初中數學變式教學的過程性思考及案例研究

陳煥瓊

[摘 要] 數學學科中的變式往往通過問題情境或思維角度的不斷變化使得事物的非本質屬性不斷遷移與變化，但其本質屬性保持不變. 暴露過程與啟迪思維是數學教學中尤為重要的環節，教師在這一過程中應遵循學生的參與性原則，將學生真正引入探尋數學奧妙的殿堂，通過教師的“變”引導與啟發學生的“變”.

[關鍵詞] 初中數學；過程性思考；變式教學；三角形三邊關系

作為我國傳統教學精華的變式教學概括了中國數學教學的主要特征，通過變化使題中的不變因素更為突出是變式教學的核心，學生也因此得以更好地掌握數學概念的本質與解題的思想方法. 課程標準在知識技能、數學思考、問題解決以及情感態度各方面所闡述的課程目標都給變式教學賦予了新的內涵，目標達成的同時也創造了新的可能. “過程性”是初中數學教材內容呈現時所具備的最大特征，過程性變式也正因此成為課程目標實施與達成的有效途徑之一.

數學變式教學

從心理學的角度來看，變式是一個揭示事物本質屬性的過程，其本質屬性往往依賴非本質屬性因不同角度、方面以及方式變化而達成. 數學學科中的變式往往通過問題情境或思維角度的不斷變化使得事物的非本質屬性不斷遷移與變化，但其本質屬性保持不變.

數學教學包含陳述性知識與程序性知識這兩部分內容的教學，前者指概念，后者指的是過程. 靜止的概念性變式對于程序性知識的形成、發生與發展是無法真正起到積極作用的. 概念性變式指的是數學概念本質屬性的揭示，過程性變式則是知識發生、發展以及形成過程的揭示.

變式教學是教師引導學生從“變”的現象中發現、探索，并因此總結出事物“不變”本質的過程，此過程中一般會有所改變的是概念的非本質特征、問題的條件或結論，以及轉換問題的形式或內容等. 傳統意義上的變式雖然對學生主動性學習的引導以及科學思維的構建能夠產生積極的意義，但是很多時候對于變式中“變”的起因以及“變”的過程往往都沒有加以足夠的重視. 事實上，“變”的起因、“變”的方法以及“變”的方向這三大內容都是數學課程理念下變式教學的核心，過程性的變式只有這樣才能真正促使課程目標的順利達成.

數學變式的過程性思考

《義務教育數學課程標準》早就明確提出了重視數學問題抽象、模型構建、結果探尋以及問題解決全過程的要求. “過程性變式”正是在這一過程中所采用的策略. 教師在開放度較大的“過程性變式”中可以將相互聯系的素材不斷進行組合變式并引導學生解決，使得知識發生、生成與發展在縱橫交錯的聯系中形成. 學生在參與和體驗知識發現以及變化的過程中自然興趣倍增，學生的數學思維品質在不斷的鍛煉與刺激中得到優化. 由此可見，暴露過程與啟迪思維是數學教學中尤為重要的環節，教師在這一過程中應遵循學生的參與性原則將學生真正引入探尋數學奧妙的殿堂. 通過教師的“變”引導與啟發學生的“變”，使學生在學習知識的同時鍛煉出一定的變式技巧與解題技巧，順應“應用——理解——形成技能——培養能力”的認知過程與客觀規律并最終使得學生的數學思維品質與創新能力不斷攀升.

學生在過程性變式的學習過程中能夠比較清晰地理順不同概念之間的層次關系，獨立解題能力也會因為變式訓練的推進而提高. 教師與學生的互動隨著變式教學的推進也越發顯得親密，學生在積極參與各個變式的整個過程中不斷探索并逐步構建起豐滿的活動經驗系統. 其具體應用環節如下：①概念的形成過程，②數學對象與背景的轉換過程，③數學命題的形成過程，④數學問題的解決過程.

