正確理解函數的概念，能用集合與對應語言描述具體函數.通過實例分析，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用.

2.理解函數的三要素，會判斷兩個函數是否相等，認識函數概念的整體性.

3.理解符號f（x）的含義，能解釋y=f（x）與y=f（a）的區別與聯系.體會函數思想、代換思想.

4.通過學生親身經歷，由特殊到一般的研究過程，培養學生類比與聯想的學習能力.提高學生的抽象概括、分析總結、數學表達等基本數學能力，同時培養學生的質疑、探究精神.

初中函數的概念比較直觀，本節課函數的概念較為抽象，高一學生的思維水平還不善于把抽象概念和具體實例聯系起來.因此，在教學中，需要幫助學生建構情境，便于學生理解函數是從集合到集合的一個對應關系.但是，短短的45分鐘要讓學生經歷函數定義發展史上一百多年的探究歷程，學生獨立完成起來很困難.在教學中，應根據學生的心理特征和認知規律，以問題為主線，以學生為主體，以教師為主導的教學理念，通過一系列的設問、引導、啟發、發現，從而引領學生歸納概括出函數概念的本質.筆者認為，本節課要想達到預設的效果，在教學過程中必須向學生解釋清楚以下幾個疑問.（1）怎么從初中概念出發得到高中函數概念？（2）對應法則是指什么？（3）為什么要引入函數符號？

教學片斷一

教師：我們在初中已經學習了函數，就函數這個內容，你還有哪些印象呢？（學生躍躍欲試）

問題1：根據初中學習的函數的概念，你能舉出幾個函數的具體例子嗎？（直接引入，留給學生思考時間）

在學生回答基礎上繼續問：你為什么認為你舉的是一個函數的例子？

設計意圖：通過具體實例，激活學生的原有知識，形成學生的“再創造”欲望.目的是在學生對初中所學函數概念的認知基礎上，讓學生感受函數概念的本質，即對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應.通過此問題來刺激學生大腦，活躍課堂，并培養學生的邏輯思維能力.

教師：同學們舉的例子非常好，那么大家能否對教材的實例1做出判斷？

問題2：一枚炮彈發射后，經過26 s落到地面擊中目標，炮彈的射高為845 m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規律是h=130t-5t2，那么炮彈距離地面的高度h是時間t的函數嗎？為什么？

生1：對于任一個給定的時間t，都有唯一確定的高度h跟它相對應，因此，h是t的函數.

教師：很好，那給一個具體的時間t，你怎么得到與之相對應的高度？

生2：通過h=130t-5t2.

教師：你能說出t=1 s，5 s，10 s，50 s時對應的高度h嗎？

生3：t=1 s時，h=125 m；t=5 s時，h=525 m；t=10 s時，h=800 m.由于炮彈在26 s時已經落到地面爆炸了，因此，在t=50 s時沒有高度跟它對應了.

教師：那能否說任何一個時間t，都有唯一確定的高度h與之對應？

生4：對于0 s～26 s之間的每一個時間t，通過h=130t-5t2，都有唯一確定的高度h跟它相對應.

教師：0 s～26 s是我們生活中的語言，其實我們可以用數學語言——集合來表示這個范圍，你能說出這個集合嗎？

生5：A={t|0≤t≤26}.

教師：那么高度h也應該是一個范圍，也能用集合表示嗎？

生6：B={h|0≤h≤845}.

教師：下面我們能否用集合的語言來描述這個實例中的對應關系？

生：對于集合A中的每一個時間，集合B中都有它的130倍減去它平方的5倍與它對應.

設計意圖：學生在初中階段，已經學習了用變量觀點描述的函數的概念，并具體研究了幾類簡單的初等函數，對函數有了一定的感性認識.另一方面，在第一章已經學習了集合，為學習用集合和對應的語言描述的函數的概念打下了基礎.以上知識為函數概念學習，提供了認知基礎.同時，這一年齡段的學生，普遍思維活躍、求知欲較強、自我表現欲望較強.以上因素為本節課教學提供了非認知基礎.本例題具有承上啟下的作用：既是對初中已學函數概念的進一步深入，又是為下一步用集合的語言刻畫函數概念的本質埋下伏筆.此外，本例題符合學生的認知規律，化抽象為直觀，學生容易理解.

