數學建模對高等數學教學的影響

劉小瓊　楊國英

摘要：為了提高中外合作辦學中高等數學的教學質量，我們結合學院多位優秀教師的教學經驗，發現數學建模思想的引入對高等數學的教學質量有很大的促進作用，因此將數學建模思想融入高等數學教學過程是可行的。

關鍵詞：合作辦學；高等數學；數學建模

中圖分類號：G642.0；G712 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）29-0184-02

一、引言

《高等數學》是所有高等院校最重要最基礎的課程之一，內容多，課時長，是理工科學生學習后續專業課程的理論和基礎。為了滿足社會主義市場經濟對應用型人才的需求，我們學校和國外高校加強合作，以中外合作辦學的形式在機械設計、電氣自動化、計算機技術等專業方向對學生展開了聯合培養，目的是培養出基礎扎實、知識面寬、動手和應用能力強，能夠從事各領域內的設計制造、科技開發、應用研究、技術管理等方面工作的創新性復合型高級專門人才。而中外合作辦學專業的學生要學習大量的外語課程，花在高等數學上的時間就會減少，若我們老師還是一如既往地堅持傳統的教學方法，學生會感到枯燥無味，難以體會到數學的高度的抽象之美，也就無法理解數學在其專業領域解決實際問題的作用。如何解決這一問題已是迫在眉睫的事，除了在教材的選取及內容的取舍方面做適當的調整外，我們需要找到一條新的教學路徑，使學生能夠認識到高等數學的廣泛的應用性，充分激發學生的學習興趣。

隨著社會的發展及計算機技術的日新月異，數學的應用不僅在工程技術及自然科學領域發揮著重要作用，而且也正以飛一般的速度滲透到如醫學、環境、人口、交通、經濟等新的領域，數學建模活動正是在這種大環境下應運而生的。數學建模活動于1985年在美國開始，我國大學生參加該項活動始于1989年，隨后，越來越多的院校和學生加入了該活動。可以說，數學建模活動是在美國誕生，在中國開花結果的。

近些年來，我們學校也對全校學生開設了數學模型這門課，并在學生掌握了一定的知識量之后鼓勵和引導學生積極參加河南省及全國乃至國際數學建模比賽，并取得了不菲的成績，僅2015-2016年就獲得全國數學建模競賽一等獎二十多項，國際數學建模競賽獎項一等獎也有數十項之多。數學建模的成功給我們帶來了一定的啟示，能否通過數學建模實際案例的分析來充分調動學生學習高等數學的積極性呢？

二、數學建模的思想與方法引入高等數學課堂的可行性和實際意義

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學語言和方法通過抽象簡化能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的教學手段，它或許能夠解釋某些客觀現象，或許能夠預測未來的發展。舉辦數學建模活動的目的在于激勵學生學習數學的積極性，提高學生解決實際問題的綜合能力，鼓勵在校大學生踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，培養創造精神及合作意識，推動大學數學教學體系、教學內容和方法的改革。通過教學過程中對具體的數學模型案例的分析，使學生更容易意識到數學工具在實際生活中的廣泛應用。參加過數學建模競賽的學生在賽后也表示，通過參加此項賽事活動，他們的自主學習能力得到了明顯的提高，分析問題也更加全面嚴謹，和同學們及老師之間的合作交流也更加密切，為他們以后步入社會打下了良好的基礎。因此將數學建模引入高等數學的教學過程是切實可行的。

數學對社會的貢獻是培養出能夠運用數學的思維方法解決實際問題的人才。由于問題本身并沒有設置所謂的標準答案，因此學生在分析問題時就可以盡可能地發揮自身的聰明才智和無限的創新思維，通過圖書館、網絡等多種資源對問題進行調查取證，分析問題，建立模型，解決問題。既然數學建模能帶來這么多的正效應，我們就可以在高等數學的教學課堂上適當引入與所講知識相關的數學模型案例，一能增強高等數學課堂的趣味性，二能激發學生學習數學的積極性，三能引導學生學習相關的數學軟件，四能提高學生的綜合能力。

