三角函數最值問題的思考

陳璐瑜

摘 要：三角函數在數學學習中占據重要的比重，其學習質量的好壞與數學學習成績密切相關。由于三角函數的知識內容較為豐富，其理論性、邏輯性、應用性較強，因此這一塊是教師與學生公認的學習重點與難點。基于此，本文在總結學習經驗的基礎上，以三角函數最值問題為研究對象，提出了幾點求解三角函數最值問題的辦法，以供參考。

關鍵詞：三角函數；最值問題；解題方法

引言

從教材教學內容與高考考試內容分析可知，三角函數的最值問題在高中數學學習中占據重要地位，掌握三角函數最值問題的解題方法對提升數學學習成績具有重要的現實意義。從典型三角函數最值問題可知，三角函數最值問題側重于生活實踐問題的考察，包括生產利潤最大化、區域距離最佳化、投入成本最小化等，同時三角函數最值問題的有效解決與三角函數概念、性質、公式、圖像規律以及各類型三角函數之間關系的準確掌握與應用存在密切關聯性。因此，研究三角函數最值問題，不僅有利于強化對三角函數基礎知識的掌握，也有利于提升三角函數知識的應用能力，實現數學這一科目的學習價值。

一、有效求解三角函數最值問題的前提——扎實基礎知識

由三角函數最值問題的習題練習與數學試題考核可知，三角函數最值問題的有效解決，離不開三角函數基礎知識的有效掌握與準確應用。因此，在日常學習中應注重基礎知識的扎實掌握。在此過程中，建議從以下幾方面入手，進行基礎知識，包括三角函數定義、三角函數基本性質（如正弦函數性質、函數最值點、函數奇偶性、對稱性、圖像規律等）、三角函數公式（如余弦與正切公式、半角公式、兩角和公式、倍角公式）以及各類型函數之間的強化記憶、掌握與應用[1]。

首先，認知自主學習的重要性，樹立自主學習意識。只有主動參與到數學教學活動中，感知數學學習樂趣并養成良好的數學學習習慣才能實現學習效率的提升。在此過程中，建議通過參加數學學習興趣小組或做具有趣味性的三角函數最值問題習題，進行自身數學學習興趣的培養與提升。

其次，以課本為基礎進行課堂知識的有效預習與復習。例如，通過課前預習，將課本中存在疑問的知識進行標記，通過網上查詢或課堂聽講與討論，找到問題的答案，強化對課本知識的深化理解；在課后復習過程中，針對自身課堂學習情況，結合教學重點、難點等知識進行有針對性的復習與練習，實現知識的進一步內化。與此同時，可根據自身情況，適當的應用小技巧進行三角函數最值問題及其相關知識的學習。例如，利用“便利貼”進行三角函數基礎知識的反復記憶；利用“筆記”對日常學習中遇到的重點題型、具有代表性的典型體系以及日常考試出現錯誤的習題進行記錄，通過反復理解與再次解答，提升解題能力；利用“思維導圖”法，對所學基礎知識進行連接，構建屬于自己的思維導圖，強化知識的理解與記憶。

此外，注重課堂學習效率，強化課外訓練。以認真、負責、仔細的態度對待課堂教學，緊跟教師教學進度并積極參與到課堂討論中，可取得事半功倍的學習效果。同時，針對自身三角函數最值問題解題中存在的問題進行反復訓練，制定適宜自己的學習計劃，從而改善自身解題中存在的不足。

二、有效求解三角函數最值問題的策略——靈活應用解題方法

（一）形如y=asinx+b或y=acosx+b（a不等于0）三角函數最值問題的解題策略

在求解y=asinx+b或y=acosx+b（a不等于0）三角函數最值問題時，通常可根據三角函數有界性特征，進行轉換[2]。如將y=asinx+b轉換為sinx=y-b/a的形式，根據|sinx| 1，得出b-|a|≦b+|a|的結論，最終求解“y=asinx+b”三角函數的最大值為b+|a|，最小值為b-|a|。

（二）形如y=asnix+bcosx+c三角函數最值問題的解題策略

在求解y=asnix+b cosx+c三角函數最值問題時，通常可根據三角函數輔助角公式“asnix+bcosx= sin（x+e）”（e表示輔助角）將三角函數進行處理，轉化為同名函數，即y=a sni（x+e）+b的形式，本根據正弦三角函數的有界性|sni（x+e）| 1或三角函數自變量單調性特征進行求解。

例如，已知y=a snix+b cosx+3，x∈[- ， ]的最大值與最小值。

解：y=a snix+b cosx+3= （ sinx+ cosx）+3= sin（x+ ）+3

由- ≦ x≦ 可知 ≦ ≦

根據正弦函數在[0， ]的單調性可知，y=a snix+b cosx+3的最大值為 ，y=a snix+b cosx+3最小值為 。

（三）形如 或 分子與分母同名三角函數最值問題的求解

解題策略一：根據三角函數的有界性進行求解，即在求解 類型題時，將sinx用y進行表示，形成

的形式，根據|sinx|≦1進行解答三角函數最值問題。

解題策略二：同樣以 為例，利用三角函數倍角公式、萬能公式后或者是基本公式進行簡化處理，形成二次函數，解答三角函數最值問題。即將 轉換為

并在此基礎上，用分子分母同時除以cos2 x/2，得到 ，用t表示tanx/2將三角函數函數轉化為二次函數：y=（bt2+2at+b）/（dt2+2ct+d），整理后得出（dy-b）t2+（2cy-2a）t+dy-b=0，當dy-b不等于零時，則有y不等于b/d，所得一元二次方程有解，因此Δ=（2ct-2a）2-4（dy-b）2≧0，故（c2-d2）y2+2（bd-ac）y+a2-b2 0，從而得出三角函數最值[min（y1-y2），max（y1+y2）]。

三、結論

總而言之，掌握三角函數最值問題的解題策略對提高數學學習效率及成績具有重要的現實意義。三角函數最值問題涉及內容豐富，其解題的技巧性相對較高，要求學生具備較強的邏輯思維與發散性思維。因此，在日常學習中，應注重三角函數基礎知識的準確掌握，注重解題經驗的總結，善于針對問題進行聯想與多角度、多方向思考，從而提升自身的解題能力。

參考文獻：

[1]辛星.高中數學學習中函數最值的問題求解方法分析[J].科技風，2017（03）：266.

[2]凌廣燕.淺析三角函數最值在解題中的理論與實踐思考[J].科技風，2014（21）：183.

[3]張建祿.六種求三角函數最值的思維方法[J].科教導刊（上旬刊），2014（02）：185-186.