高中數學排列組合教學策略的探究

徐董科

摘 要：排列組合是高中數學的重點知識，也是高考考查學生有關概率統計問題的基礎，引導學生掌握排列組合知識的內涵，對于提升學生的自主學習能力，培養學生的數學思想有著重要的作用。然而，學生常常不能有效地進行排列組合知識的區分，導致在進行知識應用的時候，常常出現錯誤。本文以“球與瓶子”為例，就有關排列組合的內容進行探討，供大家參考。

關鍵詞：高中數學；排列組合；教學策略

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2018）08-085-01

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從知識的角度來說，排列組合的內容學生非常容易理解，但是在進行知識應用的時候，學生卻常常感覺有力不從心，無從下手。造成這樣原因的主要因素就是學生對排列組合的知識掌握不好，只是停留在概念的字面理解上，并沒有深入到知識的內涵。因此，高中數學教師在教學中，要注重學生知識應用能力的培養，讓學生在掌握排列組合知識的基礎上進行知識的靈活應用，從而提升學生的自主學習能力，促進教學課堂效率的提升。

一、相同的球和相同瓶子的問題

在排列組合中，我們常常要考慮問題的幾種情況，而如果球和瓶子都沒有差別的話，是最基礎的組合知識，例如：將6個相同小球放到5個相同瓶子中，不能出現空瓶子，有幾種方法？題目要求每個瓶子都有小球，并且球和瓶子沒區別，這樣5個瓶子最少需要5個小球，剩下一個小球放到任意一個瓶子中即可，共有1種方法。變式：將8個相同小球放到5個相同瓶子中，不能出現空瓶子，有幾種方法？這樣題目中會剩下3個小球，有1+1+1、2+1、3，這三種情況，因此有3中方法。這類問題一般比較簡單，教師讓學生在掌握了方法的基礎上再進行深入訓練。比如，將6個小球放到6個瓶子中，只能有一個空瓶子，有幾種方法？這類試題和前面的例題一樣，相當于將6個小球放到5個瓶子中，只能有一個空瓶子，這樣學生就很容易理解組合的知識了。

二、球和瓶子有一種不同的問題

這類題目需要用到排列組合的拆數和分組方法，對于學生進行教學內容的理解有著關鍵的作用，因此需要教師引導學生進行認真的思考和探索，將這些知識以及變式有效的掌握，既能培養學生的數學思想，用數學的方法進行問題的分析和解決，也能提升學生的思維能力和創新能力，促進課堂教學的有效性。

（一）瓶子不同

比如：將6個相同小球放到5個不相同瓶子中，不能出現空瓶子，有幾種方法？題目要求每個瓶子都有小球，并且球相同而瓶子不同，這樣5個瓶子最少需要5個小球，剩下一個小球一共有C =5種方法。同時教師也可以引導學生將小球進行分組，將6分為1+1+1+1+2，這樣2個球在同一瓶子中一共有5種情況，則有5種方法。在學生掌握了相同小球與不同瓶子排列組合規律的情況下，教師可以引導學生進行知識的拓展。將6個相同小球放到6個不相同瓶子中，只有一個空瓶子，有幾種方法？這個題目等同于上一個題目，由于瓶子不同，所以空瓶子有C 種情況，則所求的方法為C ·C =30種。

（二）小球不同

比如：將6個不相同小球放到5個相同瓶子中，不能出現空瓶子，有幾種方法？由于小球不同，這就要求學生先進行分組，將6分為1+1+1+1+2，先取2個小球，然后依次取1個，一共有 =15種，小球不同需要進行分組進行，這就要求教師要引導學生進行知識的靈活應用。拓展：有6個學生進行夏令營活動，乘坐2輛相同的汽車去目的地，已知一輛汽車最多可以坐4個人，則一共有多少種坐法？這個試題和上面的類型一樣，需要學生進行先分組，然后再進行排列，由于汽車最多坐4個人，因此可以將6分為2+4與3+3兩組，再進行排列，2+4組為C =15種，3+3組 =10種，因此，一共有25種坐車的方法。

三、球和瓶子都不同的問題

其實，上面的兩種情況都是排列組合的特例，為學生排列組合知識的深入探討做鋪墊，因此，球和瓶子都不同的問題才是排列組合知識的重點，也是學生不容易掌握的難點。教師要引導學生先進行正確的分組，然后在逐步的排列，這樣才能保證不多項、不漏項，有效的解決排列組合問題，掌握排列組合知識的內涵，提高教學的的有效性。

比如：將6個不相同小球放到5個不相同瓶子中，不能出現空瓶子，有幾種方法？本題的研究方法還是前分組，在排列。分組只有1種1+1+1+1+2，這樣只有一個瓶子中有2個小球，剩下的為1個，則共有 =15種，這個和小球不同的計算方法一致，剩下的就是對瓶子進行排列，由于瓶子不同，因此一共有A =120種方法，則本題有15×120=1800種排列方法。這樣學生對排列組合的知識就有了直觀的了解，掌握了排列組合的應用，教師應該繼續引導學生進行知識的深入，變換題目的背景，加強學生的知識實際應用能力。

例題：某網絡公司由于業務擴展，從學校招來8名新生，并準備平均分配給公關部和技術部，而其8名學生中有2名英語專業的不能分在一起，有3名計算機專業的不能分在一起，則共有幾種分配方法？此題比較綜合，將不同的和相同的學生（小球）混在了一起，這就需要學生需要根據實際情況進行分步的進行，首先分配英語專業的學生，每個部門1人，共有2種方法，接下來進行計算機專業學生的分配，先分組1+2=3，有C 種方法，然后兩個部門再排列，有A 種方法，則一共有C A =6種，接下來進行剩余3名學生的分配，先分組1+2=3，有種方法，由于兩個部門每個部門4個人，因此不用進行部門的排列，則一共有2C A C =36種方法。

四、結束語

總而言之，排列組合的知識并不難，學生對于知識很容易理解，但是學生在進行應用的時候，常常因為對知識的理解不夠深入，對問題的研究方法不全面，從而導致學生不能進行知識的有效應用。因此，教師從簡單的問題開始，逐步的引導學生進行深入的探究，遵循學生的認知規律，讓學生不斷地進行知識的深化，從而有效地提升學生的學習效率，提高教學質量。

[參考文獻]

[1]韓志國.走出排列組合的“雷區”（高三）[J].數理天地（高中版）2005年11期.

[2]鄭忠玉.高中數學排列組合的教學策略探微[J].理科考試研究.2013（23）.