立足“微觀”視角的數學選修課三“微”設計探索

☉浙江省安吉縣昌碩高級中學 王家斌

《普通高中數學課程標準（實驗）》提到：高中數學課程由必修系列課程和選修系列課程組成，必修系列課程是為了滿足所有學生的共同數學需求；選修系列課程是為了滿足學生的不同數學需求，它仍然是學生發展所需要的基礎性數學課程.近年來，在教學中開設選修課程，大量研究資料表明，多數學校在高一、高二年級中安排有固定的選修課時，但如何開設好選修課？怎樣選修課程才是對必修課程的有效補充？才能實現開拓學生視野？促進學生學習數學興趣產生的目標呢？通過閱讀大量資料，借鑒一些比較成熟成功的案例，筆者形成了一些自己淺顯的思考.考慮到選修課程課時的限制，同時又要發揮其促進必修課教學的作用，筆者認為選修課選題盡量著眼微觀，以小促大，實現短、平、快.

一、微專題

（一）微專題的定義

微專題是指一個相關聯的、可以單獨研究的知識體系、某種數學思想方法、一個研究主題等.微專題教學是指針對某一具體知識點，從該知識點的基本概念、基本原理、基本規律入手，內化知識，構建結構，進行知識遷移、整合并能運用基本概念和原理解決問題的一種“小切口”教學方法.微專題教學通常選擇熱點、難點、疑點等“點問題”進行較深層次的研究，根據知識點的聯系和相通之處，讓學生理解知識、方法的本質，達到以點帶面、舉一反三的目的.

（二）微專題的基本結構

微專題的基本結構包括以下四個方面：知識清單（交代本微專題的基礎知識、基本方法）；基礎練習（比較簡單的便于學生回顧知識的練習題）；例題精選（有代表性的典型例題）；鞏固練習（有針對性的練習題）.

（三）微專題一例：《數列單調性問題的研究》

【知識清單】

數列作為一種特殊的函數，其單調性的研究通常也是伴隨著數列最值的求解.這類問題的解決通常還是借助函數單調性的研究方法如圖像法和恒成立的思想.

【基礎練習】

（1）求以下數列中的最大項：an=n2-8n+5；an=n2-7n+6.

（2）若an=n2+λn+3（其中λ為實常數），n∈N*，且數列{an}為單調遞增數列，求實數λ的取值范圍.

【例題精講】

例題：通項公式為an=an2+n的數列{an}，若滿足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an+1對n≥8恒成立，則實數a的取值范圍是______.

變式：數列{an}滿足λ為實常數，n∈N*），最大項為a8，最小項為a9，則實數λ的取值范圍為______.

意圖：選修課對必修內容的有效補充，恰恰是其“短小、精悍”的特點，選修課因為可以對難點知識進行專題性解決，從而成為教學的有效輔助手段.本案例的本質恰恰從函數角度思考了數列最值的研究，將單調性研究的重點滲透到數列之中，成為學生理解數列最值的關鍵，是高效、有效的典范.

二、微探究

微探究案例一則：《拋物線的一個特有性質及其應用探究》

提出問題：AB是拋物線y2=2px（p＞0）的過焦點F的動弦，試問：弦AB何時最短？

學生憑直觀感受回答：當AB垂直x軸時，弦AB最短.（有待證明）

教師拋出一個想法：設A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=，即AB垂直于x軸時取得最小值.

學生提出疑惑：這里不等式用得有點奇怪，好像有點問題.我們在應用基本不等式求最值的三個條件（一正、二定、三相等）中“定值”是否滿足？（引導學生探究x1x2是否為定值）

將點F一般化為x軸上任意一點（m，0），探究拋物線的一條特殊性質：若過拋物線y2=2px（p＞0）對稱軸上一點M（m，0）的直線l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則x1x2=m2，y1y2=-2pm成立.特別地，當M為拋物線焦點成立（.具體探究過程仿照文［4］，此處省略，由于課堂時間的限制，文［4］中提到的兩條推論并沒有在實際教學中探究）

意圖：選修的“微”還可以體現在師生就單一問題的積極深入研究和探討之中，這樣的研究在常態化教學中顯然并不多見，但是在選修課中可以放手一試，其主要目的在于將學生的參與性開發出來，有效地提高學生主動參與交流的情境之中，形成真正的建構教學和有效教學.另一方面，《普通高中數學課程標準》（實驗）倡導積極主動、勇于探索的學習方式.普通高中數學教材中，幾乎每章每節都設有“思考”和“探究”欄目，可見教材編者用心之良苦.然而，在具體教學過程中，受教學進度的影響，教師無法給予學生充足的時間進行探究，往往是教師直接給出結論，抑或是公開課中的“偽探究”.

三、微辯論

（一）選題理由

平時和學生交流的過程中，多數學困生都反映上課能聽懂，就是課后作業不太會做，考試也不理想，即使是考試成績好的學優生有時也是糊里糊涂說不出個所以然來.教育同行也經常感嘆，某道題我講過多少遍了不知道，學生還是考不出或還會犯錯.從認知心理學的角度來理解，學習應該是個主動參與的過程而不是被動的接受，教師僅憑個人預想學生會出現的誤解，往往做不到有針對性的教學.讓學生說，使其暴露思維的缺陷或理解的偏差，顯得尤為重要.

（二）選題原則

學生在說解題思路的過程中，將自己的思維暴露在老師和同學面前，將自己思考的得與失都能展現，教師在選題時，有意識地選擇一些參與度高，容易產生爭議又能在短時間達成共識的辯題.

（三）案例一則：《判斷三角形形狀》

例題：在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，試判斷△ABC的形狀.

學生乙：因為A+B+C=π，所以sinC=sin（A+B）.

又2cosAsinB=sinC，所以2cosAsinB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB-cosAsinB=0，所以sin（A-B）=0，所以A=B，又（a+b+c）（a+b-c）=3ab，所以a2+

又A=B，所以△ABC是等邊三角形.

意圖：本討論課是筆者嘗試的一次選修辯論，我們知道判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過正弦定理和余弦定理，化邊為角（如：a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等），利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷.此時注意一些常見的三角等式所體現的內角關系.如：sinA=sinB?A=B；sin（A-B）=0?A=B；sin2A=sin2B?A=B或A+等；二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sin等，通過代數恒等變換，求出三條邊之間的關系進行判斷.相比老師的直接灌輸，如果是學生自己說出來，效果就會完全不一樣.

總之，就高中數學課程內容而言，由于課時的限制，我們只能讓學生學習基礎且重要的內容.為此，合理選題，正確引導，充分發揮選修課對正常教學的補充完善和有益補充的作用，成為選修課教師必須深入思考的問題.近幾年非常流行的微課，對教師能力的培養起到了很大幫助.如果將微探究、微辯論甚至微研討引入選修課堂，相信也一定能讓學生對數學學科不再畏懼，甚至充滿激情并能享受其中.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

2.王第成.教學：請讓學生先來［J］.中學數學教學參考，2014（9）.

3.沈恒，王勇強.碎片化學習下的云端微視頻教學初探［J］.中學數學（上），2014（10）.

4.趙祥枝.引導學生主動探究，促進數學思維發展［J］.中學數學教學參考，2014（5）.F