高觀點下高中數學解題之極限思想

林美琳

摘 要：在高中數學中使學生學會應用數學思想進行解題是幫助學生順利解決數學問題的一個有效的方法。對于高中階段的某些數學問題，使用極限思想來解決能使解題過程更加清晰明了。在高中數學教學中應用極限思想進行教學，是培養學生數學核心素養的重要途徑之一。

關鍵詞：極限思想 高中數學 教學

極限思想不僅是一種應用在解題上的方法，同時還是一種重要的思維方式，在高中數學階段占據著重要的地位。極限思想是微積分的基本思想，在新課程改革中將微積分放在了高中數學課程的重要位置上，并且在內容上都體現出了極限思想這一數學思想，說明了極限思想在高中數學階段的重要性。本文從極限的定義出發，闡述了極限思想的內涵，并結合高中數學教材中的內容，介紹了極限思想在數列、函數和解析幾何中的應用，具體講解在其解題過程中是怎樣運用極限思想的。[1]

一、極限與極限思想解讀

1.極限的定義

極限的定義在人教A版教材中并沒有直接給出，只在選修課本中定義導數時用到了極限符號，但極限思想的應用卻經常要用到。考慮到高中學生在對形式化極限概念上存在認知困難的情況，我們首先來了解一下函數的極限：當x趨近于無窮時，函數f（x）存在一個無限接近的值，公式表示為x∞，f（x）=a，a就是函數f（x）的極限。數列的極限定義與極限定義與函數類似：在無窮數列{}中，若n趨近于正無窮時，的項也無限地與某一個常數接近，即|-a|近似于0，那么就說數列的極限為a。

通過上面極限在函數與數列中的兩種定于我們可以看出極限就是某一個變量在變大或者變小的過程中逐漸向某一個確定的數值移動、卻不能得到的過程，可以看出極限是一種對過程變化的描述。了解極限的定義是正確使用極限思想的基礎。[2]

2.極限思想的內涵

極限思想是人們很早就在使用的一種數學思想，在過去的“窮竭法”和“二分法”中都蘊含著極限思想。在高中數學教學中使用極限思想。更重要的是要培養學生具備使用極限思想進行思考和研究問題的能力，通過問題中的信息構造出對應的數列或者函數f（x），從而根據定義解決問題。

極限思想的科學使用可以幫助學生用發展的眼光看待問題和處理學習、現實中的問題，幫助學生完成思想上的跨越，對提升學生解決實際問題的能力具有十分重要的幫助。當學生在面對某些難以解決的實際問題時，可以借鑒數學思想中的極限思想方法，將原本局限在一個點上的問題擴展到一個區間上進行研究，這個時候再回到起始的位置來研究這個問題，可以取得更好的效果。

二、極限思想的具體運用

1.極限思想在數列中的應用

數列是現如今高中數學教學的一個重要的組成部分，同時也是讓很多教師和學生困擾的一個內容。在數列的運算過程中，學生經常會出現無從下手的情況，而極限思想其實可以為解決這些問題提供很好的思路。下面，我們使用一些例題來探討極限思想在數列中的實際應用范圍。

例題1：（2010年全國卷）已知數列{}中，=1，=c-

（1）設c=，=，求數列{}的通項公式

（2）求使不等式<<3成立的c的取值范圍

分析：問題（1）略過，在這道題的第二個小問題中要求學生求出未知數的取值范圍，根據題目我們首先確定的是未知數c只存在于=c-這個式子之中，而是為止的，因此，要想直接地得出c的取值范圍是十分困難的，所以需要學生另辟蹊徑，找到合適的解決方法。可以使用極限思想來解決這個問題，可以針對和分別使用求極限的方式，因為當n無窮大時，兩者是相等的，因此，可以得出一個等式，求得的取值范圍。這種問題是利用極限思想求解的一種典型的問題，需要引起教師和學生的重點關注，利用極限思想的方法使這個問題簡單化。

解題步驟：由題干<<3可以首先確定an是一個遞增的數列，且因為=1，所以數列是正的，有上界為3，因此，我們可以根據極限的定義推斷出是存在的，那么不妨先設=m，則=m，且1

從上述問題可以看出在數列中求取值范圍的問題時可以利用到極限思想的使用，在求解這類問題時，首先需要學生細心地觀察數列的變化趨勢，將可以得到的條件列出來，如是否是等比數列、是遞增還是遞減、是正數還是負的、是否有界等，然后再結合極限的定義和已知的定義來利用極限思想解決問題。[3]

