有效發展學生的幾何直觀能力的教學淺悟

陳云

[摘 要]幾何直觀不是僅僅體現在“圖形與幾何”的學習中，而是滲透在整個數學學習的過程中，而且幾何直觀更利于簡明、直觀地呈現復雜的數學問題，是分析問題和解決問題的重要方法之一。借助實際教學案例的分析以及對教材的解讀，從堅實幾何直觀的思維基礎、提升幾何直觀的活動經驗、凸顯幾何直觀的特殊作用三個方面闡述小學數學課堂中發展學生幾何直觀能力的方式和方法。

[關鍵詞]幾何直觀；活動經驗；數形結合；表征

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）23-0012-04

《義務教育數學課程標準（2011年版）》里的十大核心詞中，“幾何直觀”是個新詞，在一線教師中引起的困惑特別多。有的教師從字面上理解，認為“幾何直觀”是專屬于“圖形與幾何”領域的關鍵詞，這是不恰當的。我們來看數學課程標準中關于“幾何直觀”的描述：主要是指利用圖形描述和分析問題；借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果；幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。可見，幾何直觀不僅體現在“圖形與幾何”的學習中，更是滲透在整個數學學習的過程中，而且對于學生來說，幾何直觀更利于簡明、直觀地呈現復雜的數學問題，是分析問題和解決問題的重要方法之一。在小學數學課堂教學中，有效發展學生的幾何直觀能力需要多方面的協同配合，要重視教材中圖形表象和圖形特征的教學；要有意識地培養學生通過構造圖形來表征問題；要結合不同領域的數學實例，讓學生逐步學習和掌握“畫數學”和“數形結合”的基本技能，增強學生運用幾何直觀的意識和能力。

一、重視圖形表象教學，堅實幾何直觀的思維基礎

幾何直觀的功能是多方面的。一方面，借助幾何直觀，能夠促進學生在觀察的基礎上進行分析，更直接地發現方法或思路，從而形成結論，這是幾何直觀的發現功能；另一方面，借助幾何直觀，抽象的數學概念和數學規律可以找到“依托”，并變得形象生動，有利于學生把握知識的本質，這是理解功能。各版本的小學數學教材都十分重視幾何直觀的這些功能，注重運用圖形表象進行數學問題的表述和分析，注重直觀示意圖與數學語言之間的合理轉換。以北師大版教材（2011年版）為例，它就有很多借助見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關系，幫助學生對數學的研究對象（即空間形式和數量關系）進行直接感知的教學內容。總體來看又可分為三種情況。

教材借助這些“看得見的東西來幫忙”，充分發揮實物圖、小棒圖、計數器、點子圖、方格圖、示意圖、集合圖、數軸、圖表等的直觀作用，幫助學生學習抽象的數學知識。教師應充分利用教材提供的這些素材，重視幾何直觀的教學。例如，在乘法計算的教學中，北師大版教材較多地引入“點子圖”，幫助學生理解算理、建構算法：三年級上冊“螞蟻做操”一課首次借助點子圖探究兩位數乘一位數（12×4，如圖4）的計算方法，學生在拆數的過程中將新的問題轉化為已有知識（表內乘法或口算乘法）來解答，學生因分法不同產生了不同的計算方法，這既是鼓勵學生算法多樣化的一個有價值的模型，又是后面簡便計算的一個初始蘊伏（第一種方法拆數后運用了乘法結合律，第三種方法運用了乘法分配律）。

當然，學生不容易想到用拆數的方法來圈點子圖，教材為此在二年級下冊的相關內容教學中就做了必要的鋪墊（如圖6），如果教師在前面的教學中就對這一部分內容有足夠的重視，這里學生的想法就會水到渠成了。雖然指導學生用圈點子圖來解釋“乘”的理由和結果，會在一定程度上擠占學生的解題時間，但不應該被認為是多此一舉的事情，教師需要借助這種有形的方式讓抽象的計算有所依托。當然形可以是有形可視的，也可以是無形想象的，教學到了一定的階段，學生確實就可以憑著想象，在腦子中畫出圖來，不再需要手上具體的動作，手上即使有動作，也不過是無意義的比畫，配合頭腦的想象而已，而這正是長期訓練給學生留下的數學感。有了這樣的數學感，學生才會進一步運用多種圖形和符號直觀地理解知識、分析問題、解決問題，并進行數學思考。

