“證偽”思想在小學數學課堂中的滲透與實踐

摘要：課堂學習是學生對知識的不確定性到知識確定性的漸進過程，這一過程中包含著不斷嚴密的論證過程，這也是數學的主要特色和中心問題，那么圍繞這個過程的指向有兩個方面：“證實”；“證偽”。“證實”思想在大部分小學數學課堂中是常見的，而“證偽”思想是一種否定性思維，它基本在小學數學課堂中很少見到。但是，“證偽”思想在小學數學課堂中也不可缺少，因為它有助于幫助學生科學地超越自身，找到知識新的生長點和突破口。本文試圖以筆者對“證偽”思想的理解，并結合一些課例，闡述證偽思想滲透在兒童數學學習中的意義、價值和實踐探索。

關鍵詞：“證偽”思想；“證實”思想；小學數學

課堂學習是學生對知識的不確定性到知識確定性的漸進過程，在小學數學課堂中往往會看到必有模塊——探究新知，而這個模塊的展示多以學生“證實”某一正確的猜想為主，缺少“證偽”思想，這就導致學生對知識學習的單一性和唯一性，缺少了學生對知識的自主驗證性和對知識的深度耕犁，所以筆者試圖通過以教學實踐為例，探尋“證偽”思想在小學數學階段的必要性，以及“證實”和“證偽”兩種辯證思想對于小學生形成數學思維的重要性。

一、 觀照弊端：小學數學“證偽”思想缺失的現象分析

在小學數學中，有一些命題需要進行驗證，這些命題多是由猜想得來的，猜想到形成命題是一個去偽存真的過程，這個過程主要以證偽和證實為主要手段，通過不斷地證偽、修正、證實的循環階段來實現。但是，從很多課堂上，我們看到的是過多的證實過程，而證偽卻極少涉及，從聽過的很多課中，筆者來剖析一下小學數學證偽思想缺失的主要現象，主要為以下幾個方面：

（一） 偏于只“證實”，忽視學生自主猜想意識的形成

證實通常是指通過一項或者多項客觀存在來證明一件事情的真實性，即用人物、事實來表明或斷定，那么，在數學課堂教學中，往往是經常證實學生或者是老師提出的一個猜想，而對學生提出的錯誤猜想的證偽基本是沒有的，也就是說沒有“假設——探究”，再“假設——探究”等的循序漸進的過程，只有證實“正確結論”的過程。

蘇教版三年級下冊中長方形的面積公式求證，教材給予學生兩個方法作為長方形面積的公式提示：一個是用幾個1平方厘米的正方形擺出3個不同的長方形，并填寫項目欄中含有“長”“寬”的表格；另一個是用1平方厘米的小正方形量出兩個已有的長方形的面積。以上兩個提示都是在引導學生探究并感受到長方形的面積就和長、寬有關，長方形的面積就是長乘寬的積。對于這節課，本人聽了很多節公開課，基本所有的課堂都能體現學生自主交流、活動探究的過程，很多學生也能采用到上述的方法，探索性味道非常濃厚，但是這樣的課堂也存在著嚴重的問題——缺失“兒童自己的猜想”。雖然最后結論的形成過程呈現出來，但是卻忽視了“提出問題比解決問題更有難度”的數學教學思想，學生從頭到尾證實的是教師既定的結論，這對學生來說絲毫沒有難度。

（二） 偏于“非證實與非證偽”，忽視學生知識遷移的正確形成

證偽思想是由英國哲學家波普爾在其著作《猜想與反駁》中談到的，簡單地可以理解為我們應該大膽地提出假說和猜測，然后去尋找和這一假說不符合的事例。如果用在數學中，就可以解釋為不斷地提出假設和猜想，然后找到一個反例，便可以驗證假設和猜想不對。像這樣的證偽思想，在小學數學中有用到過，但是并不常用，而且經常忽略，甚至是有很多的猜想既不證實也不證偽，只是一帶而過，過于教師為中心，并舍去猜想過程直接將結論讓學生拿來運用，忽略學生為中心的教學。

蘇教版六年級數學下冊第91頁第11題的第三題“你發現了什么”，學生通過計算可以發現：兩次畫出的圓面積的和是不變的，都相當于正方形面積的78.5%。像這個題目，很多老師在講解的時候就止步于“發現”，其實此時應該讓學生猜想：“如果繼續在正方形畫圓，那么圓的面積相當于正方形面積的百分之幾？”其實，猜想下去會發現所畫圓的面積都相當于正方形面積的78.5%，經過證偽和證實的過程也會發現這個結論是正確的。

