教學(xué)改革在區(qū)間估計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用

薛珊 梁涵

摘要：將數(shù)學(xué)建模、HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育國際關(guān)系研究小組）視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)軟件等數(shù)學(xué)教學(xué)改革融合應(yīng)用到區(qū)間估計(jì)教學(xué)中，利用HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)方法引入?yún)^(qū)間估計(jì)概念，以最新科研論文為依據(jù)建立并解決數(shù)學(xué)建模問題，最后利用數(shù)學(xué)軟件求解置信區(qū)間。整個(gè)教學(xué)過程合理利用多媒體進(jìn)行，將教學(xué)的重點(diǎn)不但放在知識本身，更要放在學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)上。

關(guān)鍵詞：教學(xué)改革；區(qū)間估計(jì)；教學(xué)設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)建模

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）13-0134-03

一、引言

近年來，許多教育工作者對高校數(shù)學(xué)教育做了大量的研究[1-3]，得到了很多創(chuàng)新性的教學(xué)方法、教學(xué)手段。本文將這些成果融合應(yīng)用到區(qū)間估計(jì)教學(xué)中，體現(xiàn)了教學(xué)改革成果的實(shí)際應(yīng)用。首先本文運(yùn)用了多媒體與板書相結(jié)合的形式[4-6]，在多媒體中運(yùn)用了圖片、視頻、數(shù)學(xué)軟件等，從而提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)生運(yùn)用軟件解決問題的能力；其次運(yùn)用了HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)[7]，從學(xué)生的角度出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)史發(fā)展過程，使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)有了總體的把握；最后體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的改革，數(shù)學(xué)課本中的例題在情景設(shè)置上有些已經(jīng)落伍。本文對例題進(jìn)行了改編，加入了迪拜等時(shí)尚元素，使其更具有時(shí)代特征，另外利用應(yīng)用性極強(qiáng)的最新科研論文為原材料，從中抽取數(shù)學(xué)模型，以此作為例題，培養(yǎng)了學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力。

二、區(qū)間估計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)

1.利用HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)方法引入并給出區(qū)間估計(jì)概念。

