工科類專業復變函數與積分變換課程教學改革探索

張瓊芬 李海權 石凱

摘 要：復變函數與積分變換是工科類專業的一門數學基礎課，通過該門課程的學習，可以培養學生應用數學知識解決本專業中遇到的問題。本課程是后繼課程如自動控制原理、信號與系統、圖形與圖像處理等課程的基礎。文章結合多年來復變函數與積分變換的教學經驗，根據實際情況，嘗試在教學中使用對分課堂，獲得了一些成果，提高了學生學習的主動性與積極性。

關鍵詞：對分課堂；教學改革；復變函數與積分變換

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）23-0120-05

Abstract： Complex Variable Function and Integral Transformation is a basic course in engineering majors. Students can obtain the ability of using mathematical knowledge to deal with practical problems by learning this course. This course is the basis for subsequent courses such as the principles of automatic control， signals and systems， graphics and image processing. Combining the teaching experience of complex variable function and integral transformation for many years， this paper attempts to use the PAD class （Presentation-Assimilation-Discussion） in teaching according to the actual situation， and obtains some results， which improves the initiative and enthusiasm of students' learning.

Keywords： PAD class； teaching reform； complex variable function and integral transformation

一、概述

復變函數與積分變換是各高校工科類專業學生繼高等數學課程后又一門重要的數學基礎課，是自動控制原理、信號與分析、電路分析、圖形與圖像處理等課程的先修課程。復變函數起源于力學、數學、物理等理論與實際問題，伴隨著流體力學、電學和空氣運動學的研究而發展起來，并為這些學科提供理論與方法上的支持，促進了工程技術的快速發展[1]。以復變函數理論為基礎建立起來的積分變換，通過特定的積分形式，建立了函數之間的對應關系，在現代工程技術領域中有廣泛的應用。因而本課程的主要內容分為兩大塊，即復變函數和積分變換。

復變函數亦稱為復分析，是高等數學中相關知識的推廣和發展。因此它不僅在內容上與高等數學相關知識有許多類似之處，而且在邏輯結構方面也非常類似。而積分變換主要包括傅里葉變換和拉普拉斯變換。

復變函數與積分變換是一門富有生命力的學科，其作為一種強有力的工具，已經被廣泛應用在各學科領域中，如自動控制學原理、信號處理、電路分析、電子工程等工程技術領域。

二、工科類專業復變函數與積分變換課程特點及教學中存在的主要問題

（一）工科類專業復變函數與積分變換課程的特點

復變函數與積分變換作為一門學科，有自己的特點和特有的研究方法，本門課程主要內容有復變函數和積分變換，根據復變函數與積分變換自身的理論體系和工科類專業設置的特點，筆者所在學校工科類專業的復變函數與積分變換已由原來的48個學時改成了32個學時，由于學時的限制，筆者只能選講以下內容：復數與復變函數、解析函數、復變函數的積分、解析函數的級數表示、留數及其應用、傅里葉變換和拉普拉斯變換。從多年的教學實踐中，筆者對工科類專業復變函數與積分變換課程進行了總結，得出以下三個主要特點：

1. 抽象性。復變函數與積分變換這門課程的研究方法實際上是高等數學的延續，但與高等數學的研究方法又有些不同，這門課的核心是建立具有良好性質的解析函數以及研究解析函數的若干方法并熟練掌握傅里葉變換和拉普拉斯變換。復變函數與積分變換是一門大家公認的很抽象的學科，其概念、理論多，相對于高等數學來說，顯得更加復雜難懂。

2. 實用性。復變函數與積分變換來源于實踐，并成為一門具有系統理論體系的學科，它已經作為一種強有力的工具被廣泛應用于自動化控制原理、彈性力學、流體力學、電路分析、語音識別與合成、信號分析與圖像處理、地震勘測、通信與控制以及電子工程等眾多自然科學領域。

3. 方法性。復變函數與積分變換的方法性很強，每一個版塊的內容都有其相應的方法，這些方法在各個工程技術領域中的應用很廣泛，在各個領域中需要根據具體的實際問題求解相應的問題，因而必須牢牢掌握這些基本方法。

（二）教學中存在的主要問題

1. 教學內容的安排不夠合理。復變函數與積分變換是一門應用非常廣泛的學科，其實用性不言而喻，但并不是每一個板塊的內容都必須精講細講。在教學過程中，筆者發現所選擇的內容還是沒能最大限度地挖掘工科類專業學生的潛能。在教學中，一方面，筆者對公式的來龍去脈和推導過程以及定理的證明過程講解得很精細，但工科類專業學生已經修過高等數學，而高等數學中的很多推理方法都可以推廣至復變函數與積分變換，因此，學生對繁雜的推理過程興趣不高；另一方面，沒能結合實際問題來講解每一個板塊的內容，原因在于本課程只有32個課時，要想在這么短的時間內充分展示每一個板塊的知識點在實際當中的應用是不現實的，也是不可能的。

