問題解決視角下數學關鍵能力的培養

許德紅

[摘 要] 核心素養強調“關鍵能力”的培養，在初中數學教學中，關鍵能力可由課程標準中的核心概念來描述，而對核心概念也可以進一步概括. 研究者指出，數學建模能力、數據分析能力、數學運算能力和數學溝通與交流能力這四種能力，是核心素養培育的基礎. 本文在實例分析的基礎上，提出了關鍵能力培養的思路.

[關鍵詞] 初中數學；問題解決；關鍵能力；核心素養

根據從上位的核心素養到下位的學科核心素養的邏輯關系，初中數學教學需要切實培養學生的“關鍵能力”，以支撐核心素養大廈的構建. 呂世虎、吳振英等人認為，問題解決是核心素養落地的重要環節，而問題解決作為數學學習能力提升的重要途徑，其又是由多個環節構成的，這些環節包括數學建模、數據分析、數學運算和數學溝通與交流等. 縱觀這四個環節，可以發現其既與課程標準中的九個核心概念有關，同時又不完全相同. 從這四個方面來認識問題解決，及問題解決視角下學生數學學習中關鍵能力的培養，可以讓教師更簡潔、科學地認識數學學習的本質，從而切實培育學生的核心素養.

數學建模，問題解決的能力基礎

數學建模就是建構數學模型，數學建模能力就是學生利用已有知識建立數學模型，以將實際問題轉換為數學問題，并在數學問題解決之后對數學模型進行更高層次地認識的能力. 由此可見，數學建模是數學問題解決的重要基礎. 這里通過一個例子來說明.

“一元二次方程”的教學中，為了幫學生建立起一元二次方程的模型，教師可以向學生提供一個實際問題，讓學生在問題解決的過程中感悟一元二次方程模型的作用，同時體驗數學模型在問題解決中的作用. 筆者是這樣設計的：某學生在社團活動想設計一個人物雕塑，他為了讓雕塑能夠給人美感，查閱到了最佳的比例關系，即雕塑人物的腰線以下與全身的比例，要等于腰線以上與腰線以下的比例. 如果他想設計的雕塑是0.6米，那腰線應該在多高處？

這一問題設置在社團情境中，學生有一定的熟悉感，而其中的比例關系相對復雜，需要學生思維的深度參與. 在此過程中，如果直接根據題目的文字描述，要建立起比例關系還是比較復雜的，實際教學中可以讓學生先行嘗試（自主解決問題），而教師則可以在巡視的過程中發現用畫圖方法解決問題的學生. 然后在建立方程時，讓這個學生到黑板上板演：于是一根豎著的線段表示雕塑，上下端點A和B分別表示雕塑人物的頭與腳，從中確定一個點C作為腰線，設BC的長為x，那AC的長則為0.6-x，于是根據比例關系■=■，進而得出■=■. 其后，引導學生對此式進行整理以得到x2+0.6x-0.36=0，進而從“元”與“次”的角度定義類似于此的方程. 至此，解決問題的主要過程已經完成，剩下的即為解方程. 從建構模型的角度來看，方程的得出并不意味著模型已經建立，此處要再引導學生思考：我們是怎樣尋找到解題思路的？

這個問題有助于促進學生形成數學模型的意識，因為學生在反思的過程中，重點會鎖定在兩個方面：首先，學生會說是方程所起的作用. 教師則可追問：方程又是如何得來的呢？學生自然會回答是根據比例關系得出的，那題目中的比例關系為什么會變成一個等式，為什么有的小組的學生就沒有發現這一點？于是就有學生提出畫圖也是一個重要環節，即用一個線段及相應的點，來表示雕塑及其比例的要求. 因此，本題中的模型意識培養有兩個環節：一是實際雕塑變成線段，二是比例關系演變得到一元二次方程. 前者是對實物的抽象，后者是抽象后得到的數量關系.

這個環節中，只要讓學生認識到這兩點，尤其是認識到因為有了方程，才使問題的解決成為可能，這是數學建模的關鍵，自然也就是抽象能力得以培養的關鍵.

數據分析，問題解決的能力保障

對數據分析的認識，不少同學都存在誤區，認為數學解題的關鍵在于面向問題列式求解，數據分析只是低水平的處理數據的事情. 這一認識的形成，很大程度上源于教師在數學教學中輕視數據分析. 事實上，今天的數學學習背景下，數據分析是學生利用不同的手段從數據中提取信息與數據、判別信息與數據、運用信息與數據，進而思考其與現實問題解決相關性的重要過程，數據分析反映了學生的基本數學素養.

