平面向量問題的常用解法小結(jié)

摘要：平面向量是高考的必考點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)。考試題型是選擇題或者填空題，考點(diǎn)綜合程度高，方法靈活多樣，能夠考出學(xué)生的運(yùn)用知識(shí)的熟練程度以及解題方法的靈活性。本文選取部分高考題為分析對(duì)象，按類別來分析歸納平面向量問題的常用解法，為大家備考解題提供些許指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：平面向量；解題方法；高考

一、 直接法

平面向量考題的常見模式是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考察，通常將若干知識(shí)點(diǎn)整合，解題時(shí)只需要按照順序逐層直接解決即可。

例1（2017全國(guó)卷Ⅰ理）已知向量a，b的夾角為60°，若|a|=2，|b|=1，

則|a+2b|=。

解析：本題考查向量數(shù)量積定義及運(yùn)算法則，按運(yùn)算法則直接解決即得。

|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4×1=12

解得|a+2b|=23。

例2（2013上海春季）已知向量a=（1，k），b=（9，k-6）.若a//b，則實(shí)數(shù)k=。

解析：本題考查坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線條件，按法則直接解決即得。

由a//b可得19=kk-6，解得k=-34。

二、 幾何圖形輔助法

向量運(yùn)算法則的圖形運(yùn)算是向量性質(zhì)體現(xiàn)的最佳載體，也是數(shù)形結(jié)合的載體，借此也可以考查學(xué)生平面幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用。題目常用的圖形載體包括平行四邊形、三角形，考察的性質(zhì)包括中線、中點(diǎn)、分點(diǎn)等。解決具體問題時(shí)畫出圖形輔助，綜合運(yùn)用向量的圖形運(yùn)算法則，完成條件與問題結(jié)果之間的轉(zhuǎn)換。

例1（2015全國(guó)卷Ⅰ理）設(shè)D為ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3CD，則（）

A. AD=-13AB+43AC

B. AD=13AB-43AC

C. AD=43AB+13AC

D. AD=43AB-13AC

解析：本題考查向量分解中的圖形法則應(yīng)用。畫出圖形，將向量運(yùn)算的圖形法則與平面幾何知識(shí)相結(jié)合求解即可。

如圖示，由向量加法的三角形法則可知

AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13（AC-AB）=43AC-13AB

故選A。

例2（2016全國(guó)卷Ⅰ理）設(shè)向量a=（m，1），b=（1，2），且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m=。

解析：向量模長(zhǎng)對(duì)應(yīng)圖形中線段的長(zhǎng)度，借助幾何圖形觀察模長(zhǎng)關(guān)系代表的向量關(guān)系，尋求解題的切入點(diǎn)。

向量加法遵循平行四邊形法則（如圖），

令OA=a，OB=b，則OC=a+b。

|a|，|b|，|a+b|分別對(duì)應(yīng)ΔOAC的邊長(zhǎng)，由|a+b|2=|a|2+|b|2可知ΔOAC為直角三角形且∠OAC為直角，進(jìn)而推出a⊥b。于是a·b=m+2=0，解得m=-2。

例3（2013江蘇卷）設(shè)D，E分別是ΔABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD=12AB，BE=23BC，若DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2為實(shí)數(shù)），則λ1+λ2的值為。

解析：本題考查向量的數(shù)乘及向量分解。畫出圖形，將向量運(yùn)算的圖形法則與平面幾何知識(shí)相結(jié)合完成向量分解即可。

根據(jù)向量加法法則

DE=DB+BE=12AB+23BC

=12AB+23（AC-AB）=23AC-16AB

于是λ1=-16，λ2=23，故λ1+λ2=12。

三、 坐標(biāo)轉(zhuǎn)化法

在正交基底的前提下的向量坐標(biāo)是向量的又一明顯特征，完成了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化。向量問題坐標(biāo)化能夠簡(jiǎn)化向量問題，也是解決向量問題的有效途徑。題目已知條件中有向量的模長(zhǎng)及夾角時(shí)，可以考慮借助條件建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將問題坐標(biāo)化后借助坐標(biāo)運(yùn)算尋求簡(jiǎn)單快捷的解決方法。

例1（2013湖南理）已知a，b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是（）

A. [2-1，2+1]

B. [2-1，2+2]

C. [1，2+1]

D. [1，2+2]

解析：根據(jù)已知判斷有建系條件。可將a，b放入直角坐標(biāo)系，把問題坐標(biāo)化處理。

不妨設(shè)a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），

則|c-a-b|=1可轉(zhuǎn)換為|（x-1，y-1）|=1，即（x-1）2+（y-1）2=1

于是可知向量c對(duì)應(yīng)點(diǎn)C在直角坐標(biāo)系中的軌跡是以（1，1）為圓心，1為半徑的圓。

|c|表示點(diǎn)C到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，結(jié)合解析幾何中圓的知識(shí)易得|c|∈[2-1，2+1]。

例2（2017全國(guó)卷Ⅱ理）已知ΔABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)的一點(diǎn)，則PA·（PB+PC）的最小值為（）

A. -2B. -32

C. -43D. -1

解析：向量問題借助等邊三角形為載體，具備建系條件，可以坐標(biāo)化處理。將數(shù)與形的問題互相轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的威力。

以AB所在直線為x軸，以其中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖）

則A（-1，0），B（1，0），C（0，3），設(shè)P（x，y），

取BC邊中點(diǎn)D，則D（12，32）。

那么PA·（PB+PC）=PA·2PD=2（-1-x，-y）·（12-x，32-y）

=2[（x+1）（x-12）+y（y-32）]=2[（x+14）2+（y-34）2-34]

則當(dāng)x=-14，y=34時(shí)，PA·（PB+PC）取得最小值，為2×（-34）=-32，故選B。

例3（2013山東理）已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，則實(shí)數(shù)λ的值為。

解析：根據(jù)已知條件，建立坐標(biāo)系如右圖。

易得B（3，0），C（-1，3），于是AB=（3，0），AC=（-1，3），

那么AP=λAB+AC=（3λ-1，3），BC=（-4，3）。

由AP⊥BC得AP·BC=0，

即-4×（3λ-1）+3×3=0，解得λ=712。

總之，平面向量問題小、巧、活，涉及知識(shí)點(diǎn)少，分值高，題型相對(duì)固定，方法靈活多變。解好平面向量問題，需要將扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)與靈活的解題方法有機(jī)結(jié)合，日常復(fù)習(xí)中要多思考、多嘗試、多探索，為應(yīng)試中準(zhǔn)確快速解題奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳碧文.“楊輝三角中的一些秘密”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2015（8）：48-52.

[2]夏金艷.發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美——以“楊輝三角中的一些秘密”教學(xué)為例[J].湖北教育：教育教學(xué)，2016（2）：33-36.

作者簡(jiǎn)介：

蓋君悅，山東省濟(jì)南市，山東師范大學(xué)附屬中學(xué)。endprint