在小學數學課堂中，如果證實和證偽的過程長期缺失，會導致學生自身對知識遷移的正確形成。

（三） 偏于“有偽不證或證偽不實”，忽視學生對新舊知識聯系的聯通

證偽思想的滲透，可以讓學生澄清對某些概念和性質的模糊認識，克服對數學知識的理解的偏差和負遷移。我們老師在上課時，為了達到40分鐘的高效課堂，往往過多地關注學生自主探索的過程和探索后的正確結果，但對學生的錯誤結論往往并不給予過多重視，出現有偽不證的現象；或者在遇到學生的錯誤結論時，也會進行討論，但并不追根究底，出現證偽不實的現象。

學生在蘇教版五年級上學期中會學習《用字母表示數》這節課，這節課的重點是研究用含有字母的式子可以表示數量、數量之間的關系，但是這節課還有一個重點是對含有字母的式子的簡便改寫，學生經常會將2a和a2弄混淆，教師最常用的做法就是出幾道類似于32或52得數這樣的題目，但是學生在做題時仍然犯錯，所以教師完全可以讓學生證偽一下“2a=a2”這樣的命題，讓學生自主發現在不同的取值情況下，2a可能等于a2，2a可能大于a2，2a可能小于a2，這樣的驗證經歷不僅可以讓學生理清對2a和a2的意義，還能讓學生在以后的解題過程中不容易出錯，這樣“有偽不證”的現象也常常能在課堂中看見。

二、 追根溯源：小學數學證偽思想缺失的原因剖析

（一 ）教師對教學目標的定位偏離

縱觀數學課堂，我們會發現老師對學生知識的掌握和理解，基礎知識和基本技能的把握都很兼顧，但是這樣就導致了目標指向知識的單一性?；诖?，學生能夠獲得正確的知識，但卻會失去“學生發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，所以在課堂中，我們會發現重視證實的探究過程，認為證偽的過程并不重要。

“偽結論”的出現，常常作為課堂中的小錯誤就這樣一閃而過，但其實這才是緊扣學生應該學習的目標，在學習1/4+3/8這樣的異分母分數加法時，學生會很自然地想到用分子加分子、分母加分母來計算，但是為了節省課堂時間，此時很少有課堂會探究“為什么不用分子加分子、分母加分母來計算”的原因，只是輕描淡寫地略過。那么，這樣學生真正學習目標就發生了偏離。

（二） 教師對學生學情的把握偏頗

課堂教學是一個動態呈現的過程，是師生間建立友好關系的時刻，是教師傳授知識和引導學生學習的過程。教師要教會學生的“不明白”，學生要學習自己的“不明白”。課堂中，學生會提出不同的觀點或者錯誤的觀點，這時就需要教師的教學機智。其實，如果教師對學生的學情掌握地比較透徹的話，那么學生的回答是萬變不離其宗的，教師可以根據自己的教學機智引導學生進行“證偽”，并對生成的“偽結論”進行探討。

在學習圓錐的體積時，需要驗證出圓錐的體積公式，通常教師會引導學生去發現圓錐體積與圓柱體積的關系，最終學生能夠發現圓錐的體積就是與它等底等高的圓柱體積的三分之一。不過，在一次聽課時，有個學生提出了這樣的質疑：長（正）方體的體積可以通過算出底面積，然后想象成與高那么多的底面積疊加而成，這樣可以推導出長（正）方體的體積=底面積×高；圓柱的體積公式也可以用類似的方法進行驗證，先求出圓柱的底面積，然后想象成與高那么多的底面積疊加而成，這樣可以推導出圓柱的體積=底面積×高；基于這些已知經驗，圓錐應該可以是相同的直角三角形旋轉疊加，疊加的個數應該是圓錐的底面周長。按照學生的這個推導想法，似乎是對的，但是授課教師沒有進行驗證和剖析，而是一帶而過，其實這樣的方法是錯誤的。在此片段中，教師對學生的學情并沒有把握較實，所以教師難以及時應對。

三、 透析架構：小學數學教學“證偽”思想的滲透

（一） 內涵解讀——“證偽”思想的價值探尋

“證偽”是一種否定性思維，它有助于科學地超越自身，找到新的生長點和突破口。波普爾認為證偽主義至少存在兩個優點，筆者對其中的一個優點表示非常贊同，即證偽主義可以避免對錯誤理論的辯護和教條，證偽主義使人們相信所有的科學都只是一種猜測和假說，它們不會被最終證實，但卻會被隨時證偽。