在初中數學中，數據分析的主要環節存在于數學知識的運用過程中. 例如“利用二次函數求最大利潤”之類的問題，這類問題常常取材于生活實際，是學生在生活中相對熟悉的，同時又可以較為直接地運用數學工具來求解. 例如，某商場的商品原為每件60元，每個月可以銷售300件. 如果價格每上調1元，則銷售量減少10件，如果每下調1元，則每月可多賣20件. 已知該商品的進價為40元，那如何定價才能保證每月利潤最大？

顯然，此問題解決的過程中，關鍵在于對其中“量”的確定與關系的把握. 而本題中涉及一個進價，三種售價，三種對應的銷量以及相應的利潤，這樣的數據關系是不容易把握的，怎么辦呢？可以利用上面所說的模型思路，用表格來呈現具體的關系. 教師可從量的角度，確定表格的行列要素：“行”由售價、單件利潤、銷售量、總利潤組成，“列”由原價和調后價組成. 這是一個相當復雜的過程，同時又是一個讓學生研究題中的數據（量），進而發現數據之間關系的過程. 具體地說，從原價60，到調價后的60+x，從原利潤20到調價后的利潤20+x，從原銷售量300到調價后的300-10x，進而得出原來的總利潤是20×300到調價后的總利潤（20+x）（300-10x），到此時為止，基于數據分析的總利潤的表達式也就出來了.

此過程中，學生的思維其實是經歷了從復雜到簡單的過程，之所以能夠從復雜到簡單，數據分析功不可沒. 學生提取出售價、單件利潤、銷售量、總利潤的過程，就是數據分析的過程.

數學運算，問題解決能力的體現

數學運算是利用數學法則和運算律進行運算，并在此過程中理解運算的算理，進而尋求更簡潔、科學的運算途徑的過程. 數學運算重在邏輯的運用，更重視通過邏輯思維提升學生的運算技能. 初中數學教學的一個優秀傳統，就是在運算的過程中追求優化運算的技巧，從問題解決的視角來看，這有助于學生形成良好的數學直覺，而這正是核心素養所強調的“關鍵能力”的重要組成部分.endprint

例如，在一元二次方程的求解中，學生能否迅速反應出x2-4x+4=0是完全平方式，而x2+4x-4=0不是完全平方式；能否迅速反應出x2+5x+6=0可以轉換成（x+2）（x+3）=0. 這實際上就是學生運用數學規則水平的體現，就是數學運算能力的體現. 在實際教學中，經常看到學生在此類問題上出錯的情形，在矯正的時候，我們通常從規則理解與運用的角度對學生進行重復性訓練，而不是純粹地習題重復. 這樣的訓練，好處在于可以促進學生程序化思考能力的提升，有助于學生的邏輯思維向直覺思維轉變. 同時我國初中數學教學的另一個傳統，即追求簡便運算，實際上也是引導學生在問題解決中、在習題解答中優化解題思路，熟悉運算法則. 從這個角度講，數學運算體現著問題解決的能力與水準.

需要指出的是，在問題解決的過程中，學生既有個體學習，也有合作學習，而合作學習就必然涉及學生之間的溝通與交流問題，這看起來與問題解決沒有直接關系，但實際上卻是學生數學語言運用能力的重要體現，下面對該環節進行闡述.

數學溝通與交流，指向默會知識

溝通與交流是未來學生最基本的能力，溝通與交流的過程中學生很少會即時進行程序式的思考，往往都是直覺反應的結果，因而溝通與交流的能力也就具有了默會知識的特征. 數學溝通與交流，強調對數學語言、工具的運用，強調數學語言使用的迅捷化，而這涉及學生對數學信息的提取與加工，以及對知識的熟練程度. 其一個重要的體現場合，就是數學學習過程中的小組討論環節.

例如，在“勾股定理”這一內容的教學中，筆者注意到讓學生通過面積關系來證明勾股定理的時候，或者在讓學生表述勾股定理的時候，有些學生所用的語言過于生活化. 有學生說“一個角是九十度的三角形，它的兩個邊的平方加起來正好等于另一個邊的平方”，這樣的表述可能并不是普遍現象，但比較普遍的是其中的某些問題總在不同學生個體身上出現，這實際上給初中數學教學帶來了新的研究命題：怎樣才能讓學生對數學語言的運用變得更加自然？

一個有益的經驗是：實際教學中，教師要注意自己的教學語言. 在新的數學概念建立之時，可以多用生活語言，這樣容易靠近學生的認知基礎；而在概念建立之后，在概念或規律運用期間，一定要注意自己的課堂口頭語言，要保證向學生傳遞的信息是用純正的數學語言來表述的. 只有這樣，才能讓學生在數學學習的過程中，慢慢形成運用精確數學語言的意識與能力，也就是一種默會知識.

總之，在初中數學教學中，基于問題解決來培養學生的“關鍵能力”，既可以為數學學習提供一條主線，又可以讓學生的關鍵能力得到培養，從而為核心素養的培育奠定基礎，因而這對一線教師有一定的參考借鑒意義.endprint