著名數學教育家顧憐沉先生曾經圍繞“除法就是分豆子”“等腰三角形的判定”“勾股定理能被學生探究出來嗎”這三個課題進行逐層深入的教學設計與研學推進，學生也因此獲得了脈絡分明的層次性活動經驗，過程性變式的功能在此過程中也得到充分凸顯.

蘇聯教育家加里寧很早就說過“數學是訓練思維的體操”這句話. 事實上，學生思維素質的培養確實離不開解題這一智力活動的有效實施，知識的起源、形成、發展以及過程中所包含的推理等都是通過解題一步一步、一個一個實現的. 接下來以具體的案例來說明過程性變式教學對學生思維品質優化所起的獨特作用.

案例研究

案例：三角形三邊關系定理

教師可以圍繞此定理進行一系列三角形問題的設計，在引導學生變式與解決中達到鞏固知識點以及加深概念理解的目的.

問題如下：一等腰三角形中腰長是5，底邊長是6，求周長.

學生很快獲解，周長為16.

教師適時提出變更概念非本質特征的要求，引導學生嘗試改變問題的條件與結論，學生思考如下：

變式1：一等腰三角形中腰長是5，周長是16，求底邊長.

教師繼續引導學生思考腰長與底邊長是否可以置換，由此得到變式2：一等腰三角形的一邊長是5，另一邊長是6，求周長.

變式2的出現使得問題相對復雜，簡單的一次求解已經不能完全滿足題意. 教師此時應該趕緊抓住學生思維拓展的契機引導學生對數字進行變式.

變式3：已知一等腰三角形，一邊長為5，另一邊長為16，求周長.

變式3的出現使得學生很快將之與變式2進行了比較，學生也很快發現數字的改變使得解題的方法也產生了改變，解題不難. 變化至此，教師繼續引導學生進行形式與內容上的轉換.

變式4：已知一等腰三角形，腰長為x，設其底邊長為y，則y的取值范圍如何？

問題的外延隨著問題向函數關系轉化而擴大，解題要求隨之變高，教師在學生獨立解題的基礎上繼續推出變式.

變式5：已知一等腰三角形，腰長為x，底邊長為y，周長為16，兩者之間函數關系式如何？請在直角坐標內畫出其圖像.

問題一步一步地變化使得初中數學的“綱”——函數得以展露，平面直角坐標系也被聯系于變化之中，數形結合的思想方法在這有意義的變式中得到了很好的滲透.

簡析

1. 一個簡單的解三角形問題一步一步地由具體變得抽象. 教師在“以學生為主體”理念的引領下與學生展開互動，并使得學生在遞進式的變式過程中將一個個問題圓滿地解決，“質的飛躍”也在問題的變式及解決中得以真正實現. 函數變量的出現使得問題由特殊變得一般，最后畫圖這一環節使得數學思想方法的滲透變得更加水到渠成，三角形三邊關系定理在整個過程性變式教學中得到了進一步的深化. 對照三角形三邊關系定理的深入學習、理解以及鞏固這一預設教學目標，整個過程顯得圓滿.

2. 從學生思維發展的軌跡這一角度來進行整個變式教學的分析，不難發現變式1是對學生逆向思維能力的鍛煉；變式2中增添了分類討論的思想與內容，解題思考時應做出一定思維策略的改變，分類思想這一重要的數學思想方法在此變式過程中得到了很好的滲透；變式3中將“5”與“16”比較分析，根據三角形兩邊之和大于第三邊這一定理可得“5”肯定是底邊長，學生思維嚴密性得到鍛煉的同時還鞏固了三角形三邊關系定理的掌握與運用；變式4的要求更高，教師應引導學生搞清楚問題解決的關鍵在于對題中條件0

3. 學生在變式中的思維活動能使他們對于事物的本質屬性與非本質屬性產生更好的理解與區分. 過程性的變式教學使得學生思維定式的形成、突破與轉變都變得更加輕松，思維的靈活性與嚴謹性同時在變式教學中得到了有力的提高，探索與思考的意味充斥其中，數學素養在潛移默化中提升.