概念教學下的《概率的基本性質》教學設計

【內容摘要】新課標指出，概念教學要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程。本文用抽簽定考試科目這一實例引出新課，創設良好問題情境，促進學生理解概念、探索重難點，經歷“觀察——類比——歸納”的思維環節，引導學生把新知識與原有認知結構建立實質性聯系，鍛煉發現問題、分析問題、解決問題的能力，提高學生學習興趣。

【關鍵詞】概念教學 問題情境 觀察類比歸納

一、教學內容解析

1.教材來源

人教A版普通高中數學必修三3.1.3.

2.教材分析

本節課包含三部分：事件的關系，事件的運算，概率的基本性質。雖然概率是統計學的理論基礎，但是因為在發展歷史上先有統計后有概率、并且先學習統計可以使學生積累大量的案例以使得概率的學習更容易開展，因此教材在編排上先統計后概率[1]。本節課是統計的延伸，是古典概型和幾何概型的基礎，同時為選修中離散型隨機變量分布列及其方差、均值等的學習做鋪墊，起到承上啟下作用，也是新課改以來高考考查的熱點之一。

3.教學重點

本節課內容屬于概念性知識。如何使枯燥的概念生動化、使前后知識融會貫通、使學生快速內化多個概念，顯得尤為重要。因此，教學重點為：事件的關系與運算，概率的基本性質。

二、教學目標設置

1.知識與技能

（1） 理解事件的關系與運算；

（2） 掌握概率的基本性質。

2.過程與方法

在探究事件的關系、運算及概率的基本性質的形成過程中，培養學生類比與歸納的數學思想。

3.情感、態度與價值觀

通過數學活動，感受數學知識應用于現實世界的具體情境，從而激發學生學習數學的樂趣。

三、學生學情分析

學生在學習本節之前，已經掌握了集合的關系與運算，頻率與概率的內在聯系；已有一定的分析、推理、概括能力，但類比思想較薄弱。在學習本節內容時，一般出現如何將事件與集合聯系起來、概率加法公式的形成過程的困難。

因此，教學難點為：互斥事件與對立事件的區別與聯系，概率的加法公式及其應用。

四、教學策略分析

教科書通過“擲骰子”試驗，先定義了事件的關系、運算，后引出事件的概率公式。

本文設計更源于學生生活的“抽簽定考試科目”試驗，與集合類比，在定義事件關系、運算的同時，結合上一節頻數、頻率知識，推導出相應的基本性質，使知識體系的形成過程更加系統完整。

本節課采取引導發現式教學。教師啟導、引發、點撥、創設多種問題情境，使學生帶著問題去主動思考、動手操作、交流合作。學生在教師引導下對問題分析、探究、歸納，進而達到對知識的“發現”和接受，完成知識內化。

五、教學過程設計

1.鏈接舊知

問題1：下雨天不打傘出門結果淋濕，今天周三、明天周五，雙色球開出藍色球號碼是7，分別是什么事件？必然事件和不可能事件發生與否都是肯定的，稱為什么事件？確定事件和隨機事件共同構成什么？

學生：根據提問即刻口答：在條件S下一定發生、一定不發生、可能發生可能不發生的事件分別為必然事件、不可能事件、隨機事件。必然事件和不可能事件是確定事件，確定事件和隨機事件共同構成事件。

設計意圖：由豐富的生活情境復習舊知，使學生對課堂產生親切感，為新課做好知識準備。

2.情境導入

今天進行語數英理化生的階段小測驗，抽簽決定先考哪科。依次定義事件C1～C6為“考語文”～“考生物”，事件D1～D4分別為同學們的呼聲“考主科”、“考文科”、“考理科”、“寫800字作文”，事件E、F分別為“今天要考試”和“今天不考試”。

教師：讓某位學生抽簽，抽中哪科先考哪科。

問題1：該同學抽簽后，上述哪些事件是確定事件？

學生：緊密關注抽簽結果，馬上回答：事件E、F分別為必然事件和不可能事件。

教師：肯定并引導學生總結：在每次試驗中，必然事件一定發生，因此它的頻率為1，從而概率為1，記作P（Ω）=1。同理，不可能事件概率為0，記作P（不可能事件）。

問題2：第二輪抽簽抽中物理。上述哪些事件發生了？這些事件是否相同？

學生：事件C4和D3發生了，但二者不相同。

設計意圖：根據桑代克的準備律，引入生活情境，讓學生產生學習的興趣，處于對知識的“饑餓狀態”，產生一個心理“缺口”，從而激發學生產生彌合心理缺口的學習動力。

3.探究新知

教師：肯定并幫助學生完善回答：事件C4發生時，事件D3一定發生；反之卻不一定。這類似高一學過的集合包含的概念。類比集合，把試驗可能結果的全體當作全集，把每一個事件當作子集，這樣就把事件和集合對應起來了，事件間關系就可以仿照集合間關系來分析。因此，得到事件包含關系的定義：一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A（或稱事件A包含于事件B），記作BA（或AB）。集合中，空集是任何集合的子集。所以類比集合，任何事件都包含不可能事件。

