幾何教學中有效培養學生邏輯思維能力的一些思考和做法

薛肖峰

摘要：在初中數學教學過程中，平面幾何教學是一個非常重要的組成部分。在整個教學過程中，學生不僅要認識一些常見的幾何圖形，學會一些基本的幾何證明方法，同時還要提高自己的邏輯思維能力。本文將結合一些典型案例，從不同的角度、結合不同的要求，闡述在幾何教學中如何培養學生的邏輯思維能力。

關鍵詞：概念教學、幾何證明、邏輯思維

邏輯思維（Logical thinking），是人們在認識事物的過程中借助于概念、判斷、推理等思維形式能動地反映客觀現實的理性認識過程，又稱抽象思維。它是作為對認知者的思維及其結構以及起作用的規律的分析而產生和發展起來的。只有經過邏輯思維，人們對事物的認識才能達到對具體對象本質規定的把握，進而認識客觀世界。它是人的認識的高級階段，即理性認識階段。

同時在《上海市中小學數學課程標準》中明確指出，學生需要逐步形成邏輯推理能力，知道進行數學證明的重要性，掌握演繹推理的基本規則和方法；能正確而簡明地表述推理過程，合理解釋推理的正確性。懂得從數學的角度去思考問題，能有條理地、準確地闡述自己的思想和觀點。

這就要求我們初中階段的數學教師在教學過程中，不僅要重視基本知識和基本技能的教學，更加要注重培養學生們的邏輯思維能力，要引導學生樂于思維，善于思維，即學會如何思維、如何正確地思維、如何更好地思維，從而實現培養學生邏輯思維能力的目標。

下面我來談談我在幾何教學中，培養學生邏輯思維能力的思考和做法：

一、在概念發生和發展過程中培養學生的邏輯思維能力

初中學生學習幾何，是從最基本的幾何圖形和概念入手，學習一些簡單幾何圖形的性質和判定，從而培養邏輯思維能力。在這個過程中，學生會學到一些新的概念，新的概念的產生，一般也有一個邏輯鏈。對于這些概念的準確理解，是學生邏輯思維能力形成過程中最基本的環節，我認為只有邏輯關系清楚了，才能進行邏輯思維。為了培養學生發現問題解決問題的能力，提高他們的創新意識，我在平時的教學中特別重視一些基本概念的發生和發展的過程，重視概念和概念之間的關聯性、邏輯鏈，促進學生的理解。舉例說明如下：

舉例1： 在研究直線型圖形中，我們往往是從邊、角和對角線三個方面展開。在特殊的平行四邊形“矩形”的教學設計中，我用幾何畫板課件動態演示了一個平行四邊形是如何轉變成一個矩形的過程，由于“邊”上沒有變化，因此引導學生從“角”和“對角線”這兩個不同的角度去觀察平行四邊形到矩形的變化過程，從而總結出判定一個四邊形是矩形的不同的判定方法，讓學生知道平行四邊形和矩形之間的邏輯關系，以及判定方法。

舉例2：對于黃金三角形和比例中項的關系。我們知道，在比例中，如果兩個比例內項相等，那么這兩個比例內項叫做比例中項。而如果一條線段AB被點P分成長短不一的兩段（如AP>PB），其中當AP是AB和PB的比例中項時，那么，此時點P是線段AB的黃金分割點。如果一個等腰三角形的底邊和腰或腰和底邊之比是，那么我們把這樣的三角形稱之為“黃金三角形”，即所謂的“黃金三角形”就是腰長和底邊的長之間存在著比例中項的關系。而由五個全等的黃金三角形加上中間一個正五邊形，就組成五星紅旗中五角星的圖案，如圖所示。我通過這樣的教學設計，更加有助于學生對黃金分割這個概念的理解和掌握，從而能進一步進行邏輯思維。

二、在概念的辨析過程中培養學生的邏輯思維能力

我發現在幾何圖形中有一些基本概念很容易混淆，所以在這個時候更加需要把這些概念的內涵和外延講清楚，通過辨析讓學生更加準確地掌握各個概念的基本內容，有利于對這些概念的靈活使用。為了達到這個目的，當出現一些和以前學過的概念相類似的概念教學的時候，我會把這些類似的概念放在一起復習講解，加強學生對于這些基本概念的理解和掌握，正確理解它們之間的邏輯關系，從而培養他們的邏輯思維能力。

舉例3：當學生學到三角形的中位線的這個課時的時候，我會把三角形的中線、三角形邊的中垂線和三角形的中位線這三條線的概念進行梳理，讓學生分析他們的異同點，加強學生對概念的理解。如圖所示：三角形的中線指的是三角形的一個頂點及其對邊中點的連線，三角形的中位線指的是三角形兩邊中點的連線，三角形一邊的中垂線僅僅指的是線段的中垂線，且它是一條直線，這些中垂線不一定經過這些邊所對的頂點。并且我還會為學生日后的學習埋下伏筆，給他們留幾個問題思考，例如①三角形三條中線的交點G到中點的距離和到所對頂點的距離之間的關系；②三角形三條中位線圍成的小三角形的周長、面積和原三角形的周長、面積之間的關系；③三角形三條邊的中垂線的交點O到三個頂點的距離的關系。這三個問題為學生以后學習三角形的重心定理、相似三角形的性質定理以及三角形的外心做了很好的鋪墊。進一步理清有關概念，培養了學生的邏輯思維能力。