隨著課程的深化改革，課程內容所反映的不僅要包括數學的結果，也要包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法，在《義務教育數學課程標準（2011版）》中強調指出學生必須有時間和空間去經歷實驗、驗證等活動過程；同樣也強調：教師要引導學生獨立思考、主動探究、合作交流，使得學生理解和掌握基本的數學知識和技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗。其實，這也反映著學生獲得知識的過程顯得更為重要，如果要使得一個猜想轉變成一個新知，那么就是一個去偽存真的過程，這個過程主要以證偽和證實為主要手段，通過不斷地證偽、修正、證實的循環階段來實現。

（二） 策略定位——“證偽”思想的實踐探索

1. 以“問題”促“證偽”思想的形成

數學問題是數學的心臟，數學的產生和發展也總是在提出問題和解決問題的過程中進行。所以，課堂中如果有“證偽”思想的滲透，可以通過問題的設置引導學生有質疑和批判的想法。筆者認為，可以適當加入探究性問題、錯誤性問題和開放性問題，這三種類型的問題都可以促進學生善于運用“證偽”思想進行學習，下面通過具體實例來談一談。

類型一：探究性問題

在《三角形內角和》一課中，學生在用不同的方法探究出三角形的內角和是180°后，可以追加一個問題“是不是所有三角形的內角和都是180°呢？”引發學生探究和思考，學生可以想辦法用“證偽”的思想進行嘗試質疑，這樣的課堂教學也就打破了原來的守舊課堂，讓學生主動地和開放地學習。

類型二：錯誤性問題

在學習《3的倍數特征》時，提出“3的倍數特征也具有2和5的倍數特征的規律嗎？”這樣的問題，引導學生先運用舊知（2和5的倍數特征規律）探究3的倍數特征，讓學生明確感受到證偽的思想。

類型三：開放性問題

在學習《多邊形內角和》時，教師在帶著學生探究過四邊形和五邊形的內角和后，教師便可以拋出一個開放性問題“接著往下分三角形的個數，你覺得多邊形內角和的變化有什么規律？”學生通過這個開放性問題的探究，可以展開激烈的討論，并在反復找規律中能夠不斷證偽，最終可以找到多邊形內角和的規律。

2. 以“過程性目標”促“證偽”活動的開展

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在進一步明確了數學課程“結果目標”的同時，提出了數學課程的“過程目標”，并以“經歷”“體驗”“探索”三個行為動詞表述了相應層次的目標要求?！皞巫C”是一種學習過程的方式，而這個過程也是引導學生“經歷、體驗、探索”的過程，通過經歷一定的數學過程，獲得一些經驗，把握數學思想方法，形成數學能力，發展學生的數學思維和意識。

在學習加法交換律的時候，命題a+b=b+a是經過一些實際的例子推導出來的，像這樣的命題，教師可以在學生生成這樣的命題后，引導學生“證偽”，讓學生試著去找一找反例，最后再確定結論。像這樣的例子在小學數學課堂中還有很多，比如乘法分配律的結論，也可以在不斷“證偽”中生成正確的結論。經過這樣的分析和思辨，讓學生達成學習的真正目的。

3. 以“融合的方式”促“證實和證偽”的思想的價值體現

學生在真正認識知識的過程中，是一個去偽存真的過程，也是證實和證偽相互融合的過程。證偽是教學形式的一種補充，目的是為了讓學生形成“去偽”意識掌握“去偽”方法。小學課堂教學中應該要有“證偽——證實——求是”這樣完整的教學范式，融合證偽與證實達到求是的目的，實現真正意義上的去偽存真，將原來的單一的思維訓練模式為多元的思維訓練模式，培養學生實現批判意識和探究意識的目的。

筆者認為，通過“證實”與“證偽”的教學對比或者相輔相成，讓學生去體驗和運用，在批判和求是中判斷和解決問題。

參考文獻：

[1]黃加衛.淺議“證偽”思想在高中數學教學中作用[J].中學數學雜志，2011（7）：18-22.

[2]喻平.教學的應然追求：求是與去偽的融合[J].教育學報，2012（8）：28-33.

[3]中華人民共和國教育部義務教育數學課程標準（2011版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：4.

作者簡介：牛德芳，一級教師，江蘇省南京市，金陵中學實驗小學。