數(shù)學(xué)化活動(dòng)：培育學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)”

謝紅

摘 要：“準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)”是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要確證與表征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引領(lǐng)學(xué)生展開數(shù)學(xué)化活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的關(guān)系思維，引發(fā)學(xué)生的符號(hào)思考，積淀學(xué)生的代數(shù)思想，從而精準(zhǔn)把握算術(shù)思維、準(zhǔn)變量思維與代數(shù)思維之間的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)活動(dòng)；準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)

眾所周知，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是“算術(shù)”，初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是“代數(shù)”。“算術(shù)”側(cè)重于對(duì)“數(shù)”和“數(shù)量”的理解，而代數(shù)則側(cè)重于對(duì)“符號(hào)”和“關(guān)系”的理解。從這個(gè)層面上說，“算術(shù)”主要依賴于程序思維，著重利用數(shù)、數(shù)量計(jì)算求出答案；而“代數(shù)”主要依賴于關(guān)系思維，著重于發(fā)現(xiàn)關(guān)系和結(jié)構(gòu)。因此，“算術(shù)”和“代數(shù)”天然地存在著鴻溝。如何引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“算術(shù)思維”到“代數(shù)思維”的過渡，幫助學(xué)生做好知識(shí)和思維的準(zhǔn)備？筆者認(rèn)為，可以借助數(shù)學(xué)活動(dòng)，培育學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)”。

一、數(shù)學(xué)化活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的“關(guān)系思維”

從對(duì)“數(shù)”“數(shù)量”本身的思考過渡到對(duì)“數(shù)與數(shù)”“數(shù)量與數(shù)量”之間關(guān)系的思考，是學(xué)生“準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)”生成的重要標(biāo)識(shí)。數(shù)學(xué)活動(dòng)能夠讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從對(duì)“數(shù)”“數(shù)量”的關(guān)注到對(duì)“數(shù)與數(shù)”“數(shù)量與數(shù)量”之間的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化。脫離了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生的關(guān)系思維就容易蛻變成一種機(jī)械模仿，學(xué)生遇到復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系就會(huì)手忙腳亂甚至手足無措。通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生能夠積淀經(jīng)驗(yàn)，形成對(duì)“關(guān)系”的深度思考。

例如對(duì)于這樣一道文字題——“比一個(gè)數(shù)的3倍少3是156，這個(gè)數(shù)是多少？”不少學(xué)生依據(jù)固有的解題經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用“算術(shù)方法”，看到了“少”字就毫不猶豫地用上了“減法”，列式為“（156-3）÷3=51”，結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤。顯然，學(xué)生沒有展開數(shù)學(xué)化活動(dòng)，而是基于自己對(duì)算式的感性直覺，結(jié)果發(fā)生了錯(cuò)誤。如何讓學(xué)生體驗(yàn)到算術(shù)思維和代數(shù)思維的差異？筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)化活動(dòng)。從算術(shù)角度來說，要求學(xué)生畫出線段圖，在畫的過程中，理解“1份數(shù)、3份數(shù)和156”。指導(dǎo)學(xué)生先畫出線段表示“1份數(shù)”，再畫出線段表示“3份數(shù)”，然后畫出線段表示“156”。只有通過畫線段圖的實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生才能夠理解它們之間的復(fù)雜關(guān)系。從代數(shù)角度說，要求學(xué)生擺正已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系，讓未知數(shù)量和已知數(shù)量具有平等的地位，重點(diǎn)是讓學(xué)生建立數(shù)量之間的相等關(guān)系，然后列方程求解。通過數(shù)學(xué)化活動(dòng)，學(xué)生對(duì)于算術(shù)和方程之間的差異形成明晰的認(rèn)知，比如算術(shù)解法講究因果關(guān)系、邏輯推理、逆推求解；而代數(shù)解法從關(guān)系、結(jié)構(gòu)入手，步驟較多，過程冗長(zhǎng)，順向求解。通過數(shù)學(xué)化活動(dòng)，學(xué)生鍛煉了關(guān)系思維，形成了代數(shù)求解經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了“準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)”！