2. 學生學習的興趣不濃。在講課過程中，筆者發現學生的學習興趣不是很高，筆者認為這源于這門課本身比較抽象，而教學中又沒能充分利用各種教學方式，也沒能充分展現本門課在學生相關專業課程中的應用，更沒有利用相關數學軟件進行相應的展示，而此門課的方法性又很強，因此學生普遍感覺到這門課很難學，而且學生覺得這只是一門數學基礎課，沒有認識到該課程的重要性。在學習的過程中如果出現有一部分內容沒學好，就會對下一階段的學習產生影響，所以學生對復變函數與積分變換這門課感覺很難并且枯燥無味，提不起學習的興趣。

3. 課程考核方式比較單一。筆者所擔任的復變函數與積分變換課程基本上都是以期末考試為主，總評成績=期末卷面成績*70%+平時成績*30%。這種成績的構成方式主要是以期末卷面成績為主，因而存在學生在考前突擊復習就能取得高分的情況。這種構成方式沒有考慮到學生平時學習的能力，也沒有考慮到學生學習的過程，即沒有考慮到過程性評價，因而對學生來說成績與其所付出的努力可能不成正比，更沒能充分展示學生的學習能力以及學生學習的過程。這種成績的構成方式沒能激發學生學習的積極性與主動性，更沒有激發學生學習的內在動力，因而存在很大的缺陷，需要對成績的構成方式進行相應的改革。

三、改革措施

針對目前筆者所在學校工科類專業復變函數與積分變換課程教學中存在的問題，并結合筆者這些年來講授復變函數與積分變換的實踐和體會，提出工科類專業復變函數與積分變換課程的一些改革措施，具體改革措施如下所示。

（一）精心安排教學內容

在講授復變函數與積分變換這門課時，必須要考慮到工科類專業的培養目標，工科類專業主要是培養具有基礎扎實、富有創新意識和動手能力強的人才，因此在授課中，要充分考慮到工科類專業學生的具體培養要求，針對培養要求安排適用于其專業的授課計劃。在授課過程中，筆者具體做法如下：

1. 精講緒論內容。緒論是每門課的第一次課，一定要把復變函數與積分變換的來龍去脈、研究對象、研究方法、研究內容、其與所學課程的聯系、其對后續課程的作用等內容精講。在緒論的講解中適當選取一些與學生專業相關的課程中用到復變函數與積分變換的例子，比如在緒論的講解中引入卷積在信號與系統理論中的一些應用例子。眾所周知，信號與處理中的卷積積分是將輸入信號分解為眾多的沖擊函數之和（即積分），而后求解系統對任意激勵的零狀態響應，具體例子為：設f1（t）=3e-2t？著（t），f2（t）=2？著（t）求卷積積分f1（t）*f2（t）；求信號f（t）=t？著（t）的象函數F（s）。雖然一開始在緒論的講解中還不能告訴學生如何求卷積積分和象函數，但是會跟學生說這是他們之后將要學的信號與處理這門課中將要用到的知識，學生從老師的授課過程中就會感覺到一種壓力，這種壓力是使學生學習的一種原動力，這樣就會讓學生對這門課引起高度重視，而不是覺得這只是一門數學課。學生對這門課有這種深刻印象后，他們會覺得這門課在其今后的專業課學習中非常重要，進而產生努力學好這門課的內在動力。

2. 第一章的復數與復變函數內容部分，主要是對中學階段學習的內容進行簡要的復習與補充，并在此基礎上進一步介紹復平面上的區域、復變函數的極限及復變函數的連續性等概念，為后面各章更深入地學習解析函數的理論和方法奠定堅實的基礎，因而在這一章中主要講解與高等數學中相關知識點的異同，讓學生課后自己去學這章的其余知識，并形成一篇小報告作為作業的形式上交。這是因為在高中的數學學習中，學生已經學過有關復數的基本知識，對復數已有一定的印象，雖然沒有深入學習，但是已經有了相應的基礎，也具備自主學習的條件，因而可以放手讓學生課后自主去學習相應版塊的內容，這樣也可以提高學生學習的主動性與自覺性。

