立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的思考

肖瞰臣

摘 要：將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何的解題方法是當(dāng)前較為常見的解題思路，然而在平常的解題過程中常常發(fā)生圖形轉(zhuǎn)換錯誤的現(xiàn)象。本文針對立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何問題展開研究，以期在日后的學(xué)習(xí)過程中深刻掌握轉(zhuǎn)化技巧，提升解題速度，增強數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：立體幾何；平面幾何；轉(zhuǎn)化

前言

學(xué)習(xí)高中立體幾何，要求學(xué)生有足夠的空間想象能力，而把已知條件中的空間幾何體轉(zhuǎn)化為平面幾何圖可以大大降低題目難度，因此，充分研究立體幾何問題如何轉(zhuǎn)化為平面幾何問題能夠加強立體幾何題型的解題能力，增強轉(zhuǎn)化思維在立體幾何中的應(yīng)用，于我們高中生而言具有積極意義。

一、立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的價值

平面圖形的解題相對來講較為簡單，而立體幾何問題具有空間思維特性，需要不斷的進(jìn)行空間想象才能解決問題。然而通過維度之間的轉(zhuǎn)換，將立體圖形轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫鎺缀螆D形能夠降低解題難度，讓我們能在較短的時間內(nèi)找到解題思路。圖形的轉(zhuǎn)換思想也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必須掌握的技能之一，將特殊問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐话銌栴}，提升解題效率[1]。與此同時，也能夠增強邏輯思維能力與轉(zhuǎn)換能力，在日后的學(xué)習(xí)過程中，針對難度系數(shù)較大的數(shù)學(xué)問題通過轉(zhuǎn)化思想簡化問題，進(jìn)而求得問題答案。

二、具體應(yīng)用

（一）轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用

1.簡述轉(zhuǎn)化思想

究其根本便是從一個問題轉(zhuǎn)化為另一個問題，主要精髓是化繁為簡、將抽象問題具象化，這樣能夠大大減少解題時間以及精力，同時能夠提升正確率。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，立體幾何問題學(xué)習(xí)起來較為困難，常表現(xiàn)為無法將其從三維空間圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形，存在降維上的障礙，無法做到空間圖形平面化，抽象問題具象化。在解題過程中缺乏連貫性，無法察覺其中聯(lián)系。

2.具體應(yīng)用

以平面角的大小，來解決直線與平面所成的角等空間角問題。

比如，直線之間所成的角、直線與平面之間所成的角以及平面與平面之間所成的角。在解決該類問題過程中合理利用轉(zhuǎn)化思想便能夠利用平面角代替空間角，再通過判定定理與相關(guān)性質(zhì)解決問題。異面角的定義如下：過空間任意一點引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）就是異面角。這種描述方式過于抽象，無法真正體會個中含義，必須用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言或圖形將其關(guān)系具體化，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)量進(jìn)行刻畫。也就是用平面角來刻畫兩異面直線的“交叉”程度，用平面距離來刻畫兩異面直線的“相離”程度。兩條直線所形成的角通常不會大于90度，一旦超過90度也就不滿足異面角的定義。因此在空間上認(rèn)為異面直線的平行線所形成的角在90度以內(nèi)便是異面角。在計算時通過將異面直線進(jìn)行平移，進(jìn)而求得問題答案。

例如：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8。求異面直線B1C與A1C1所成角的大小，見圖1。

將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，連接AC，因為該幾何體為正四棱柱，所以AC與A1C1平行，則B1C與A1C1的夾角可以轉(zhuǎn)化成B1C與AC的夾角，故∠B1CA為異面直線B1C與A1C1的夾角。AB=BC=4，得出AC= ，AA1=BB1=8，AB1= ，∠B1CA= ，通過轉(zhuǎn)換思想將空間角轉(zhuǎn)換為平面角實現(xiàn)問題求解。

（二）簡化圖形法將立體幾何圖形變?yōu)槠矫鎺缀螆D形

立體圖形問題中通常與平面圖形具有較大差異，因此在解題過程中建議先將其底面圖形展示出來，結(jié)合俯視方法尋找答案，借助斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。