2.極限思想在函數中的應用

極限與函數有著密不可分的關系，高中函數學習過程中有很多問題需要使用極限思想來解決，在極限的定義中也用到了專門用來解釋函數極限的內容。作為高中數學教學的一個重點內容，尤其是在新課程改革的環境下，運用數學思想解決函數問題是高中數學教學的大勢所趨，因此，教師必須要幫助學生學會運用極限思想解決函數問題的方法。下面，我們先來探索一下利用極限思想解決函數問題的一般思路。

例題2（2011山東高考數學題）已知函數f（x）=+x-b（a>0且a≠1），當2

分析：因為b是一個常數，我們可以很輕易地看出函數f（x）是單調遞增的，如果函數的零點∈（n，n+1）則f（n）<0，那么f（n+1）>0就是恒成立的，而當a無限趨近于2并且b無限趨近于3的時候，f（n）是在無限趨近于+n-3的，所以，我們可以得出+n-3是小于等于0的，同理也可以得出+（n+1）-4≥0，根據題設的條件n∈，最終得到n=2的結論。

通過上面的例題我們可以看出極限思想在函數問題中經常會用到的形式。一是在遇到求函數的取值范圍的問題時經常會用到極限思想，學生可以先將函數可以取到的值放大到極限然后再求出范圍；另外還有像上述例題2這種求零點的問題時，要根據零點存在性的原則，將未知數的值取到極限從而得到相應的函數的解析式，進而最終得到想要求取的值。

在函數問題中利用極限思想可以很好地將復雜的問題簡單化，幫助學生迅速地掌握問題的解決方法。

3.極限思想在解析幾何中的應用

解析幾何問題是高中數學教學中的一個教學難點，涉及到解析幾何的問題一般很容易理解，但是卻因為計算量的問題，學生很容易出錯。解析幾何問題的求解的特點就是用代數的方法求解題目中的幾何問題，學生在解決這類問題時要盡量地避免因為運算量過大而產生的影響解題速度和精準度的問題。利用極限思想可以幫助學生很好地優化解析幾何中運算量過大的問題。

例題3（2012天津高考數學題）設橢圓+=1（a>b>0）的左右頂點分別為A，B，點p在橢圓上且是異于A、B的一個點，O為原點坐標。

（1）若直線AP與BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率；

（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|>

分析：問題（1）略過，在這道解析幾何問題中，學生理解起來一般非常地簡單，按照一般的方法：找出k與離心率e之間的關系，再根據離心率的范圍是0

這道題的具體解題過程如下：做出一個以A為圓心、 OA為半徑的圓O，假設圓O與圓A相交于點N，所以可以得出|AO|=|AP|=|AN|=|ON|=a的結論，并且根據圖形可以得出三角形AOM是一個等邊三角形，所以∠AOM為60度，根據題目中的條件a>b>0，可以得出當點P，N在x軸的上方時，<=-；當點P，N在x軸的下方時>=-，根據上述結論最終可以得出證明直線OP的斜率k滿足|k|>。

在解答這道問題時主要用到的是利用橢圓的短軸在無限接近于長軸的過程中會呈現出一種橢圓趨近于圓的狀態，即將圓作為一種特殊的處于極限狀態的橢圓來解答這個問題，最終只運用了少量的計算就解決了這個問題。這樣，通過極限思想的使用極大的簡化了在解析幾何中的運算量，使問題變得簡單起來。

總結：綜上所述，可以看出極限思想在高中數學知識中有著廣泛的應用，不僅是在數列、函數、解析幾何中，在立體幾何問題的解決中也有著巨大的優勢。總之，在整個高中數學教學中為學生傳授極限思想的使用，不僅能使題目的解析更加簡潔，使解題思路豁然開朗，還能有效地提升學生的數學核心素養。利用高觀點解決高中數學問題是新時期素質教育下新課程標準提出的一個重點要求，需要得到廣大高中數學教師的充分認識，而極限思想則是高觀點應用于高中數學的典型代表，幫助學生掌握極限思想這個有利的數學工具，能讓學生更加輕松快樂地面對高中數學的學習，更加自信地應對未來高考。

參考文獻：

[1]邵一丹.高中數學關于極限思想的內容梳理及其教學研究[D].陜西師范大學，2017.

[2]方澤昱.高中數學解題過程中極限思想的運用體會[J].經貿實踐，2016（23）：213.

[3]郭嬋嬋.極限思想在高中數學中的應用[J].教育教學論壇，2014（35）.