例析速解二項展開式的任意項及其系數

程琬婷

[摘要]二項展開式的指定項或指定項的系數是高中數學重要的內容，在高考題中經常出現.研究二項展開式的任意項及其系數求法具有現實意義.

[關鍵詞]高中數學;二項展開式;任意項;系數

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08002401

【例1】x2-12x9

展開式中x9的系數為.

解題思路：方法一，常規法.先將通項寫出來，求出未知數r，再來求第9項的系數;方法二，速解法.在r的求法中，須確保二項式中兩個單項式的分母均不含未知數x，若分母中含未知數x，先化簡，然后再求r.r的分母為“括號內指數相減”，分子為“括號外指數相減：第一項指數乘以二項式總指數，減去所求項指數”.

解題思路：方法一，常規法.根據公式直接來計算;方法二，利用例1中的速解法;方法三，求二項展開式中常數項的速解法.只看x的次數（就是看x的指數，不用管指數的正負，只取x指數的絕對值），先寫x的指數之比，其次將3比2值中的與調換位置，接著比上它們的和，即2+3=5，然后觀察二項式總指數n=10，由比值的和5變到10須乘以2，所以2∶3∶5每一個數都乘以2就得到4∶6∶10，最后寫答案是組合與各項系數乘積的形式，比值4∶6∶10中第一個數為組合的上標，第三個數為組合的下標，然后乘以二項式中兩個單項式的系數，并把比值中對應的數值當作系數的指數即可.

（責任編輯黃桂堅）