從一道題看絕對值符號的處理思路探析

陳傳春

摘要：含絕對值的問題，是高中數學試題中一類非常典型的試題，其處理的核心是圍繞如何巧處理絕對值這個符號.本文以一道含絕對值的高考模擬試題為例，探析絕對值問題的處理思路和方法.

關鍵詞：高中數學； 絕對值； 思路探析

題目函數f1（x）=ex-2a+1，f2（x）=ex-a+1，若x∈a，+∞時，f2（x）≥f1（x），求a的取值范圍.

分析由題意f2（x）≥f1（x）對任意x∈a，+∞恒成立，ex-a+1≥ex-2a+1，借助指數函數的y=ex單調性，即x-a+1≥x-2a+1對任意x∈a，+∞恒成立.

關鍵：如何認識和處理上式中的絕對值符號

思路1考慮絕對值的意義

解法1所謂代數意義就是a=a，a≥0-a，a<0 ，于是有了下面的解法：因為x∈[a，+∞），所以x-a=x-a，所以原不等式轉化為x-2a+1≤x-a+1，去掉這個x-2a+1絕對值，應考慮2a-1與a的大小，所以令2a-1=a得到a=1，所以

①當a≥1時，此時a≤2a-1，

（i）， a≤x≤2a-1時，x-a+1≥x-2a+1.即為3a-2≤2x∈2a，4a-2，所以3a-2≤2a，所以a≤2，所以1≤a≤2.

（ii）， x≥2a-1時，x-a+1≥x-2a+1.即為-a≤0恒成立.

綜合（i），（ii）可得1≤a≤2.

②當a<1時，此時a>2a-1，x-a+1≥x-2a+1.即為-a≤0，即a≥0，所以0≤a<1.

綜上所述，a的取值范圍是0，2

解法2幾何意義，所謂幾何意義就是a-b表示數軸上坐標為a，b的兩點之間的距離，于是有了下面的解法：x-a+1≥x-2a+1可轉化為x-2a+1-x-a≤1，x-2a+1-x-a表示數軸上坐標為x的點到坐標分別為2a-1和a的兩點距離之差，無論2a-1和a的大小如何，x-2a+1-x-a∈-a-1，a-1，x-2a+1-x-a≤1成立只需a-1≤1成立，解得a的取值范圍是0，2.

思路2考慮平方去絕對值

解法3優先部分考慮絕對值的意義.原不等式轉化為x-2a+1≤x-a+1，因為x∈a，+∞，不等式的左右兩側都是非負的，可以對不等式平方，整理后得到2ax≥3a2-2a※，①當a>0，※可轉化為3a-2≤2x∈2a，+∞，所以3a-2≤2a，得到0

綜合①②③可知a的取值范圍是0，2.

值得注意的是：平方要注意不等式兩側非負.

思路3考慮絕對值的等價轉化

解法4形如f（x）≤g（x）可轉化為-g（x）≤f（x）≤g（x）；形如f（x）≥g（x）可轉化f（x）≥g（x）或者f（x）≤-g（x）.于是有了下面的解法：在優先部分考慮絕對值的意義時，原不等式轉化為x-2a+1≤x-a+1，利用等價轉化進一步轉化為：

a-x-1≤x-2a+1≤x-a+1.所以3a-2≤2x-a≤0 對任意x∈a，+∞恒成立，所以3a-2≤2aa≥0 解的a的取值范圍是0，2.

思路4考慮絕對值進行放縮

解法5對于任意實數a，b都有a-b≤a±b≤a+b，于是有了下面的解法.對于x-2a+1-x-a≤1，x-2a+1-x-a≤x-2a+1-（x-a）=a-1.

所以只需a-1≤1成立，解得a的取值范圍是0，2.

總之，從以上問題可以看出，絕對值的問題無外乎上面幾種常見處理思路，平常遇到絕對值的問題，這當中涉及的主要數學思想和方法有：分類討論，轉化與化歸，數形結合，分離參數等，自己要多加體會不同的思路和注意點，才能理解這幾種思路的內涵和本質.為有效解決絕對值問題提供廣闊的空間.

參考文獻：

[1] 張文海 一類絕對值函數最值的解題思路研究[J].中學數學教學參考，2016（15）：31.

[2]溫浩然 含兩個及以上絕對值不等式的數軸解法[J].中學數學教學參考 ，2015（27）：41.