學(xué)生思維“爆破式”提升的課堂教學(xué)感悟

摘 要：高三學(xué)生的學(xué)習(xí)除了夯實(shí)基礎(chǔ)、積累解題經(jīng)驗(yàn)和提高高頻考題題型的解題熟練程度之外，更重要的是以高中數(shù)學(xué)思想甚至介于大學(xué)與高中銜接的數(shù)學(xué)思想為媒介，循序漸進(jìn)的錘煉學(xué)生的深度思維，然后以良好的思維習(xí)慣為武器，爆破難題的關(guān)鍵點(diǎn)；用化歸、轉(zhuǎn)化的思想把難題肢解成幾個(gè)熟悉的邏輯段，從而達(dá)到突破難點(diǎn)、抓住重點(diǎn)；學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的目的，筆者常常把這種思維稱之為把復(fù)雜問(wèn)題“打散做”，如何打散？如何整合？是課堂教學(xué)的靈魂.

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化；模型；爆破思維

例 在數(shù)列{an}中，已知a1=13，an+1=13an-23n+1，n∈N*，設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和。

（1）求證：數(shù)列{3nan}是等差數(shù)列；

（2）求Sn；

（3）是否存在正整數(shù)p，q，r（p

在此題考試結(jié)果統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)第三問(wèn)學(xué)生得分極低，通過(guò)了解考情及對(duì)第三問(wèn)學(xué)生答題情況調(diào)研發(fā)現(xiàn)存在問(wèn)題是：①題目難度大，無(wú)從下手的學(xué)生占90%；②學(xué)生構(gòu)建函數(shù)模型，利用函數(shù)的值域處理問(wèn)題，但是思維混亂，答案為不存在的居多的學(xué)生占8%；③只有2%的學(xué)生解法恰當(dāng)、思路清晰。由此得出結(jié)論是此題難度較大，主要原因是：撬動(dòng)數(shù)列的法寶往往是數(shù)學(xué)歸納法，而學(xué)生常常被“若刺激”的思維所掩蓋，住不住主要矛盾，找不到解題的敲門磚，其次是數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，學(xué)生在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)沒(méi)有函數(shù)思想意識(shí)，從而避開(kāi)了有效的解題方法；最后是這類問(wèn)題往往與簡(jiǎn)單的數(shù)論知識(shí)以及高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接知識(shí)相結(jié)合，學(xué)生沒(méi)有知識(shí)拓展，所以解題有較大的障礙。針對(duì)于以上問(wèn)題，通過(guò)學(xué)生在課堂上充分暴露問(wèn)題，通過(guò)充分的思維訓(xùn)練，循序漸進(jìn)，層層遞進(jìn)，不斷爆破問(wèn)題已達(dá)到解決問(wèn)題的目的。以下即為以問(wèn)題為導(dǎo)向解決上述問(wèn)題的課堂實(shí)錄（其中前兩問(wèn)略）：

問(wèn)題1：Sp，Sq，Sr成等差數(shù)列將如何轉(zhuǎn)化？

生1：由第二問(wèn)解得Sn=n3n，可知2q3q=p3p+r3r；

問(wèn)題2：通過(guò)上述方程如何探究p，q，r是否存在？（教師引導(dǎo)學(xué)生討論）

生2：由于Sn=n3n是單調(diào)遞減數(shù)列，可以從離散函數(shù)的上下界考慮。

教師：你是怎樣產(chǎn)生此思路，具體如何操作？

生2：可以從歸納法產(chǎn)生思路：當(dāng)p=1，q=2，r=3時(shí)，等號(hào)剛好成績(jī)，所以p=1，q=2，r=3首先是Sp，Sq，Sr成等差數(shù)列的必要條件，如果繼續(xù)歸納的話，比如舉出較為極端的例子p=1，q=6，r=7，13+737要遠(yuǎn)遠(yuǎn)比1236大的多，所以估計(jì)在p，q，r取較大正整數(shù)時(shí)等式可能不成立？

教師：你能給出具體的邏輯推理嗎？

生2：可以！因?yàn)閜2q3q②，所以由①②可知p3p>2q3q，而r3r>0，故有2q3q

小結(jié)1：此種方法由何而生？學(xué)生異口同聲回答是因?yàn)闅w納的思想，教師趁熱打鐵：數(shù)學(xué)思想方法是很重要的，而歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用更為重要，很多復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題軍用歸納法這個(gè)“金箍棒”完美的得到答案，同時(shí)，我們高中階段雖然是用集合與集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系研究函數(shù)，但是我們要了解大學(xué)借助于離散的數(shù)列，以極限為思想研究函數(shù)的思想方法，建議學(xué)生對(duì)讀讀教材后面的閱讀題，了解高中與大學(xué)的銜接內(nèi)容。

生3 既然數(shù)列也是函數(shù)，而且我們知道函數(shù)具有凸凹性質(zhì)，這道題還可以借助于函數(shù)的凸凹性處理，而且比生2的解答過(guò)程還簡(jiǎn)單.