二、數學教學“怎么教”

在新課程背景下，課堂是師生成長、發展的主陣地，它強調了以人為本，以學生的發展為本，一切為了學生，為了一切學生，為了學生一切的課程理念.因此，現行的高中數學課堂應該倡導學生的自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等多元的數學教學模式，把“課堂交給學生”，真正實現“不教而教”的終極目標.但這并不是否定教師的主導作用，而是更強調教師要時時調控與把握課堂，讓數學文化融入其中，讓教與學兩者處于最佳狀態，從而真正實現“高效課堂”[7].那么在平時的數學課堂教學中，我們的數學教師如何教，怎樣引導學生學、怎樣幫助學生才能真正體現學生是教學的主體.教師作為教學活動的組織者、引導者和參與者，是我們每一個高中數學教師的事業追求目標和職業狀態，這也正好體現了學生的認知規律和數學本身發展的規律[8].

教學片斷二

問題3：近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而，出現了臭氧層空洞問題.下圖的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞面積從1979—2001年的變化情況，那么臭氧層空洞面積S是時間t的函數嗎？為什么？

生1：面積S是時間t的函數，因為對于每一個確定的t值，都有唯一確定的一個面積S跟它對應.

教師：好，那給一個具體的時間t，你怎么得到與之相對應的面積S？

生2：根據圖像.

教師：那你能說出2001對應的面積嗎？

生3：26.

教師：前面問題2中的對應關系是用解析式表示的，那這個問題中的對應關系是用什么表示的？

生4：用圖像表示的.

教師：好，那么是不是對任何一個時間t，通過圖像，都有一個面積S與它對應呢？

生5：不是，對于1979～2001之間的每一個時間，都有唯一的面積S與它對應.

教師：很好，如何用集合來表示時間這個范圍.

生6：A={t|1979≤t≤2001}.

教師：同樣的，那面積S也是一個范圍，怎么用集合表示？

生7：B={S|0≤S≤26}.

教師：你能用集合的語言描述一下這個對應關系嗎？

生8：對于集合A中的每一個時間t，集合B中都有唯一的面積S與它對應.

教師：那么集合B可以是B={S|0≤S≤30}嗎？

生9：可以.

教師：那集合B可以是{S|0≤S≤24}嗎？為什么？

設計意圖：讓學生參與學習過程，體驗圖像是一種記錄兩個變量之間的對應關系的語言，進一步提高學生用數學語言表達問題的能力.

教師：我們學習過很多的數學概念，當我們認識到概念的本質屬性以后，我們并沒有停止，這些數學概念往往都沉淀成一個數學符號.如某個銳角的正弦，我們發現不管在那個直角三角形中，只要這個角的大小一定，那么這個角的對邊比斜邊都不變，我們把這個定值稱為這個銳角的正弦，那么這兩個實例的共同屬性是不是也可以用一個符號來表示？

教師板書：f：A→B，即x→y=f（x）.

設計意圖：數學中的概念通常是用符號來表示的.學生總結兩個實例的共同屬性，能夠認識到函數的本質，這時及時地引進數學符號，不僅可以引導學生把符號和它所代表的實質內容聯系起來，使學生在看到符號時就能夠聯想起符號所代表的本質特征，從而可以提高學生的抽象能力、概括能力.

構建函數的概念：

設A，B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域；x與的值相對應的y值叫作函數值，函數值的集合{f（x）|x∈A}叫作函數的值域[9].

總之，基于數學文化的教學設計應立足于數學教育本質，通過建立數學與數學史（或數學文化史）、社會文化、數學應用、民族傳統等的聯系，將數學本質與學生主體的經驗有機地融合.同時數學教學不僅僅是數學知識的傳授，還要發掘蘊涵于知識之中的精神、思想和方法，發揚它的文化教育價值，使其能夠在學生的數學素養形成方面，發揮積極的作用，從而促進學生文化素質的全面提高[10].

【參考文獻】

[1]教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]陳克勝，代欽.融入還是包容——關于《普通高中數學課程標準（實驗）》中的“數學文化”的思考[J].數學教育學報，2011（5）：90-93.

[3]喻平.正確處理數學教學中的基本矛盾（上）[J].教育理論與實踐，2009（9）：41-45.

[4]徐文彬.關于數學文化視域中數學教學的若干思考[J].課程·教材·教法，2012（11）：39-45.

[5]吳旭紅.數學文化的課堂滲透例析[J].中學數學研究，2016（5）：1-4.

[6]渠東劍.過程與方法可以成為三維目標的抓手[J].中學數學教學參考，2014（6）：27-28.

[7]錢寧.自主探究，互動交流，讓課堂更高效[J].中學數學教學參考，2014（6）：15-17.

[8]王永生，朱維宗.讓高中數學課堂多一些欣賞，少一些浮躁[J].中學數學教學參考，2014（6）：31-33.

[9]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書·數學1必修[M].北京：人民教育出版社，2007：16.

[10]張維忠，徐曉芳.基于數學文化的教學案例設計述評[J].浙江師范大學學報，2008（3）：20-25.