例如，PO⊥平行四邊形ABCD，AC與BD相交于O，∠ADC為45度，AD=AC=1，PO等于2，M為PD中點，求得MA與平面ABCD所形成的角的正切值，見圖2。

根據(jù)已知條件，數(shù)量與位置關(guān)系都在底部圖形，所以只需要將底面圖形畫出來即可尋找到問題答案。作出MH⊥BD，見圖3。即可證明MH垂直于平面ABCD，且H為OD的中點，MH=OP/2=1。

根據(jù)ABCD可以看出，其為兩個等腰三角形合并而成，因此能夠輕易得出AO=1/2，∠DAO=90。，OD= ，∠MAH即為所求角。AH=OD/2= ，在直角三角形AHM中，tan∠MAH=MH/AH= 。

在此題中，還需靈活使用題干條件中的中位線、等腰三角形等條件。在關(guān)于線面平行的證明題中，通常都需要確定空間位置關(guān)系。當(dāng)平面圖形中有三角形中點時可以考慮構(gòu)造中位線，充分利用中位線的性質(zhì)定理，將中位線等于底邊一半的大小關(guān)系等性質(zhì)融入解題過程中，進(jìn)而將空間圖形轉(zhuǎn)換為平面圖形[2]。

（三）其它應(yīng)用

除上述兩種方法外，還有如下轉(zhuǎn)換方法：

一是空間角的平面化，主要是指異面直線所形成的角、直線與平面所成的角以及平面之間所成的角。將空間角轉(zhuǎn)化為平面角時要根據(jù)已知理論與判定將之間聯(lián)系清晰展現(xiàn)，根據(jù)概念畫出有關(guān)的空間角，再轉(zhuǎn)化為平面角進(jìn)行解決。

二是空間距離平面化，立體幾何中的距離問題通常都是兩點之間的距離，將空間距離平面化便是其理論依據(jù)。求直線的距離可以轉(zhuǎn)換為求其公垂線長度，或直線平行于平面間的距離，或者求兩個平面之間的距離。都能夠?qū)⒖臻g距離平面化，進(jìn)而求得兩點之間的距離。

三是三垂線方法，平面的斜線與該平面內(nèi)的直線是否垂直通常都是空間問題，而通過三垂線方法能夠?qū)⒖臻g問題轉(zhuǎn)化為平面問題，根據(jù)該斜線的垂直情況來判定其是否具有相關(guān)性質(zhì)，因此在空間幾何與平面幾何問題中，通過互相轉(zhuǎn)化能夠輕易得出問題的答案。

例如，已知兩條異面直線a，b形成夾角θ，公垂線段長度為d，在a，b直線上分別取點E、F，設(shè)A1E為m，AF為n，求EF，見圖4。

此題可以看出主要求得兩條異面直線上的點之間距離，因條件比較分散且繁雜，因此需要將其轉(zhuǎn)化為平面幾何問題。根據(jù)異面角定義，作出a的平行線將a，b移動至同一平面內(nèi)進(jìn)行解答，經(jīng)過條件的轉(zhuǎn)移，將相對分散的已知條件集中解決，使得空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。

與此同時，在日常學(xué)習(xí)中，應(yīng)深入研究課本中的知識，挖掘空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的新型解題思路，將遇到的典型題型進(jìn)行總結(jié)，升華解題技巧。

結(jié)論

綜上所述，立體幾何問題在轉(zhuǎn)換為平面幾何問題的過程中，需要將空間思維平面化，同時充分利用平行、垂直等位置關(guān)系將立體圖形轉(zhuǎn)換為平面圖形。同時，盡可能簡化立體圖形，根據(jù)問題中的題設(shè)將分散的已知條件集中起來，將抽象問題具象化，提升立體幾何問題的解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張梅花.立體幾何圖形教學(xué)三步曲[J].教育，2015（04）：62.

[2]邵文武.立體幾何問題解決中的轉(zhuǎn)化方法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2014（05）：34-35.