3. 重點講授解析函數、復變函數的積分、解析函數的級數表示、留數及其應用、傅里葉變換和拉普拉斯變換；對繁雜的定理證明，只講授證明思路，讓學生課后自己去嘗試證明的全部經過。具體安排如下所述：復變函數研究的主要對象是解析函數，解析函數在理論和實際問題中都有著廣泛的應用。在解析函數這一章中，首先介紹復變函數導數的概念和求導法則，進而講解解析函數的概念及函數解析的充要條件；然后介紹常用的幾個初等函數及其性質，說明它們的解析性，最后舉些平面流速場和靜電場的復勢的例子，說明解析函數在研究平面場中的應用。研究解析函數的另一個重要工具是復變函數的積分，因而在復變函數的積分這一章中重點介紹柯西積分定理和柯西積分公式。級數是研究和表示復變函數的重要手段，而且這部分內容跟高等數學中的相關內容的研究非常相似，所以在解析函數的級數表示這一章中重點講授泰勒級數、洛朗級數及其相關性質。留數在復變函數中的地位不容忽視，因而在留數定理及其應用這一章中主要以洛朗級數為工具，首先對解析函數的孤立奇點進行分類，而后引入留數概念，介紹留數定理并利用留數定理計算一些難以計算的定積分和廣義積分。變換是一種常用的數學方法，恰當的變換能將復雜的問題化成簡單的問題。積分變換可以把卷積運算變成乘積運算，可以將微分運算和積分運算轉化成代數運算，從而可以將微分方程和積分方程轉化成代數方程，使得求解更加簡單方便，所以積分運算也是一種數學變換。因而在講解積分變換時要充分考慮學生專業的特點，引入與學生專業相關的具體實例，讓學生感受到復變函數與積分變換在實際當中的具體應用，激發學生學習的興趣。特別是在傅里葉變換和拉普拉斯變換的講解中插入更多與學生專業相關的例子，如在講授傅里葉變換時，引入如下例子：

通過這道例題，學生會明白傅里葉變換在頻域分析中的具體應用，讓學生覺得復變函數與積分變換這門課并不是那么枯燥無味的，而是充滿了挑戰性與神秘性，并且用處非常大，進而讓學生感覺到必須學好這門課，為后續課程的學習打下牢固的基礎。

通過這道例題的講解，讓學生明白：經過拉普拉斯變換，可以將時域中用微分、積分形式描述的元件段電壓U（t）與電流i（t）的關系，變換為s域中用代數方程描述的 U（s）與I（s）的關系。這樣，在分析電路的各種問題時，將元電路中已知電壓源、電流源都變換為相應的象函數；未知電壓、電流也用其象函數表示；各電路元件都用其s域模型替代（初始狀態變換為相應的內部象電源），則可畫出原電路的s域電路模型。對該s域電路而言，用于分析計算正弦穩態電路的各種方法（如無源支路的串、并聯，電壓源與電流源的等效變換，等效電源定理以及回路法，結點法等等）都適用[1]。這樣，可按s域的電路模型解出所需未知響應的象函數，取其逆變換就得到所需的時域響應。學生通過具體實例的求解，會更深刻認識到復變函數與積分變換在其后續課程中的重要地位，進而提高學習的積極性與主動性。

復變函數與積分變換各章節的內容是連貫的，如果斷開了某一章節，那后面的內容就難以理解和消化，因此一開始就要讓學生明白這個連貫性的重要性。此外，在講授的過程中，通過充分展示復變函數與積分變換在學生專業課程當中的應用，使學生對課程的理解度提高到一定的高度，也能讓學生切實體會到數學的奇妙之處，使學生把復變函數與積分變換這門課與專業課的學習聯系起來，而不是覺得這只是一門數學類的課程，讓他們對數學不再感到厭煩與枯燥無味，而是感覺到數學就像一個魔法，能夠讓如此多的技術領域的問題迎刃而解。

（二）采用對分課堂教學模式

對分課堂把教學分為在時間上清晰分離的3 個過程，分別為教師課上講授（Presentation）、學生課外內化吸收（Assimilation）和學生課上討論（Discussion），也稱為PAD 課堂[2]。對分課堂的核心理念是將課堂時間平均分配：一半課堂時間給教師進行講授，另一半給學生以討論的形式進行交互式學習，突出課堂討論過程。把教師講授與學生討論在時間上錯開，讓學生在中間有一周時間自主安排學習，以進行個性化的內化吸收。以討論和作業的形式強化學習的成果是對分課堂的關鍵創新。這是復旦大學張學新教授在2014年提出的具有原創意義的一種新的課堂教學模式。此模式主要適用于班級人數較少且是文科的課程，但后來也被應用到理工科課程[3-6]。

