兩端都栽的植樹問題中數學思想方法的滲透

鐘雪梅

【摘要】本文以“兩端都栽的植樹問題”教學為例，闡述在解決問題過程中如何引導學生掌握化歸思想、模型思想、一一對應思想和數形結合思想，充分體現數學思想方法在解決問題中的應用。

【關鍵詞】植樹問題 數學思想 數學方法

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）05A-0104-02

數學思想方法的教學不同于數學知識技能的教學，知識和技能是顯性的、具體的，它的有效性是短暫的，而數學思想方法卻是隱性的、抽象的知識系統，有效性是長期的，需要教師深入挖掘和提煉，并貫穿在教學過程中。本文以人教版五年級上冊《數學廣角—植樹問題》為例，談談如何有效滲透數學思想方法。

一、在解決問題中滲透化歸思想

化歸思想就是化未知為已知、化繁為簡、化難為易。化歸思想在小學數學學習過程中運用比較廣泛，牢固掌握和熟練運用這種思想方法理應成為學生的數學能力之一。在植樹問題教學中，教師應設計前置學習任務單，讓學生自主探究學習，在解決問題中經歷化繁為簡的整個過程，充分體現化歸思想的重要地位。

（一）化繁為簡。課前讓學生觀看一段微視頻，了解總長、間距、間隔數、棵數四個關鍵詞后，再利用10分鐘時間完成前置學習任務單。在前置學習第一部分內容中，有學生得出了錯誤的結論。為了驗證這個結果是錯誤的，教師設計了前置學習的第二部分內容，例題中總長100米數據較大，學生用線段圖表示有困難，此時教師引導學生用比較數據來驗證，也就是把總長換成是10米、20米或25米，讓學生嘗試用示意圖或線段圖來驗證，并且從簡單的事例中發現規律，然后運用找到的規律來解決原來總長是100米的問題，體現了化繁為簡的數學思想。在教學中教師遵循了三不教原則：①四個關鍵詞不教。因為課前學生通過觀看微視頻，對正確掌握四個關鍵詞已經達到90%以上。②畫線段圖和間隔數、棵數不教。因為學生通過課堂上合作學習，互相糾錯后已經掌握了這些畫法。③只栽一端和在封閉圖形上栽樹的內容不教。因為結合農村學校實際，要在一節課的時間完成植樹問題中的三個知識點對學生來說難度較大。因此，筆者只選擇兩端都栽的情況進行研究，讓學生在經歷知識形成的探究過程中體驗化歸思想、數學模型思想、數形結合思想、一一對應思想，并通過形式多樣、由淺入深的習題多次強化關鍵知識點。下面是植樹問題（兩端都栽）的前測題：

植樹問題（兩端都栽）前測題

第一題：填一填。

1.同學們在全長100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），一共要栽（ ）棵。

2.看圖填一填。

總長是（ ），間距是（ ），

間隔數是（ ），棵數是（ ）。

第二題：把下面的表格補充完整。

在路的一側栽樹（兩端都栽）

（二）把生活問題轉化成植樹問題來解決。讓學生了解生活中也有許多植樹問題，比如隊形隊列、公交車站點、安裝路燈等問題都可以轉化成植樹問題來解決。

二、在解決問題中建構數學模型思想

數學模型是數學知識與數學應用之間的橋梁，筆者認為，構建植樹問題的數學模型的過程就是將數學知識應用于實際問題的過程。學生課前先通過前測題進行自主探究學習，然后圍繞典型錯誤師生共同糾正，最后把教學的重心放在構建數學模型上。在教學過程中，筆者圍繞下面兩個核心問題讓學生展開討論：間隔數與棵數之間有什么關系？總長、間距和間隔數之間又有什么關系？

學生通過觀察，有的發現“間隔數比棵數少1”，有的發現“棵數比間隔數多1”，還有的發現“間隔數+1=棵數”。那么，哪個才是正確的呢？接著筆者讓學生觀察總長、間距和間隔數三者之間又有什么關系？有的學生發現“總長÷間距=間隔數”，有的發現“間距×間隔數=總長”，還有的發現“總長÷間隔數=間距”。最后，筆者讓學生在具體的情境中構建植樹問題的模型，從而建立“一條線段兩端都栽”這類植樹問題的數學模型：總長÷間距=間隔數，間隔數+1=棵數。

為了鞏固學生對數學模型的理解，并能夠靈活運用這些數學模型解決一些生活中的問題，筆者設計了兩道題目，適當拓展植樹問題模型的逆向運用。

第一題是課堂檢測題：

我能利用“間隔數+1=棵數”的規律填一填。

1.一排同學之間有7個間隔，這一排站了（ ）個同學。

7個間隔相當于植樹問題的（ ），8個同學相當于求植樹問題的（ ）。

2.工人叔叔在道路的一邊安裝路燈（兩端都裝），一共安裝了21盞，從第1盞到最后1盞一共有（ ）個間隔。

21盞相當于植樹問題的（ ），20個間隔相當于求植樹問題的（ ）。

第二題是拓展提升題：

首先筆者出示了一道求總長的逆向思維題：園林工人沿一條筆直的公路一側植樹，每隔6m種一棵，一共種了36棵。從第1棵到最后1棵的距離有多遠？思考：6m相當于植樹問題的（ ），36棵相當于植樹問題的（ ），求“從第1棵到最后1棵的距離有多遠”相當于求植樹問題的（ ）。畫出線段圖，再列式計算。

然后再出示一道求間距的拓展提升的逆向思維題：在一條長4米的直線上，平均站著5位同學（兩端都站）。每兩位同學之間的距離是多少米？思考：4米相當于植樹問題的（ ），5位同學相當于植樹問題的（ ），求“每兩位同學之間的距離是多少米？”相當于求植樹問題的（ ）。畫出線段圖，再列式計算。

學生通過解答問題發現“間距×間隔數=總長”，還有的學生發現“總長÷間隔數=間距”，有效地訓練了學生的逆向思維。

三、在解決問題中滲透數形結合思想

數形結合是充分利用“形”來把其中的數量關系具體直觀地表示出來。在植樹問題中，用線段圖來幫助學生理解數量關系，使問題簡單直觀、易于理解和掌握。通過觀察線段圖以及表格中各個量之間的關系，由 引出“總長÷間距=間隔數，間隔數+1=棵數”的數量關系式，再由關系式引出算式“10÷5=2，2+1=3”。把線段圖、數量關系和算式緊密結合，數形巧妙相結合。

四、在解決問題中滲透一一對應思想

植樹問題中，兩端都栽是教學的重點，而這一教學內容的關鍵落腳點在于教師要密切關注學生對“間隔”概念的理解，進而解決植樹問題的基礎和起點。播放微視頻，用一豎“|”代表一棵樹，一橫“—”代表間距5米，接著再種一棵樹“|”，再間隔5米“—”用線段表示就是“”，每栽一棵樹就間隔5米，因為兩端都栽，因此終點還要栽上一棵樹，所以就多出了最后的一棵樹。這樣，讓學生通過觀察微視頻直觀感受一一對應思想。

在植樹問題教學中，讓學生經歷分析、理解、運用的全過程，在自主探究新知的過程中不但掌握了植樹問題的顯性知識，更重要的是讓學生挖掘、提煉出“化歸、數學模型、數形結合、一一對應”等隱性的數學思想，引導學生通過化繁為簡，把復雜的植樹問題轉化成簡單的植樹問題，逐步發現隱藏于不同情境中的規律，充分體驗數學思想方法在解決問題的應用。

（責編 林 劍）