高中數學解題中應用數形結合思想的實踐探索

朱斌

摘 要 在高中數學教學中應用數形結合思想能夠幫助學生更好的理解初中數學知識，引導學生更好的將理性思維上升為感性思維，提升學生數學學習成效。為此，文章結合湘教版高中數學教學實例，具體分析數形結合思想的實踐策略，旨在更好的促進學生數學學習。

關鍵詞 高中數學；數形結合；實踐教學

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）04-0216-02

數形結合思想方法是高中數學教學中常用的解題思想，具體內涵是將抽象數學語言和形象直觀幾何圖形結合在一起開展數學教學，目的是在代數知識和幾何知識相互轉化的過程中將抽象、復雜的數學問題變得直觀、形象，進而更好的促進學生數學學習。數形結合方法在高中數學教學中的應用范圍很廣，體現在解析幾何、三角函數、排列組合等方面內容。為此，文章對數形結合方法在高中數學教學中的應用問題進行分析。

一、數形結合思想在數列學習中的應用

數列是一種特殊的函數類型，數列問題的解答需要應用數形結合思想，即在學習的過程中學生不僅需要掌握各個數列公式，而且還需要了解數列和函數之間的關系。比如在湘教版高中數學學習中有著這樣一道數學題：“假設等差數列an的前n項和是Sn，其中a3=12，S12>0，S13<0，求S1—S12中的最大值，說明原因。”解答：根據題意了解到數列an是等差數列，假設Sn=An2+Bn（A、B分別是常數，其中A≠0，）解答得出Sn的圖像是分布在二次函數y=Ax2+Bx上的圖像，圖像經過坐標原點，根據題目中給的條件S12>0，S13<0，由此能夠得出y=Ax2+Bx圖像上存在的兩點，分別是（12，S12），（13，S13），它們的位置一般在x軸上上方和下方，同時能夠得到二次函數的圖像開口朝下，圖像經過原點，具體圖像如圖1所示，假設函數圖像和x軸的另外一個交點是（m，0），12

在學習這道題目的時候，教師不僅要引導學生記住各個函數的公式，而且還需要理解數列和函數之間的關系問題，通過數學結合思想的應用有效解決這個問題。

二、數形結合思想在集合學習中的應用

集合是高中數學學習的基礎內容，數學結合思想在高中集合學習中的應用能夠對內外聯系問題進行準確的表達，提升學生解答集合問題的質量和效率。基于數形結合思想集合問題的解答能夠將數量關系以方程圖形的方式表現出來，之后通過解答方程來得到答案。在集合類型題中，對于一些解答比較復雜的題目可以采用拋物線的方式來解答。比如在湘教版高中數學學習中有這樣一個題目：已知有兩個集合分別是M={（x，y）x2+y2=1，x∈R，y∈R}求解集合M∩N中存在幾個元素？對于這種集合類型題的解答一般會選擇簡單的數量關系，即通過將兩個方程合并成方程組的形式進行解答，在解答之后得到x和y的數值。這種解題方式比較復雜。數形結合思想在解題中的應用能夠將方程x2+y2=1比作一個圓，將方程x2-y=0表示成一個拋物線，通過這種方式能夠題目變成x2+y2=1代表的圓和x2-y=0代表的拋物線之間有幾個交點的問題，借助圖形轉換方式能夠得到正確答案，提升自己解答問題的效率。

另外應用數形結合思想解決集合問題還有一種方式是指將抽象的代數關系轉變為具體的圖形，能夠加強學生對集合知識的直觀理解。和韋恩圖相比，數軸主要是處理一些比較模糊的集合問題在。集合以不等式形式存在的時候，可以利用數軸解決他們的交集、并集、補集問題。比如已知集合A={x 00，2a<5的結論，求解之后得到0