教師 請(qǐng)你展示你的解答過(guò)程！

生3 考察函數(shù)f（x）=x3x（x>0），f′（x）=1-xln33x，f″（x）=ln33x（ln3·x-2）③，令f″（x）=0，則x=2ln3，且2ln3∈（1，2）由③式的單調(diào)性當(dāng)x>2ln3時(shí)，原函數(shù)為下凸函數(shù)，即有f（p+q2）p+q2及f（x）=x3x（x>0）為單調(diào)遞減函數(shù)，有f（q）

小結(jié)2：生3的解法是運(yùn)用函數(shù)的凸凹性以及適當(dāng)?shù)姆剿椒ㄇ擅畹亟鉀Q問(wèn)題，這無(wú)疑說(shuō)明對(duì)知識(shí)的深度理解和知識(shí)對(duì)問(wèn)題發(fā)生碰撞時(shí)產(chǎn)生是數(shù)學(xué)模型。學(xué)生的思維不斷在數(shù)學(xué)思想和嚴(yán)密的理論推理中爆發(fā)、爆破，從而構(gòu)建出一個(gè)又一個(gè)的解題模型，使學(xué)生的思維與思維不斷碰觸火花，

從上面的一堂課，筆者深深地感受到對(duì)于一堂高三復(fù)習(xí)課高效與否不外乎做到兩點(diǎn)，首先以題帶動(dòng)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)題目的本質(zhì)聯(lián)想到不同的知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)環(huán)環(huán)相扣地解決問(wèn)題，其次要深度鍛煉學(xué)生的思維，從題目的背景中不斷爆發(fā)出有效的解題思維聯(lián)想，從而愉悅地解題，在平常的復(fù)習(xí)當(dāng)中我們要做到以下幾點(diǎn)：

1. 激起學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。由于學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的多樣化，在課堂上主要是以學(xué)習(xí)障礙點(diǎn)燃學(xué)生的探究欲望，行為主義學(xué)習(xí)理論家在解釋行為或?qū)W習(xí)產(chǎn)生的原因是，總是與刺激、懲罰、強(qiáng)化、接近、示范等概念相聯(lián)系，所以在課堂上教師要退一步，要作為最為學(xué)生的指導(dǎo)者，遇到問(wèn)題要從數(shù)學(xué)的本質(zhì)、數(shù)學(xué)的原理對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，讓學(xué)生的思維通過(guò)自己爆破——教師的點(diǎn)燃思維的“導(dǎo)火索”——學(xué)生自爆的過(guò)程，讓學(xué)生內(nèi)化知識(shí)，不斷提高解題能力。

2. 培養(yǎng)學(xué)生找到解題的突破口，筆者認(rèn)為探索解題的過(guò)程與通過(guò)答案看懂解題過(guò)程是截然不同的，或者說(shuō)是兩個(gè)相反的過(guò)程，當(dāng)我們看解答的時(shí)候，參考答案提供的捷徑解法，在思維的岔路口沒(méi)有選擇解題方向的思考，在自己獨(dú)立解題的時(shí)候往往很迷茫，這是最差的一種學(xué)習(xí)方式，像是把龍蝦騙進(jìn)蝦籠，而自己探索的過(guò)程像是龍蝦從蝦籠里鉆出，難度很大，但是通過(guò)不斷地摸索找到出籠的突破口，所有問(wèn)題迎刃而解，所以在課堂上要充分留給學(xué)生對(duì)問(wèn)題思考的時(shí)間，讓學(xué)生在問(wèn)題的關(guān)鍵處能對(duì)問(wèn)題自我爆破，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。

參考文獻(xiàn)：

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[2]一道世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽試題的命制及其研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（4）.

作者簡(jiǎn)介：袁新忠，江蘇省徐州市，新沂市第一中學(xué)。