在實踐中，筆者是這樣安排課程的：只有在解析函數的級數表示、留數及其應用、傅里葉變換和拉普拉斯變換這四章內容中使用對分課堂教學模式，而且課堂中的時間分配不是嚴格按照1：1進行的，互動討論的時間一般在20-30分鐘；其他章節的內容由教師全部講授。筆者所講授的復變函數與積分變換總學時是32，每周兩次課，每次課兩學時，每學時45分鐘，在具體實施對分課堂時，第一次課的第一節課的前部分時間先復習前一周所學的內容，學生相互分享課后學習體會，相互答疑解難，并交流對習題的解答方法與過程，接下來教師與學生互動，對學生普遍存在的問題進行解答并總結，此時，教師充當了評價者的角色。每周的第一次課討論環節結束后，剩余時間由教師講授新課，第二次課也是由教師講授新課，講完新課后要求學生課后自主復習、內化吸收新內容，自己總結出新內容的脈絡并標出重難點以及完成課后習題，這些課后總結以及所寫的作業作為下次課在課堂上進行討論。現在僅把傅里葉變換這一章的對分課堂安排寫出：本章計劃用時5學時，用4個學時講授傅里葉變換的理論基礎與基本性質、？啄函數及廣義傅里葉變換和傅里葉變換的應用以及習題課，這一章實施兩次對分課堂，實施對分課堂的具體安排如表1所示。

采用對分課堂后，學生學習的積極性明顯提高了很多，并且對復變函數與積分變換這門課的興趣也提高了很多。這源于學生課后得去查閱相關資料，親自動手把該完成的作業完成，在這個過程中，學生內化吸收了課本上的知識，并轉成了一種解決問題的工具，能夠利用相應的知識點去解決與專業相關的實際問題，并且親自感受到了理論學習與實踐結合的重要性，深刻體會到了復變函數與積分變換在其專業課程中的重要地位，進而萌發了內在學習的動力。在完成相關素材的搜集與內化吸收后，學生能夠在課堂上展示自己搜集來的素材，這一方面增強了學生的自信心，也使老師和其他學生共享到了更多的資源，這是一個相互學習的過程，也是一個取長補短的過程。在這個過程中，學生學會了獨立思考，并且提高了應用所學知識解決與其專業相關的問題的能力。總而言之，采用對分課堂后，學生對本門課的學習態度發生了很大的改變，與沒采用對分課堂之前的那種慵懶的學習氛圍完全不同，學生學習的主動性提高了很多，并且對鉆研問題有了很大的興趣。

（三）改革考核方式

采用對分課堂教學模式后考核方式不再單一，而是兼顧過程性評價和總結性評價，這樣做起到了鼓勵學生平時學習，并且使得學生在本門課程的整個學習過程中都不斷地得到提高。過程性評價主要指傳統和對分作業的提交、對分課堂中的課堂討論、自測練習、學習筆記等；總結性評價指傳統期末閉卷考試模式。考核結果權重為：課堂討論（含是否出勤）、自測練習和學習筆記30分，作業30分，期末考試40分。對分課堂模式下作業的布置是為了督促學生進行課后復習，從而保證理解并掌握所學的內容。此外，為了下次的討論，教師布置幾個與學生專業相關的綜合性較強且有一定難度的題目。采用對分課堂后，學生的學習成績構成方式發生了很大的改變。以往都是按照期末卷面成績的百分之七十加上平時成績的百分之三十給學生評成績，如今是平時成績占了很大一部分，而期末成績僅占百分之四十，這種方式更加注重學生平時學習的過程，而不是靠臨時抱佛腳取得高成績，這對學生來說也是比較公平合理的，能使學生真正體會到自己的付出是值得的，也能讓學生深刻體會到主動性學習對其今后的學習以及生活有很大的幫助。

四、結束語

復變函數與積分變換是高校工科類專業學生的一門數學基礎課，通過該課程的學習，可以培養學生嚴謹的數學思維能力和應用所學知識解決與自己專業相關的問題的能力，對提高學生的綜合素質起到一定的作用。筆者結合實際教學經驗，從精心安排教學內容、采用對分課堂教學模式和改革考核方式這幾個方面進行了探索，提出了一些見解，獲得了一些成果。通過改革，使學生深刻體會到了復變函數與積分變換這門課程的重要性，提高了學生學習的積極性，也充分調動了學生課上課下學習的主動性。

參考文獻：

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