三、數形結合思想在不等式中的應用

數形結合方法解決不等式問題的基本思路是需要寫出相應不等式代表的函數，之后畫出函數圖形。通過觀察圖像和坐標交點以及圖像和圖像之間的交點解決不等式問題。文章以湘教版高中數學數形結合證明不等式為例具體分析數學結合方法在不等式中的應用。有這樣一道題目：假設關于x和y的不等式組2x-y+1>0，x+m<0，y-m>0代表的平面區域內存在點p（x0，y0），能夠滿足x0-2y0=2，求m的取值范圍。解答如下：建立平面直角坐標系，之后將題目給出的已知條件和結論以圖形的方式畫出，在現行的區域范圍內存在m<-2m-1，加上要求可行區域內的直線y=1/2x-1上的點，如果邊界點在直線的上方，那么（-m，m）在直線y=1/2x-1，下方就能夠得到結論，最終得到不等式組m<-2/3.對于這道題目的解答，如果解答是從解不等式入手，在具體解答的時候比較復雜，通過應用數形結合思想能夠提升題目解答效率，簡化了數學學習。

四、數形結合思想在三角函數中的應用

高中數學應用數形結合方法解答三角函數問題主要分為運用數形結合求三角函數的值域、運用數形結合解決有關三角函數的證明問題幾種類型。數形結合思想在三角函數教學中的應用能夠提升解題效率，促進學生的數學學習。在湘教版高中數學三角函數學習中有這樣一道數學題：“已知三角函數y=sinθ+2/cosθ-3，求解值域”，具體解題：將函數變形為y=sinθ-（-2）/cosθ-3，這個時候可以將函數y看作是一個固定點M（3，-2）和一個動點p（cosθ，sinθ）之間連線的斜率k進行考慮，假設x=cosθ，y=sinθ，根據三角函數公式sin2θ+cos2θ=1，得到x2+y2=1，得到出動點p運動軌跡代表半徑為1的圓，因而能夠將問題轉變為求頂點M和單位圓上任意一個點p連線斜率k的取值范圍。在整合之后得到方程kx-y-3k-2=0，根據圖2得出：圓心到直線的距離≤1，列出式子|-3k-2|/〖√k〗^2+（-1）2≤1，求出k的值的集合是函數的值域，通過屬性轉換，問題能夠得到有效解決。

五、數形結合思想在解析幾何中的應用

和代數的抽象知識相比，幾何圖形的學習呈現復雜的情況。為此，在高中幾何圖形教學中，教師可以適當應用數形結合思想，將空間和圖形有效結合，從而為學生的數學學習提供更加的便利，加強學生對解析結合問題的理解和認識，應用屬性結合思想解決解析幾何問題的時候要按照以下幾個步驟進行：第一是應用方程代數式表示題目圖形；第二是對題目中的方程或者代數進行變形、討論；第三是將方程或者代數計算結果轉變為幾何語言。比如在湘教版高中數學中有這樣一個題目：已知在坐標系中有兩個圖形，一個是橢圓，方程表達是x2/a2+y2/b2=1，一個是圓心在坐標原點0的圓，半徑是〖√a〗^2+b2，橢圓的短軸長是2，離心率是√6/3，求解橢圓和圓的方程。解答：根據題意畫出如圖4所示的圖形，根據圖形來尋找解題方式。根據已知條件得出a=√3，c=√2，求解出橢圓方程和圓的方程。

六、結語

綜上所述，數形結合解題思想是數學解題中常用的解題方法，在具體應用中能夠將抽象的知識具體化，降低學生數學學習難度，促進學生對數學知識的掌握和理解，提升學生數學學習效率，為此，在高中數學教學中需要教師結合數學教學實際，將數形結合思想充分應用到其中，從而更好的促進學生數學學習。

參考文獻：

[1]謝添威.數形結合思想在高中數學解題中的應用探析[J].文理導航（中旬），2018（02）：17.

[2]李墨涵.數形結合思想在高中數學解題中的運用探討[J].考試周刊，2018（12）：78.

[3]吳濤.初探高中數學解題中的數形結合思想[J].數學學習與研究，2018（01）：129.