事件相等關系的概念可類比問題2過程得到。

設計意圖：根據奧蘇泊爾關于概念形成的心理過程描述，在提出關于已抽象出來的共同成分的假設后，要將新假設與認知結構中已有的某些起固定作用的觀念聯系起來。

問題3：如果滿足同學們考主科的呼聲，需要抽到哪科？

學生：思考問題并嘗試回答。

教師：肯定并幫助學生完善回答：事件D1發生，則事件C1、C2、C3必須有一個發生；反過來，事件C1、C2、C3其中之一發生，事件D1一定發生。類比集合中并集的概念，我們得到并事件的定義：若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作（或A+B）。

交事件（積事件）的概念可類比問題3過程得到。

問題4：考試是否可能兩門科目同時考？如何描述這一現象？

學生：思考問題并嘗試回答。

教師：肯定并幫助學生完善回答：事件C1～C6任何兩個都不可能同時發生。我們將這樣在任何一次試驗中不會同時發生的事件A與事件B叫作互斥事件。正如兩個集合的交集是空集一樣，互斥事件的交集是不可能事件。

集合中，集合A與集合B不相交，且元素個數分別為a、b，那么兩集合并集的元素個數就是a+b。類比集合，基本事件總數為n，對于互斥事件A、B，包含的基本事件分別有a、b個，則發生的頻率分別為fn（A）=a/n、fn（B）=b/n；因此事件發生的頻率是fn（A∪B）=fn（A）+fn（B），概率是P（A∪B）= P（A）+ P（B）。這就是概率的加法公式。

對立事件的概念可仿照問題4得到。公式P（A）= 1-P（B）可仿照概率的加法公式過程得到。

設計意圖：根據奧蘇泊爾的先行組織者策略，圖式是人腦中已有的知識經驗網絡，可引起信息的加工。在原有圖式基礎上，新的內容被添加更新，形成新的知識。先行組織者與所有學習的概念間可以是上位、下位或并列關系，是學生已經習得的觀念。通過引導學生從頻率出發，經歷“觀察——類比——歸納”的思維環節，鍛煉發現問題、分析問題、解決問題的能力。

4.難點剖析

（1） 互斥事件vs對立事件：對立必然互斥，互斥不一定對立。

（2） 概率的加法公式：P（A∪B）= P（A）+ P（B）不一定恒成立。對于任意事件A、B，有P（A∪B）= P（A）+ P（B） -P（A∩B）。當且僅當，即事件A 、B互斥時，此時才有P（A∪B）= P（A）+ P（B）成立。

設計意圖：這是本節的難點，為突破難點，采取學生自由討論的形式，達到互相啟發、補充，活躍氣氛，激發興趣的目的。

5.鞏固運用

在2010年廣州亞運會開幕前，某人乘火車、輪船、汽車、飛機去的概率分別為0.3、0.2、0.1、0.4。（1）求他乘火車或乘飛機去的概率；（2）求他不乘輪船去的概率；（3）如果他乘某種交通工具的概率為0.5，請問他有可能乘哪種交通工具？

設計意圖：通過練習，讓學生對本節課的重點和難點有更深刻的理解。

六、總結與啟示

整個教學設計將教師定位于學生學習的引導者、組織者、合作者，以教材為依據，但不做教材的"奴仆"，挖掘教材蘊含的思想方法和數學邏輯，創設更加貼近學生的教學情境，激發學生學習興趣，充分發揮主觀能動性，培養創新精神和實踐能力，讓學生在發現中獲得，在成功中進取。

【參考文獻】

[1]龔先貴.高中數學概率教學研究[D].碩士論文，湖南：湖南師范大學，2013.

作者簡介：王曉慧（1993-），女，碩士研究生，攻讀數學教育方向.

（作者單位：廣東省佛山市佛山科學技術學院）