高中數學教學中直觀想象素養培養策略研究

張濡川

【摘要】隨著課程改革的不斷推進以及“核心素養體系”概念的提出，如何在實際教學中培養學生的核心素養也成為目前熱議的問題.本文主要針對高中數學六大核心素養中的直觀想象素養進行深入研究.在實際的數學結論教學活動中，重視學生直觀想象素養的培養，有利于學生理解和掌握概念、定理、公式等數學結論，有利于提高學生的數形結合能力，同時也有利于培養學生空間想象能力以及對圖形感知力.

【關鍵詞】直觀想象素養；高中結論教學；培養策略

所謂“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程.近幾年來，有關高中生直觀想象素養培養方面的研究有很多，但很少有人在數學結論教學方面做深入的研究，本文則著重研究在實際的數學結論教學活動中，如何培養學生的直觀想象素養.通過對文獻的梳理以及實際教學經驗的總結，主要概括為以下幾點.

一、要聯系生活實際，重視幾何模型的制作與應用

在人教版高中數學教材中，立體幾何初步這部分的內容與幾何模型的制作與應用有著密切聯系.這部分課程內容主要安排在必修2和選修2-1.[1]教師在講解立體幾何初步這部分內容時，可以先引導學生對現實實物進行觀察，然后在制作的過程中思考一些重要問題，比如，要制作的這個幾何模型由幾個面組成？每個面都是什么形狀？這些面能否在一張紙上剪裁出來？等等，一連串的基于幾何直觀分析的思考過程.通過模型的制作，學生可以發現空間幾何體的一些本質特征，同時可以感知點、線、面之間的位置以及長度關系，這將為學生之后學習空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系及相關的判定定理、性質打下一定的基礎.同時幾何模型的應用也不容忽視.

例1 已知1張平面可以把空間分為2部分，2張平面最多可以把空間分為4部分，由空間直角坐標系可知，3張平面最多可以把空間分為8部分，那么4張平面最多可以把空間分為多少部分呢？

分析 教師可以先讓學生通過畫圖來分析，在二維空間中3條直線將平面最多分為幾部分時直線要滿足的條件（如圖1所示），得出“任意兩條直線相交；三條直線不共點”.即可以得出當3條直線圍成一個三角形時，這3條直線就可以將平面分成最多部分，共7個部分.圍成的三角形的內部是1個平面，與三角形共1線、1點的三個部分是三個平面.接下來引導學生分析在三維空間中4個平面將空間分成最多部分時需滿足的條件.類比之前的推理可以得出，任意的兩個平面都相交，并且任意三個平面都不共線，并且交線不平行時可將空間分成最多部分，即分析空間中四面體的四個面分隔空間的情況.

二、要結合幾何直觀圖形加強對數學結論幾何意義的理解

近幾年來，在教材的處理上越來越重視概念、公式以及定理的數與形的雙重特征.[2]但由于某些因素，教材中并沒有深入地分析其幾何意義.教師在講解時如果不進一步介紹，容易導致學生過度的重視語言和符號表示，難以體會到知識的本質.在解一些復雜的數學問題時，學生知道自己的解題方法比借助幾何直觀與想象復雜，但仍然堅持用原有的解題方法.原因就在于學生對一些數學結論的幾何意義以及數學結論間的幾何關系理解不夠透徹，難以找到解題方法的突破點.這就要求教師在教學過程中注重幾何意義的講解，運用直觀圖形來幫助學生加深對數學結論的理解.

例2 向量a、向量b的數量積a·b=|a||b|cosθ，幾何意義為a的長度與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積，即圖2中|OA|與|OB′|的乘積.

把數量積通過圖形直觀的展示出來，這樣數量積的幾何意義就十分清晰了.將代數式的抽象性與具有幾何意義的直觀圖形緊密結合起來，有助于學生對數量積概念的理解.[3]

三、要注重對數學結論直觀背景的分析

教師在數學結論及其證明的教學中，不僅要對給出的背景材料進行分析，而且應盡可能地畫出相關的幾何直觀圖形，并根據圖形闡述清楚證明的思路，引導學生領會證明方法的幾何思想，進而對結論進行證明.如果課堂中沒有設置這樣的直觀背景上的分析過程，大部分學生恐怕只能盡量跟著教師去理解每一步的形式化推導，無法去了解整個證明的直觀思路，一旦讓他們自己進行推導證明，就又不會了.其次，在數學教學過程中，教師要讓學生用自然語言表達對數學結論的直觀感受，引導學生使用自然語言對數學結論的發現和形成過程進行表述，對數學結論形成正確的理解與認識.[4]

例3 在學習等差數列的前n項和時，較為普遍的引入方法則是結合高斯求解1+2+3+…+n=12n（n+1）的過程化證明方法.此時可以利用教材在數列概念中涉及的三角形數，結合數形理論的直觀化背景素材，讓學生感受公式的具體直觀化證明.

圖3

這時，根據圖3所示，教師可以在三角形數旁邊補上一個倒立的三角形數，然后引導學生進行談論分析，闡述直觀求解1+2+3+…+n=12n（n+1）的思路.

【參考文獻】

[1]武潔，劉宇航，高智中等.試論幾何直觀在數學中的應用[J].科技信息，2010（8）：498-499.

[2]劉曉玫.對“幾何直觀”及其培養的認識與分析[J].中國數學教育，2012（1）：23-25.

[3]黃阿拈.例談在高中教學中培養學生的幾何直觀能力[J].數學教育與研究，2015（24）：62.

[4]苑建廣.對幾何直觀教學的思考[J].中國數學教育，2014（5）：35-41.