三、在幾何定理的教學過程中培養學生的邏輯思維能力

學習幾何證明，最主要的目的就是培養學生的邏輯思維能力，但這一任務也相當艱巨，因為這對學生來講是有很大的難度，所以一直是學生學習幾何過程中最主要的難點，學生在學習幾何證明的過程經常會“所見即所得”，上下文之間沒有明確的邏輯關系，或者條件缺失。我發現，這個現象主要是因為學生在學習一些幾何定理的時候沒有分清楚定理的題設和結論，所以導致書寫的時候因果關系不完整，甚至因果關系顛倒。為了盡可能避免這種情況發生，我會在定理教學的過程中，特別注重對于定理的三種不同表達形式的傳授，即“文字語言”、“圖形語言”和“符號語言”的傳授。

舉例4：在垂徑定理的教學設計中，我不僅要求學生注重這個定理的文字語言表達，即“垂直于弦的直徑平分弦并且平分弦所對的兩條弧”，著重強調“垂直于弦的直徑”是題設，“平分弦并且平分弦所對的兩條弧”是結論，尤其是注意題設中實際上包含了兩個條件，“直徑”和“垂直于弦”，并且配合圖形，將符號語言書寫格式完整的展示給學生看。

而且，在這個定理及其推論的應用過程中，我也會反復強調必須準備2個條件作為已知的重要性。并且還要特別提醒學生，垂徑定理的其中一個推論“平分弦的直徑垂直弦并且平分弦所對的弧”當中，這條弦不能是直徑，從而體現邏輯推理的嚴謹性。只有這樣嚴格的要求，學生才能學會正確的邏輯思維方式。

四、在幾何證明的訓練過程中培養學生的邏輯思維能力

在基礎知識落實后，為達到學習幾何最主要的目的，我們要學習利用這些基礎知識證明一些幾何問題，在此時，我特別關注思維解決問題的方式：1.從條件出發，推得結論；2.從結論出發，探尋條件；3.兩種方式相結合，獲得結論。經常引導學生從這三個方面思考問題，因為這也是我們進行邏輯思維的一般方法。而此時，數學思想的滲透是一個培養學生邏輯思維能力很好的方法。例如：

已知：如圖，BE、BF分別是與它的鄰補角的平分線，AE⊥BE，垂足為點E，AF⊥BF，垂足為點F，EF分別交邊AB、AC于點M和N.

對于這個問題，根據已知條件，可以得到四邊形AEBF是矩形；而要證得這一結論，可考慮證明MN是△ABC的中位線，即M、N分別是邊AB、AC的中點。這可以由矩形的對角線互相平分證得M是邊AB的中點，最后再證MN∥BC，得到N是邊AC的中點。而證平行，可考慮把問題轉化為證∠MEB=∠EBC，也體現數學的化歸思想在培養學生思維能力中的作用。

另外我發現，學生在解決各類幾何證明題的過程中不會“觸類旁通”，不會“舉一反三”，為了更好的培養學生的邏輯思維能力，充分挖掘例題的功能，解決類似的現象，我采取了以下三種策略。

1. 一題多解

在幾何教學的過程中，經常會遇到一些問題，它們的解題方法不唯一，學生可以從不同的角度思考和探索，從而得到不同的解題方法。這就需要我們教師經常引導學生梳理解決常見問題的基本方法，那么學生才能會想到解決問題的不同方法，然后通過學生和學生互相交流的方法，促進他們邏輯思維能力的提高。

例如在下述這個問題中要證明兩直線平行，我啟發學生從不同的維度來思考證明兩直線平行的證明方法，培養學生的邏輯思維能力。

可以看到，同樣是證明平行，對于不同學段的學生來說，都有各自不同的方法可以證明，體現了幾何證明中“一題多解”的特點。如果學生能夠把這幾種方法分析清楚，那么對于學生來說，以后再碰到證明兩直線平行的問題，他們就可以從不同的角度去思考了。對于提高學生的邏輯思維能力來說，起到了非常重要的拓展思維的作用。

方法四：利用面積證明，即只要證明△ABD和△ABC的面積相等，我們就比較容易證得CD∥AB。

2. 多題一解

在有些問題中，雖然題目的已知條件不同、圖形也不同，但是解決這些問題的方法確實一致的。學生只要通過歸納總結，就可以得到一個行之有效的方法來解決這一類問題，達到“舉一反三”的效果，進一步提高自己的邏輯思維能力。

可以看到，在這些不同問題的背后，實際上隱藏著相同方式的解法。雖然題目的圖形和條件略有不同，解題要求也略有不同，但是分析問題的方法和思維的角度基本是一直的。學生只要掌握了正確的思維方法，就可以準確的解決這一類問題。

3. 一題多變

有些問題及其圖形

例如在相似三角形的判定和性質的教學過程中，我做了如下的教學設計來培養學生的邏輯思維能力：

舉例10：如圖1，先從三個等角是直角開始，說明；然后將這三個等角改為非直角，如圖2，此時仍然成立；這就是從特殊到一般的過程，在這個過程中，這對三角形保持相似；然后再改變點D的位置，使點D位于線段BC的中點，并聯結EF，如圖3，此時不僅原來兩個三角形仍然相似，中間的和也相似。

這個過程，體現了從特殊到一般，再從一般到特殊的變化，在這個變化過程中，有不變的關系，也有改變的內容。學生可以從中體會到幾何圖形變化中的奧妙，對于提高學生的邏輯思維能力起到積極的作用。

總之，學生從入門的幾何概念幾何圖形幾何定理開始不斷地學習，一直到較復雜的邏輯推理論證，這是一個個漫長的過程。在這個漫長的過程中，老師要嚴謹治學、一絲不茍地給學生做好示范，還要給學生創造自主的學習環境，激發學生的創新意識，既要“腳踏實地”也要“異想天開”，要求學生遵守邏輯規則，正確運用各種定理和方法。只有這樣，才能完成培養和提高學生的邏輯思維能力的任務。