數學課堂教學思維過程的設計

韓旭東 鄭麗杰

摘要：課堂教學中，思維過程的設計起了很大的作用，好的思維設計，不但能幫助學生形成良好知識結構，提高學習興趣，還能最大程度的提高課堂教學效果。本文從問題的提出、概念的形成、結論的探索、方法的思考幾個方面入手，對思維過程的設計進行探討。

關鍵詞：數學教學;思維過程;設計

過程性原則是數學學習和研究過程中的重要原則，此原則要求老師從結果出發，精心設計，將數學思維活動融入數學課堂教學中，以求學生能夠按照一定的思維規律逐步進行數學思維活動，不僅能讓學生形成良好的知識結構，提高學習興趣，而且能提高課堂教學效果。

數學設計思維過程的本質就是將數學思維的主要過程“重現”出來，這里面不但包括了提出問題、形成概念，還包括了探索結論、思考方法等。下面就這幾方面進行探討。

教學的重要過程之一就是問題的提出。為此在我們的教學中要盡可能做到從學生已有的認知結構出發來全方位展示提出問題的過程。

問題提出的過程是新課引入的實質，例如在教學新課“復數的模”時，我們可以設計如下教學過程來逐步將此概念引入并讓學生留下深刻的印象：

（1）在學生已掌握實數絕對值概念情況下，引導其猜想復數是否具有相類似概念？這個概念到底是什么？

（2）從幾何意義來解釋，實數的絕對值表示數軸上對應點到原點的距離，類似的將“復數的絕對值”理解為復平面上表示復數的對應點到原點的距離。

（3）通過類比原則可以將復數的幾何意義初步引導出來，然后正式介紹這個引導的概念具體是什么？并引導提出其有一些什么性質？

下面我們可以正式開始研究“復數的模”這一課題。

這樣通過兩項類比，復數的模的問題就可由實數絕對值概念引出，不僅避免新舊知識的混淆，還為模的性質研究提供了方法。

以上過程在學生本身已有的知識基礎上，通過猜想、類比、轉化等一系列數學思維活動，不僅使問題提出得更自然，而且使學生在知識遷移這一過程中能夠產生更加強烈的求知欲。

一、 概念的形成過程

強調“從定義出發”，忽視揭示概念形成過程的傳統教學，使教學呈單向性，“填鴨式”的教學只能讓學生被動接受知識，缺乏主動性，導致學生學習興趣不濃。教學中要盡可能讓學生參與概念形成的思維活動。概念形成方式，一般可分成：描述、揭示、概括以及構造幾個類型。但對于這些類型，研究的可能性、合理性和必要性都是不可或缺的。

在“復數概念”教學中，教材通過負數在實數范圍內不能開平方這一現象表明實數集的不完善，接著引入實數集需要進一步擴充的必要性。這就是提出問題的過程，那么接下來就是如何解決這一問題？

1. 回憶小學到初中的幾次數集擴充過程：

自然數集→非負有理數集→有理數集→實數集

均體現了如下規律：①規定了性質的新元素的增加。 ②擴充后，不影響原數集內的主要規律。③引入擴大范圍的新數集后可以解決原數集不能解決的一些問題。

2. 借鑒以上規律，引進新元素，規定：

①i2=-1。②它可與實數進行四則運算，并且原運算律仍成立。

根據規定，實數與i相乘，再將實數與所得結果相加。得到的數即為復數。而復數集就是全體復數所構成的一個集合。

接著對復數的性質作必要的舉例驗證，并說明以后的學習將進一步驗證擴充的必要性、合理性及擴充的重大意義。

這就是復數概念的形成過程，通過這一過程，學生就不會對復數的引入感到困惑，也不會對復數的相關概念覺得突兀，同時為以后概念的深刻理解和進一步探究做了基礎工作。

二、 結論的探索過程

數學結論的發現過程，大量的猜想和假設是必不可少的一部分，如要選擇正確的結論需要通過直覺思維，而要在教學中突出思維過程，就必須將直覺思維放大并逐步剖析，既要不斷挖掘教材中蘊含因素，還要不斷挖掘結論探索過程。

在“椎體體積”的教學中，可以根據已有柱體體積公式求法作如下教學情境設計：

首先回顧推導柱體體積公式的過程：引導學生通過長方體這個特殊的柱體體積公式，同時提出“等底面積等高的兩個柱體體積相等”這一結論，推導出一般柱體體積公式。

通過類比原則來猜想：是否可以用以上思路來探索椎體體積？

先考慮底面積為S，高為h的三棱錐這個特殊的椎體，如何求出它的體積？

通過聯想、類比三角形面積公式的推導過程，將三角形補成平行四邊形得到公式。

作以下猜想：是否可以將三棱錐通過補成三棱柱，從而得出三棱錐體積公式。

圖1如何補？我們已經知道可以將三棱柱通過下列方法割成三個不同的三棱錐。如圖所示：

逆向思考：以上三個三棱錐重新補成三棱柱，這樣三棱錐體積公式不就可以推出了。

如果再有“等底面積等高的兩個椎體體積相等”這一條件，是否就可猜想：底面積為S，高為h的棱錐的體積為V=1/3Sh。

在老師引導下，學生通過類比、聯想、猜想等一系列方法，親身經歷了棱錐體積公式的探索過程，如此能夠激發學生的學習熱情，從而使其將知識掌握得更牢固。

三、 方法的思考過程

教材通常都是直接給出數學結論的證明，然而這些巧妙的方法是怎么想出來的？學生都是不得而知，只能死記硬背。因此，我們在教學時首先要使學生掌握下列思考問題的方法：猜想、試驗、類比、聯想、觀察、演繹、歸納等，以使學生在具體思維過程設計時能夠靈活運用。

對于“點到直線的距離公式”證明，雖然教材采用的證明方法不難，但大多數學生對圖中添加的輔助線卻感到困惑。要解決這個問題，我們可以設計如下過程：

先用特殊位置思考，當點P在坐標軸y軸上時，點P到直線l的距離如何求？引導學生構建直角三角形，提出如圖所示方案：d=|PQ|=|PM|cosα。

本方案采用方法是：找一直角三角形，假設確定了斜邊和一已知角，便能將所求距離轉化成求三角形的一條直角邊，如此更清晰明了，學生也能更快地掌握。

學生解決這個特殊問題后，再回頭解決原問題就簡單許多。通過特殊問題的解決，可以使得一般問題得到提示，不會顯得迷茫不知從何處下手：找一直線作為斜邊所在的直線，構造一直角三角形。

圖2如圖，要構造一直角三角形，只需過P作一直線與直線l相交，就可構成直角三角形。如果任意作直線，內角就沒法確定，我們能都作y軸（或x軸）平行的直線嗎？引導學生作出圖形，推導出點到直線的距離公式，從而使得一般性問題得以解決。

通過這樣的教學，學生不僅能理解這樣作輔助線的原因，而且深入研究探索還可以得到不同的解決方法。而學生在牢固掌握知識的同時，還知道了方式方法，得到了能力的發展。

如果每堂課都精心設計教學過程，那么就更能激起學生學習熱情，進一步提高學生主觀能動性，使得課堂效率更高。

參考文獻：

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[2]法魯克.試論數學問題教學中常用的數學思維方式[J].新疆教育學院學報，2006，22（4）：124-127.

作者簡介：

韓旭東，鄭麗杰，江蘇省宜興市，江蘇宜興市官林中學。