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要豐富學(xué)生的符號(hào)表象，孕育學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，催生學(xué)生的符號(hào)想象，啟迪學(xué)生的符號(hào)思維。通過數(shù)學(xué)化活動(dòng)，逐步引導(dǎo)學(xué)生從“算術(shù)思維”向“代數(shù)思維”過渡。小學(xué)的數(shù)學(xué)化活動(dòng)，要立足于既能讓學(xué)生用“算術(shù)的眼光”思考問題、用“算術(shù)的方法”解決問題，又能讓學(xué)生用“代數(shù)的眼光”看待關(guān)系、用“代數(shù)的思想”處理數(shù)量。學(xué)生便能逐步建立關(guān)于條件和問題的基本數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)，從中學(xué)生能夠體會(huì)到代數(shù)思想解決問題的必要性、重要性。

二、數(shù)學(xué)化活動(dòng)，引發(fā)學(xué)生的“符號(hào)思考”

學(xué)生形成“準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)”，不僅僅表征在對(duì)關(guān)系的理解和建立上，更表征在能用符號(hào)展開數(shù)學(xué)思考。“符號(hào)思考”能力不同于“符號(hào)感”，“符號(hào)感”是朦朧的、感性化的，而“符號(hào)思維”則是清晰的、理性化的。在小學(xué)階段，學(xué)生的符號(hào)思維主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是“理解并會(huì)運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”；二是“用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理”。教學(xué)中，教師要通過數(shù)學(xué)化活動(dòng)讓學(xué)生感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟到符號(hào)的特質(zhì)，即符號(hào)具有簡(jiǎn)約性、抽象性、統(tǒng)一性。

例如，教學(xué)蘇教版五年級(jí)下冊(cè)《簡(jiǎn)易方程》，學(xué)生遇到這樣的問題：地球表面積為5.1億平方千米，海洋面積為陸地面積的2.4倍，海洋和陸地面積分別是多少？在“自主性探學(xué)”“合作性研學(xué)”過程中，有小組出現(xiàn)了這樣幾種解決問題的方法：一是算術(shù)解法，即將陸地面積作為1份數(shù)，海洋面積就是2.4份數(shù)，地球表面積就是3.4份數(shù)，然后學(xué)生根據(jù)對(duì)應(yīng)份數(shù)求解；第二是方程解法，有學(xué)生設(shè)海洋面積為x，陸地面積就是x÷2.4，但列出方程后無法求解；第三也是方程解法，設(shè)陸地面積為x，海洋面積就是2.4x，學(xué)生列方程后順利求解。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生比較兩種未知數(shù)的設(shè)法，啟發(fā)學(xué)生的符號(hào)思維：為什么有些方程會(huì)解，有些方程不會(huì)解呢？用字母設(shè)未知數(shù)列方程有怎樣的注意事項(xiàng)呢？正是在數(shù)學(xué)化的活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)用符號(hào)列方程進(jìn)行分析、提煉，建立起列方程解決問題的一般數(shù)學(xué)模型，由此提升學(xué)生的代數(shù)思想、代數(shù)素養(yǎng)。

又如教學(xué)《用計(jì)算器計(jì)算》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)）時(shí)，學(xué)生遇到了這樣的一道習(xí)題：小明的計(jì)算器上的一個(gè)數(shù)字鍵5壞了，你還能用小明的計(jì)算器解決下面的這些計(jì)算題嗎？學(xué)生在學(xué)習(xí)中展開了豐富多彩的探究，最后學(xué)生抽象概括，深化了理性認(rèn)識(shí)。于是，有學(xué)生用圖形概括，如“☆-△”=（☆+○）-（△+○）或“☆-△=（☆-○）-（△-○），也有學(xué)生用符號(hào)進(jìn)行概括，如“a-b=（a+c）-（b+c）”或“a-b=（a-c）-（b-c）”。符號(hào)化的表達(dá)，培養(yǎng)了學(xué)生初步的關(guān)系思維、結(jié)構(gòu)意識(shí)。

