對(duì)數(shù)大小的比較

龔丹

摘要：當(dāng)兩個(gè)對(duì)數(shù)式是同底時(shí)，可直接用相應(yīng)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論；而當(dāng)兩個(gè)對(duì)數(shù)式不同底時(shí)，要比較大小就困難多了。本文舉例說明這種情況下求解的若干方法。

關(guān)鍵詞：對(duì)數(shù)大小的比較；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；重要教學(xué)內(nèi)容

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2017）12-0128-01

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，指數(shù)與對(duì)數(shù)大小的比較一直是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，在以前的學(xué)習(xí)中，我們主要是采用求值、作差、作商等方法來比較大小，但是有時(shí)面對(duì)求值很繁瑣或者人工無(wú)法求解的時(shí)候，學(xué)生對(duì)他們之間的比較可能會(huì)無(wú)從下手，但是只要我們掌握解決辦法，很多難題便可以迎刃而解。

1.對(duì)數(shù)

如果 a^x=N（a>0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)（logarithm），記作 x=log（a）N .其中，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。且a>0并且a≠1，N>0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)[1]。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)有對(duì)數(shù)。由于數(shù)學(xué)是為現(xiàn)實(shí)生活服務(wù)的--建立的必須是現(xiàn)實(shí)存在的數(shù)學(xué)模型，故在現(xiàn)實(shí)生活中不存在真數(shù)為負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)模型。所以，高等數(shù)學(xué)中真數(shù)為負(fù)數(shù)的情況僅在理論上成立。

1.將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)（common logarithm），并把log（10） N 記為 lg N.

2.以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)（natural logarithm），并把log（e） N 記為 ln N.

零沒有對(duì)數(shù).

3.log（a） 1 =0，log（a） a =1

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)有對(duì)數(shù)。

2.當(dāng)?shù)讛?shù)相同，真數(shù)不同時(shí)

當(dāng)對(duì)數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同時(shí)，可直接應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決.

例1比較下列對(duì)數(shù)的大小：

（1）log23.4與log23.8；

（2）log0.51.8與log0.52.1；

（3）loga5.1與loga5.9.

解 （1）設(shè)f（x）=log2x，因?yàn)榈讛?shù)2>1，所以函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，又真數(shù)3.4<3.8，∴f（3.4）

（2）設(shè)g（x）=log0.5x，因?yàn)榈讛?shù)0.5<1，所以函數(shù)g（x）在定義域（0，+∞）上是減函數(shù)，又真數(shù)1.8<2.1，∴g（1.8）>g（2.1），即log0.51.8>log0.52.1.

（3）當(dāng)a>1時(shí)，由（1）題知loga5.1loga5.9.

3.當(dāng)真數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)

當(dāng)對(duì)數(shù)的真數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，可先對(duì)它們?nèi)〉箶?shù)，通過比較倒數(shù)的大小來達(dá)到比較原對(duì)數(shù)的大小為目的[2] ，其實(shí)還可以作圖比較大小（畫出底數(shù)不同的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像）。

例2比較下列對(duì)數(shù)的大小：

（1）log1.83與log2.53；

（2）log1.85與log0.45.

解（1）∵1log1.83=log31.81log2.53=log32.5

由例1知0

∴1log1.85<1log2.53，∴l(xiāng)og1.83>log2.53。

（2）∵1log1.85=log51.81log0.45=log50.4

log51.8>0 ，log50.4小于0

∴l(xiāng)og1.85>log0.45.

4.當(dāng)?shù)讛?shù)、真數(shù)都不相同時(shí)

當(dāng)對(duì)數(shù)的底數(shù)、真數(shù)都不相同時(shí)，關(guān)鍵是找到介于二者之間的中間數(shù)。

例3比較下列對(duì)數(shù)的大小：

（1）log23與log20.5；

（2）log75與log67；

（3）log827與log925.

解（1）∵log23>log21=0，又log20.5log30.5.

（2）先定正負(fù)，log75>0，log67>0，二者皆正；∵真數(shù)5<底數(shù)7，真數(shù)7>底數(shù)6，方向相反，故可用1作中間數(shù).其具體接題過程是：

∵log75

∴l(xiāng)og75

（3）先定正負(fù)，log827>0，log925>0，二者皆正；注意到真數(shù)27>底數(shù)8，真數(shù)25>底數(shù)9，真數(shù)27>真數(shù)25與8底數(shù)<9底數(shù)，故可用log927作中間數(shù)，于是

log827>log927，log925

∴l(xiāng)og827>log925.

上面通過對(duì)三類不同問題的解答，介紹了比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的方法、步驟及策略，概括起來就是：同底用單調(diào)；同真取倒用單調(diào)或者作圖；真底都不同，找中介溝通。

5.求差法

要比較兩式A與B的大小，只要計(jì)算A-B，并確定它的符號(hào)即可。

例4、比較log1.12與log1.22大小

解：log1.12-log1.22=lg2lg1.1-lg2lg1.2=（lg1.2-lg1.1）lg2lg1.1lg1.2=lg1.21.1lg2lg1.1lg1.2

上式中的四個(gè)對(duì)數(shù)式均大于零，則log1.12-log1.22>0，所以log1.12>log1.22。

評(píng)注：對(duì)于底數(shù)不同，真數(shù)相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)式，都可用本例方法比較大小。

結(jié)束語(yǔ)：

以上對(duì)對(duì)數(shù)大小比較進(jìn)行了詳細(xì)分析，從中分析了對(duì)數(shù)對(duì)比的具體方法（利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，引入中間變量0或者1，或者一個(gè)具體的對(duì)數(shù)值，作差法，作商法等），有時(shí)冪和對(duì)數(shù)相結(jié)合進(jìn)行比較，方法與以上類似！

參考文獻(xiàn)：

[1]李偉年. 比較對(duì)數(shù)大小的一種新方法[J]. 濱州師專學(xué)報(bào)，2017，（04）：35-36. [2017-09-04].

[2]孟慶武. 談對(duì)數(shù)大小的比較--對(duì)省編中職《數(shù)學(xué)》教材的一點(diǎn)看法[J]. 科學(xué)大眾，2017，（05）：108+56. [2017-09-04].