三、數學建模思想引入教學的具體實例分析

實例1 極限思想的引入

極限是我們研究《高等數學》的工具，很多如導數、定積分、面積分、線積分等基本概念都是由極限給出的。所以對極限定義的理解直接影響到對后續內容尤其是對基本定義的理解和掌握。

如我們在講解重要極限2的過程中，就可以引入銀行存款中的連續復利模型，設本金為p ，計息期（1年）的利率為r，t是計息期數，如果每期結算m次，則第t個計息期滿后的本利和p 為p =p 1+ ，如果結算的次數m越來越多，且趨于無窮，則意味著每個瞬時立即存入立即結算，這樣的復利稱為連續復利，這就歸結為下面的極限：

這是連續復利的數學模型，引申到自然現象中，例如細菌的繁殖、生物的生長、放射性物質的衰減等，都是屬于連續復利問題。即利用重要極限是可以解決一大類問題的，學生在了解極限的廣泛應用之后會對之產生興趣，進而會更深入地學習函數的極限。

實例2 用微分方程解決實際問題

在微分方程的教學過程中，當研究對象是與時間相關且具有動態變化的特征時，就可以采用建立微分方程模型的方法來解決。如我們在講解可分離變量的微分方程時，就可以引入物理學中放射性元素鈾的衰變規律，由于鈾的衰變速度 與其含量M成正比，故可得微分方程

其中λ是衰變系數，從而求得鈾的衰變規律為

其中M 是t=0時鈾的含量。

另外物理學中電流強度隨時間變化的規律、質點在阻力作用下的運動規律、無阻尼自由振動的運動規律等，這些都可以利用不同種類的微分方程去推導，學生在解方程的同時亦可以了解物理學知識點的應用背景，提高學習積極性，對微分方程理論知識的掌握也會逐步加強，為他們以后學習好大學物理打下良好的基礎。

實例3 用MATLAB求解實際問題

傳統的高等數學求解需要依靠復雜繁瑣的計算和驗證，即使認真細心，出錯也在所難免。在現在的數學建模競賽里面，實際問題需要大量的數據作為支撐，我們需要對這些數據進行分析整理計算進而作圖，而這些工作通過手動計算是難以實現的。因此我們有必要開設相應的數學實驗課程，把一些常用的數學軟件融進高等數學的教學過程，使學生掌握相應的數學工具，這樣不僅可以免去繁瑣的計算，又能簡化某些復雜的求導求積分解方程等，還可以對某些圖形進行直觀的演示，豐富了學生的空間想象能力。

MATLAB就是數學建模中常用的數學軟件之一，借助該軟件可以解決高等數學中很多的問題。如學生在學習多元函數時，在對其所對應的圖形畫不出來，空間想象能力又不太豐富的情況下，就可以借助MATLAB軟件來畫圖，畫出的圖還可以360度旋轉，既滿足了學生的好奇心，又使學生對空間解析幾何產生了無限的興趣和想象。當然MATLAB除了畫圖之外，還有很多其他的優點，如可以求極限，求導數，求積分等。這些在數學中看來很難解決的問題，在MATLAB軟件中只要調用命令輸入函數即可得到相應的結果，大大節省了時間，還促使學生去學好數學軟件以便解決實際問題。

四、結束語

將數學建模的思想及方法很好地融入到高等數學的課堂中去，可能會牽涉到很多的改變，如教學目的、教學內容、授課課時等，這需要我們在教學過程中逐步地修正和改進。另外，數學軟件的教學和使用需要在計算機上機操作，因此也會對教學環境提出新的要求。近些年來，學校積極組織學生參加數學建模競賽，促使學生利用所學的數學知識去決實際問題，在此過程中，學生收集數據的動手能力、合作能力都有大幅度提高，學習效果也會越來越好。

參考文獻：

[1]姜啟源.數學模型[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]孟津，王科.高職高專數學教學改革的必由之路[J].成都電子機械高等專科學校學報，2007，（3）：41-45.

[4]周君靈.淺談高等數學與學生創造性思維能力的培養[J].高等數學研究，2006，（4）：47-48.