數學研究的哲學思考對高校數學教學的促進作用

孫艷萍

摘 要：淺談如何將數學研究中的哲學思考與高校數學教育有機結合，用數學研究中的哲學方法與哲學規律指導高等學校數學課程教學，提高教學效果，加深學生對學科的認識和理解。

關鍵詞：數學研究；哲學規律；高校教學研究；數學哲學；數學教學

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）11-0087-03

Abstract： This article discusses the organic combination method of the philosophical thought and the college mathematical teaching. This method can improve the teaching effective and deepen student's comprehension about the mathematics.

Keywords： teaching research； philosophical rule； college teaching； mathematical philosophi； mathematical teaching

一、數學研究的哲學方法

古今中外，數學研究的進展和哲學的發展總是息息相關的。例如：英國數學家布爾發表了《邏輯的數學分析》，初步奠定了數理邏輯的基礎。數理邏輯對于數學其他分支如集合論、數論、代數、拓撲學等的發展有重大的影響，特別是對新近形成的計算機科學的發展起了推動作用。反過來，其他學科的發展也推動了數理邏輯的發展。另外[1]對于無限進行了詳細的闡述，無限和有限的研究亞里士多德指出，既然研究自然是要研究空間的量、運動和時間的，其中一個必然不是無限的就是有限的。芝諾的三個著名悖論的提出與解決的過程在哲學上引發了人們對潛無限和實無限哲學理論的思考，這些思考也促進了微積分學關于完整的極限理論的建立。隨著近代數學的發展，數學家徐利治提出了雙向無限原則[2]，并在此原則指導下研究時間和空間問題時利用多層次模型進行新的探索。中國數學家在數學的方法論方面也進行了積極的研究并明確提出了化歸原則，發展了抽象度分析法，審美知覺選擇性原則[3]。這些原則在現階段不僅指導著我們的數學研究工作，也同時指導著教學工作。筆者在有限元領域做了一些工作，深刻體會了學科之間的普遍聯系和互相促進的作用。有限元方法屬于計算力學的范疇，是解決工程中遇到的大量問題的一種強有力的方法，其解決問題范圍非常廣泛，從固體到流體，從靜力到動力，從力學問題到非力學問題。而應用計算數學的方法則使其在理論分析方面不斷深化，不斷發展，從抽象分析的角度研究方程的求解問題。這些研究和發展能夠指導實踐的發展，使工程計算更加有效，更加有針對性。

數學的曲折發展遵循著一定的哲學規律，在不斷演變中獲得新的進展和持續不斷的生命力，但是哲學分析不能替代數學的具體研究，而應當使兩者有機結合起來。

二、數學研究的哲學規律與數學教學的哲學關系

柏拉圖認為眼和耳朵只是知覺的工具，但不是思考的工具。知識在于思索而不是印象，所以獲取知識的是心靈，而非感官。由于數學研究工作者同時也是數學教育的實施者，如何將數學知識，數學的本質，以及數學的核心思想傳遞給學生。在教育實踐中使數學課不僅傳遞知識，使學生在學習過程中理性思考，而且將知識轉化成為實踐，增加感性認識，指導學生發現問題，并通過思考和學習解決問題。

（一）教學過程是思辨的過程，對數學規律的認識有助于學生真正理解數學的本質

可以看到很多文章都闡述了大學數學課程知識內部的哲學關系，例如[4]指出微積分中的質量互變規律，否定之否定規律，概率論中的偶然性與必然性，共性與個性等等，當然在其他數學學科中也存在很多哲學規律。這些規律的研究和總結，是在對相關數學學科進行深入研究的基礎上提出來的。這些規律的發現和應用，能夠有效的推動教學過程，提高教學效率。

在教學過程中，一門科目的知識結構往往是從概念，定義出發，然后得出一些基本結論和處理相關問題的方法，再將結論和方法應用于不同的問題，實現知識的擴展。大學工科數學課程的學習是從極限開始的，這往往也是學生容易產生巨大疑惑的地方，從初等數學的代數，幾何等確定量的認識過渡到無窮量的認識，本質上是人類認識水平的飛躍，經過了漫長的思維發展過程和哲學思考的深化，同時這種認識的產生也是在現代科學發展基礎上建立起來的。例如高等數學中的重要極限和函數極限運算法則總是比較容易搞混，即：

學生總是用函數極限的運算法則來計算類似于重要極限的問題，則類似于左邊的問題往往得到的答案是1，這顯然是不對的。在數學分析中一定要區分無限和有限，比如函數極限的局部有界性，將其放到整個函數的定義域內就不能保證正確性。在無窮小的比較中，明確給出無窮小的比較也有階的概念，對于無窮小的和可以是有界的，無窮小的，也可以是無窮大的。要想證明函數的單調有界必有極限這個重要的極限存在準則，必須要考慮實數的稠密性等等。

所以在教學中使學生了解無窮的產生過程以及古人的哲學思考至關重要。人類對無限的認識是不斷在發展的，例如康托的超限數理論，徐利治先生的雙向無限性原則等都是人們對無限認識的一個過程。通過此教學過程，使學生充分認識無限和有限的巨大差別，思維方式產生了巨大的差別，分析問題的能力也得到提升。

（二）對數學理論的探索有助于準確把握課堂教學內容

在數學研究工作中，大學本科的基礎課程和知識是進行進一步研究工作的基礎，并且隨著數學研究各個方向的不斷深入，作為教學工作者對知識的理解不斷深化，這種深化不是通過教學重復得到的，是在應用的過程中的深化，在解決新問題的過程中的理解，例如高等數學中的格林公式，表述的是閉區域上的二重積分和圍繞區域邊界的正向光滑曲線積分的等量關系的一個公式，這里P，Q，R，均為具有一階連續偏導數的函數。