（1）利用HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)方法引入?yún)^(qū)間估計(jì)概念。HPM是1972年第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上成立的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育國際關(guān)系研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of mathematics）的簡稱。HPM關(guān)注的內(nèi)容包括：數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、多元文化的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、數(shù)學(xué)史與發(fā)生教學(xué)法、數(shù)學(xué)史與學(xué)生學(xué)習(xí)的困難、數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)在教學(xué)中的應(yīng)用等。在HPM視角下，筆者把區(qū)間估計(jì)概念的介紹分為三部分：問題引入、介紹概念產(chǎn)生的歷史過程、介紹提出此概念的數(shù)學(xué)家及其故事，使學(xué)生能夠理解此概念產(chǎn)生的必然性，感知數(shù)學(xué)文化，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。具體安排如下：引例：統(tǒng)計(jì)全國中學(xué)生的平均身高，導(dǎo)出問題：點(diǎn)估計(jì)存在的缺陷：它的可信程度有多大、精確程度有多高點(diǎn)估計(jì)解決不了。通過問題引導(dǎo)學(xué)生找到解決方法——區(qū)間估計(jì)，而后介紹區(qū)間估計(jì)概念產(chǎn)生的歷史過程：在1934年，統(tǒng)計(jì)學(xué)家耶日·奈曼在皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會上做了個(gè)題目為“論代表性方法的兩個(gè)不同方面”的演講。論文的內(nèi)容是有關(guān)抽樣調(diào)查分析的，現(xiàn)在看來全文最重要的部分不是正文，而是在附錄里。奈曼在附錄里提出了一種非常直接的方法，創(chuàng)建了區(qū)間估計(jì)，并確定出得到的區(qū)間估計(jì)值的準(zhǔn)確性。奈曼把這種新的方法稱為“置信區(qū)間”，置信區(qū)間的兩端稱為“置信界限”。接著給學(xué)生介紹G·M·鮑利教授、費(fèi)歇爾等人對這篇論文的評價(jià)及反映出的一些故事，還有這篇論文中的優(yōu)缺點(diǎn)。歷史背景的介紹可以使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的生命力，感知數(shù)學(xué)文化。往往一提到數(shù)學(xué)，很多學(xué)生都感到很難、很枯燥，那是因?yàn)楹芏鄷r(shí)候數(shù)學(xué)教師只重視具體數(shù)學(xué)概念、定理的推導(dǎo)，數(shù)學(xué)計(jì)算技巧的講解，而忽略了問題產(chǎn)生的歷史背景，這就使學(xué)生無法把數(shù)學(xué)和實(shí)際生活聯(lián)系起來，感受不到數(shù)學(xué)的活力和生命力。最后介紹提出區(qū)間估計(jì)概念的數(shù)學(xué)家——奈曼及其故事，從數(shù)學(xué)家的故事中體會做人做事的道理。奈曼與學(xué)生丹茨格的經(jīng)典傳奇故事：一天，丹茨格因故遲到了，看到黑板上寫著兩道題目，以為是老師留的課外作業(yè)，就抄了下來。在做的過程中，丹茨格感到有點(diǎn)困難，最后用了好幾天時(shí)間才完成，為此他還特意向奈曼教授道歉。幾周后的一個(gè)周末清晨，丹茨格被一陣急促的敲門聲吵醒，奈曼教授一進(jìn)門就激動地說：“我剛為你的論文寫好一篇序言，你看一下，我要立即寄出去發(fā)表。”丹茨格過了好一陣子才明白奈曼教授的意思：原來那是兩道統(tǒng)計(jì)學(xué)中著名的未解決問題，他竟然當(dāng)成課外作業(yè)解決了！后來談到這件事時(shí)，丹茨格感慨道：如果自己預(yù)先知道這兩道是統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域中一直懸而未決的難題，根本就不會有信心和勇氣去思考，也不可能解決它們。從故事引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：一個(gè)人的潛能是難以預(yù)料的，成功的障礙往往來自于心理上的畏難情緒，因此一定要相信自己，保持積極的態(tài)度。除了介紹數(shù)學(xué)家外，還給學(xué)生推薦好的書籍。上課的時(shí)間是有限的，想讓學(xué)生接觸到更多的知識就需要給學(xué)生提供更多的信息。這節(jié)課給學(xué)生推薦書籍《奈曼——來自生活中的統(tǒng)計(jì)學(xué)家》，介紹歷史背景時(shí)結(jié)合PPT，找出相關(guān)資料圖和有關(guān)的視頻，發(fā)揮現(xiàn)代化教學(xué)手段的優(yōu)勢。

（2）置信度、置信區(qū)間概念的理解。在給出概念前，本課設(shè)計(jì)先用通俗的語言簡要介紹一下概念，使學(xué)生對概念有個(gè)初步的了解，而后再給出嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，這樣可以減小嚴(yán)密數(shù)學(xué)定義中大量數(shù)學(xué)符號對學(xué)生理解概念的困擾。通俗的敘述就是要找個(gè)區(qū)間，使這個(gè)區(qū)間包含真值的概率達(dá)到事先給定的一個(gè)概率值，那么這個(gè)概率值就是置信度，這個(gè)區(qū)間就是置信區(qū)間。

2.建立數(shù)學(xué)模型求解置信區(qū)間。

（1）正態(tài)總體均值置信區(qū)間公式的推導(dǎo)。數(shù)學(xué)很多定理的證明過程和題目的解題過程恰好是與思考分析的過程相反，如果只給學(xué)生講解證明或解題的過程，學(xué)生很難理解怎么會想到用這樣的方法證明或解題。所以筆者認(rèn)為教學(xué)的重點(diǎn)不但是要讓學(xué)生學(xué)懂、學(xué)會，更要讓學(xué)生知道為什么會這么想。為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，本節(jié)課對正態(tài)總體方差已知時(shí)均值的置信區(qū)間的求法做了如下設(shè)計(jì)。

問題：X～N（μ，σ2），σ2已知，求μ的置信度為1-α的置信區(qū)間。

分析：目標(biāo)是求一個(gè)隨機(jī)區(qū)間（，），使得

P{（X，X，…，X）<μ<（X，X，…，X）}=1-α.