“代數(shù)”不同于“算術(shù)”的一個(gè)顯性特征就是符號(hào)。學(xué)生從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維，其中最為顯性的表征就是學(xué)生符號(hào)意識(shí)的生成、符號(hào)思維的發(fā)展。教學(xué)中，教師應(yīng)找準(zhǔn)數(shù)學(xué)符號(hào)的生發(fā)點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)和生成點(diǎn)，激發(fā)、催生學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、符號(hào)思維，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用符號(hào)、解釋符號(hào)、創(chuàng)造符號(hào)，并且引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)符號(hào)之間的相互轉(zhuǎn)換。

三、數(shù)學(xué)化活動(dòng)，積淀學(xué)生的“代數(shù)思想”

法國(guó)著名思想家、數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)這樣說，“任何問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，任何數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，任何代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為方程問題”。可見，方程、代數(shù)不僅僅是數(shù)學(xué)問題解決的方法、策略，更是數(shù)學(xué)的思想、觀念。有了代數(shù)思想，學(xué)生就能將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)約化，就能將感性的思考理性化，就能將具體的形象抽象化等。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)符號(hào)化的過程。例如，四年級(jí)有這樣一道探索規(guī)律的習(xí)題：用火柴棒擺一個(gè)三角形需要3根，擺兩個(gè)三角形需要5根……擺10個(gè)三角形需要多少根？99根火柴棒能夠擺成幾個(gè)三角形？教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生“以小見大”找規(guī)律，從簡(jiǎn)單的情形開始探索。1個(gè)三角形是3根火柴棒；2個(gè)三角形是5根火柴棒；3個(gè)三角形是7根火柴棒；……有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，每增加一個(gè)三角形，就增加了2根火柴棒，10個(gè)三角形就比1個(gè)三角形多2×9等于18根火柴棒，一共是21根火柴棒；有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，火柴棒的根數(shù)是三角形個(gè)數(shù)的2倍多1根；……在學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用字母表示規(guī)律，幫助學(xué)生建構(gòu)模型：S=2n+1。有了這樣的模型，學(xué)生就能快捷地解決問題，如擺100個(gè)三角形需要201根火柴棒，99根火柴棒能夠擺成49個(gè)三角形。不僅如此，學(xué)生在經(jīng)歷了符號(hào)化的規(guī)律探尋后還能夠展開類比推理，比如擺1個(gè)正方形需要4根火柴棒，擺2個(gè)正方形需要7根火柴棒，……擺n個(gè)正方形需要3n+1根火柴棒。可見，學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)不是通過傳授培養(yǎng)的，而是學(xué)生在能動(dòng)地“悟”與“用”的過程中逐步形成的。同樣的問題，不同的學(xué)生，其分析就會(huì)不同，其概括也會(huì)不同，但都是學(xué)生真實(shí)思考過程的展現(xiàn)，都可以看成是學(xué)生“代數(shù)思維的萌芽”。

又如，教學(xué)《用字母表示數(shù)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)），學(xué)生用小棒擺三角形，從1個(gè)三角形需要3根小棒，2個(gè)三角形需要2×3根小棒，3個(gè)三角形需要3×3根小棒……怎樣用一道算式表示三角形的個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系呢？通過數(shù)學(xué)化的擺三角形活動(dòng)激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造符號(hào)的心理需求。學(xué)生自主創(chuàng)造符號(hào)表示三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)的關(guān)系。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生理解了符號(hào)不僅可以表示確定的數(shù)量，也可以表示變化的數(shù)量；不僅可以表示未知的數(shù)量，而且可以表示已知的數(shù)量。在這個(gè)過程中，學(xué)生自然能夠感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)符號(hào)的力量。

學(xué)生數(shù)學(xué)“準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)”的形成是一個(gè)循序漸進(jìn)、潛移默化的過程，同時(shí)，也不是一蹴而就的，而是一個(gè)系統(tǒng)的工程。教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生展開符號(hào)化活動(dòng)，讓學(xué)生運(yùn)用“代數(shù)的耳朵”與“代數(shù)的眼睛”來思考算術(shù)及其問題，挖掘其中萌芽的“代數(shù)的種子”，既展現(xiàn)“算術(shù)程序或步驟”，也呈現(xiàn)“代數(shù)關(guān)系或結(jié)構(gòu)”，進(jìn)而精準(zhǔn)地把握算術(shù)思維、準(zhǔn)變量思維與代數(shù)思維之間的動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)。