在教學過程中如果僅就此公式進行講解顯然內容單薄，學生也會覺得這個公式沒有什么用，但是如果能進一步在教學的過程中前后聯系，牛頓萊布尼茲公式，分部積分法，高斯公式，斯托克斯公式均是屬于格林公式的范疇，并且在變分學的意義下，這些公式均是叫做格林公式。我想這樣對于初學微積分的學生來說，高等數學這門課程的內在聯系就會更清晰的展現在學生面前。當然這還僅僅局限在課本范圍內對學生的講解，再進一步，像電磁理論中的格林定理，高斯定理，無源場，無旋場，流體力學，熱力學，電學等學科中有廣泛的應用，例如[5]文中給出了幾個實用性的例子。在變分學意義下，格林公式變化更加豐富，例如：

等等，當然我們在這里不能窮盡格林公式的各種形式。通過這樣的一步步的遞進式教學，學生已經對格林公式有了感性認識，再更進一步討論此問題，將格林公式在數學上的很多不同的形式引入課堂，這樣從學生的角度格林公式不再是一個簡單的公式，而是具有了很強理論和應用價值的很重要的知識。在此教學過程中，教師對數學理論知識研究的深度決定了教學內容的高度，所以數學研究與教學是相輔相成的，數學研究對教學過程具有指導和促進作用。通過課堂知識教學將課本知識延伸到理論知識和應用實踐，開闊學生視野，適合高校對學生培養的最終目標。

三、對數學發展的哲學規律的研究有助于培養學生發現、創造能力

馬克思辯證法的基本原理指出矛盾雙方相互依存，相互轉化，相互包含，在相互促進作用中得到發展。經典數學中命題分為真命題和假命題，[2]將此定義為“無中介原則”。雖然經典數學并未將無中介原則作為公理明確列出，但是在邏輯和知識系統的建立和展開中，無形地將此原則貫穿于始終。但是隨著數學理論和解決問題的方法不斷發展，可以看到這種原則并不總是正確的。1983年朱梧 和肖溪安先生共同提出中介邏輯系統ML和中介公理幾何論系統MS，簡稱中介數學系統MM，承認對立面有中介狀態的馬克思主義哲學原理，構造系統時無條件貫徹“中介原則”的一種邏輯系統和集合論系統，[2]指出MM為精確性經典數學和未來處理模糊現象的不確定性數學提供了一個共同的理論基礎。

掌握數學理論的新進展，在教學中堅持發展變化的觀點理解知識，融入教學：

微積分經歷了漫長的發展，直到十九世紀基礎理論才日益完善，人類對數學的研究由常量到變量。概率論的建立是將數學的研究對象從確定性到隨機性的擴展，康托集合論的創立，不僅為整個經典數學提供了一條共同的理論基礎，更重要的是由此完成了數學研究由有限，潛無限再到實無限的再擴充。本世紀六十年代，由扎特（Zadeh）創始而被發展起來的模糊集理論，標志著數學的發展已進入了數學研究由精確性到模糊性的再擴充。隨著近年來網絡的發展，數據的收集和整理凸顯出了重要的作用，一些新的數據分析方法不斷的被提出，大數據分析作為一門新興的學科，越來越多的科研工作者投入其中。從而可以看到，數學一直處在發展變化的過程中，作為數學教育工作者，能正確的把握學科發展變化，并將這些發展變化融入教學過程，是非常重要的，例如在學習數學分析的微分和積分內容時，引入相應的數值計算方法，將建立在一維問題上的處理問題的方法擴展到二維三維，以及有限元方法，這些知識的延伸思考和講解，有助于擴展學生思維，培養學生發現問題的能力。也可以使學生認識到學科發展的無限性，并且這個過程是一個不斷更新的解決新問題，產生新方法的動態發展過程。

四、結束語

要進行深入的數學研究，一方面要具有深厚的數學知識，另一方面也要運用哲學工具指導研究過程，避免盲目性。傳播知識和科學研究是高校的主要職能，學習和發現數學理論中的哲學規律與高校數學教學是相互促進的，教學過程也是一個對知識理解加深的過程，反過來促進研究的進行。而在教學的過程中引入哲學思考，不但促進大學生思維的發展，培養大學生的創新能力，并且能夠很好的提高教學效果。

參考文獻：

[1]鄭毓信，劉曉力.數學的無限與哲學的無限[J].內蒙古大學學報（哲學社會科學版），1987（2）：47-56.

[2]朱梧 .我的數學研究與哲學思考[J].自然辯證法研究，1991（7）：14-21.

[3]鄭毓信.數學哲學、數學方法論與數學教育哲學——兼論數學哲學研究的方法論問題[J].南京大學學報（哲學·人文·社會科學），1995（8）：71-77.

[4]包海臣.“格林公式”的物理原型及其它[J].職大學報，2005（2）：61-62.

[5]孫濤，裴麗芳.高等數學中的哲學思想[J].高師理科學刊，2015（4）：61-64.

[6]劉庚.經管類高等數學研究性教學方法的探索與實踐[J].高教學刊，2017（07）：131-132.

[7]王平，王芳.博雅教育理念下高校工科數學研究型教學探索和實踐[J].高教學刊，2018（01）：1-3.