令=-a，=+a，（改為求a，此時(shí)位于區(qū)間中點(diǎn)）

P{-a<μ<+a}=1-α（求a，將a移至一邊）

P{|-μ|

考慮統(tǒng)計(jì)量

U=～N（0，1）

所以令a=u，（求a，改為求u）則

P（

≤u）=1-α

P（U≤u）=1-α

由正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像，得P（U≤u）=1-

從而可以求得u，u求得，則a求得，則區(qū)間（，）求得，問題解決。

分析完后，引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)給出解題過程，從而培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力和逆向思維能力。

（2）建立數(shù)學(xué)模型求解置信區(qū)間。求出正態(tài)總體均值的置信區(qū)間后，需要把它應(yīng)用到實(shí)際問題中，讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用。而課本中的題目，由于編寫時(shí)間較早，有些已經(jīng)不太適合現(xiàn)代教學(xué)，為了和時(shí)代接軌，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，本節(jié)課兩道例題選擇改編、自編例題，進(jìn)行了適當(dāng)?shù)膭?chuàng)新。改編的題目如下。

例1：（觀看視頻30秒）假設(shè)采訪去迪拜旅游過的游客100名，平均消費(fèi)額為18000元，由實(shí)際意義可知去迪拜旅游的消費(fèi)額近似服從正態(tài)分布；假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差為2500，求去迪拜旅游平均消費(fèi)額的置信度為95%的置信區(qū)間。改編的例題結(jié)合現(xiàn)代化的教學(xué)手段——多媒體，讓學(xué)生觀看30秒的迪拜宣傳片，既使學(xué)生得到了片刻休息，拓寬了視野，又會吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)習(xí)的效率。

例2：給學(xué)生展示論文“化纖檢測標(biāo)準(zhǔn)中置信區(qū)間的應(yīng)用”[8]。該論文是2010年發(fā)表的，文中對如何在化纖檢測標(biāo)準(zhǔn)中應(yīng)用置信區(qū)間來提升紡織行業(yè)的檢測水平進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，引用置信區(qū)間這種方法可以提高檢測的科學(xué)性和合理性，能正確反映產(chǎn)品的性能，同時(shí)又能節(jié)約檢測成本。提取數(shù)學(xué)模型：有一批粘膠短纖維試樣，求其斷裂強(qiáng)力平均值的置信度為95%的置信區(qū)間，要求半寬值在斷裂強(qiáng)力均值觀測值的5%以內(nèi)，并且成本最小。按照GB/T14337-2008《化學(xué)纖維短纖維拉伸性能試驗(yàn)方法》檢測，試驗(yàn)次數(shù)，若置信區(qū)間半寬值超過標(biāo)準(zhǔn)，增加試驗(yàn)次數(shù)：m=（t）×s×（×5%）-n.

假設(shè)做了50次試驗(yàn)，求得斷裂強(qiáng)力：=3.82，

s=0.72

求解數(shù)學(xué)模型：根據(jù)正態(tài)總體均值置信區(qū)間求法，求出置信區(qū)間，檢驗(yàn)半寬值。若超出，增加試驗(yàn)次數(shù)，再求半寬值，直到半寬值符合標(biāo)準(zhǔn)；若沒有超出標(biāo)準(zhǔn)，則就是所要求的置信區(qū)間。

3.用Matlab軟件求解置信區(qū)間。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，多種軟件都能處理數(shù)學(xué)計(jì)算，比如Excel、Matlab、Mathematic、SPSS等。掌握好這些軟件，可以提高學(xué)習(xí)效率，提高計(jì)算的準(zhǔn)確性，避免數(shù)學(xué)計(jì)算的煩瑣麻煩。這對教師也是一種挑戰(zhàn)，教師必須不斷學(xué)習(xí)，把現(xiàn)代技術(shù)運(yùn)用到數(shù)學(xué)中來。

本節(jié)課以Matlab為例，介紹了用數(shù)學(xué)軟件求解置信區(qū)間的方法。

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