焦半徑、焦點(diǎn)弦公式在高考中的應(yīng)用

☉湖北省武漢市武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李樂(lè)恒

眾所周知，拋物線上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的所連線段的長(zhǎng)度，叫做焦半徑；過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線被拋物線截得的線段叫做焦點(diǎn)弦.焦半徑、焦點(diǎn)弦是拋物線中的重要幾何性質(zhì)，因其能與直線的傾斜角、向量（定比分點(diǎn)）、三角形面積等知識(shí)交匯，故備受命題人青睞，而成為近年來(lái)高考試題、自主招生試題中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，作為客觀題中的壓軸題，甚至解答題進(jìn)行考查，以測(cè)試考生數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的掌握和運(yùn)用.

一、考題重現(xiàn)

下面列舉5個(gè)近年來(lái)焦半徑、焦點(diǎn)弦在新課標(biāo)試卷中考查過(guò)的試題：

1.（2017新課標(biāo)Ⅰ，理10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

2.（2014新課標(biāo)Ⅱ，理10）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）.

3.（2014新課標(biāo)Ⅱ，文10）設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=（ ）.

4.（2013新課標(biāo)Ⅱ，文10）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|，則l的方程為（ ）.

5.（2016新課標(biāo)Ⅲ，文20（1）理20（1））已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ.

二、教材出處

上述問(wèn)題涉及拋物線的焦點(diǎn)弦、焦半徑的長(zhǎng)度計(jì)算.在教材中追根溯源，其出處是：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教課書(shū)《數(shù)學(xué)選修2-1A版》（人民教育出版社2007年2月第2版）（以下簡(jiǎn)稱課本）.

（1）課本第69頁(yè)例4：斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).

（2）課本第70頁(yè)例5：過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸.

三、題根延伸

下面以課本中這兩道拋物線焦點(diǎn)弦、焦半徑的“題根”，延伸出如下6個(gè)問(wèn)題或結(jié)論：

設(shè)AB是過(guò)拋物線y2=2px（p>0）焦點(diǎn)F的一條弦，A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的傾斜角為θ.

（1）拋物線中的定值問(wèn)題：y1y2=______，x1x2=______.

（2）拋物線焦半徑的長(zhǎng)度：|AF|=_____，|BF|=______.

（3）拋物線焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度：|AB|=______.

（4）焦點(diǎn)弦中最短的弦（通徑）的長(zhǎng)度=______.

（6）△OAB的面積=______.

（2）過(guò)A作AA1⊥l于A1（l為準(zhǔn)線），

則|AF|=|AA1|=p+|AF|cosθ，

圖1

注：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，將cosθ換為sinθ，sinθ換為cosθ.

四、考題解答

五、解答總結(jié)

從以上各題可以看出，解決這類問(wèn)題的常規(guī)解法，是按照解析幾何問(wèn)題求解的“三部曲”，聯(lián)立直線和曲線方程，消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程，用韋達(dá)定理得到焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，最后將目標(biāo)轉(zhuǎn)化表示，運(yùn)算量往往較大，若運(yùn)用焦半徑公式的傾斜角形式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，直達(dá)結(jié)論，起到事半功倍的效果.H