二、構造圖形表征問題，提升幾何直觀的活動經驗

在解決一些稍復雜的數學問題或認識一些新的數學概念時，總會有一些抽象的、信息量龐雜的、與學生的理解能力有一定距離的內容，這個時候教師要進行示范，通過構造圖形來表征問題、尋求解法，并適時、適度地給學生提供參與這類解題活動的機會，以求逐漸增強學生運用幾何直觀的意識和能力，以及相應的數學活動經驗。那么作為教材圖形表象內容的補充和延伸，我們還可以嘗試多元表征、組合表征、以圖求解等。

1.多元表征優于單一呈現

教學“一位小數比較大小”時，傳統的教學方式是利用實際生活中的物品價格創設情境：教師出示一根橡皮筋（ 0. 1元）和一塊橡皮擦 （0. 5 元），學生通過日常生活體驗比大小得出0. 1元（1角）小于0. 5元（5角），隨即抽象出 0. 1 < 0. 5。這種教學是通過口耳相授，即言語化的表征。此時，如果能給出線段圖，就能在鞏固小數意義的同時也比較了小數的大小（如圖7）。當然，這還不夠，出示等分圓（如圖8），利用陰影部分既可以直觀形象地比較小數大小，又可以將分數與小數的意義再一次緊密相連，進一步強化小數與分數的轉化關系，使知識之間建立實質性的聯系，便于今后通過當前的知識和問題信息得出新的知識或信息。可見，圖形的展示對知識形成了一種視覺化的表征，結合本身的言語化表征的教學，能促進學生形成新的認知圖式的進程，從而提高課堂效率。

2.組合表征勝于離散表達

幾何直觀在數學學習中起著關聯、理解，甚至提供方法的作用。在數學的海洋中，知識間的關聯性給數學學習搭建了可以攀爬的階梯，教師要注重溝通這種聯系，通過圖形的直觀性質來闡明這種聯系，形成知識體系，促進學生思維。“圖形直觀—數形結合—組合呈現”無疑是表達復雜內容的較好方式，學生借助幾何直觀的形象支撐把知識融會貫通了，也就達到了孔子所說的“舉一隅能以三隅反”，這是任何一種離散表征所不能達到的效果。

例如，北師大版教材（2011年版）六年級下冊“圓柱和圓錐”這一單元是小學階段立體幾何的最后一部分內容，也是學生今后學習立體幾何的重要基礎。教材安排學生集中認識圓柱和圓錐，這樣有利于學生更好地對比圓柱與圓錐的特征。教學新課之后，我做了組合表征（如圖9），通過“提取類比物—建立猜想—觀察比較—發現驗證”，在對比中溝通聯系，在聯系中深化認識，在認識后強化記憶，不僅縮短了知識間的距離，還能減少了記憶容量。雖然，部分內容學生暫不能計算出圖9中的所有結果，但不妨礙學生對它的討論和猜想，這是幾何直觀帶給學生的學習樂趣和無限可能。

3.以圖求解利于激發興趣

直觀是抽象思維問題的信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象可以反復地給抽象思維帶來可觀察、可操作、可變通等技巧。憑借幾何直觀，以圖求解實現了代數問題與圖形之間的互相轉化，不僅使解題過程簡潔明了，還能為研究和探究數學問題提供興奮點。

例如，在教學“角的測量”后，教師如果給出特定的角或要求學生自己畫個角進行測量，學生一定興味索然。我在教學中創設了“哪個位置更容易進球？”的問題情境，借助幾何直觀激發了學生探究的欲望。

師：足球比賽中， A點、B點、C點都是球門前的位置，你認為哪個位置更容易進球？

生1：A點更容易進球。

師：你確定嗎？（學生沉默）

師：那B點和C點呢？

生2：B點。

生3：C點。

師：看，沒有找到證據就會產生爭議。在數學中，我們不能僅憑直覺，得用一些數據來說明。你能用數學的知識來解釋你的答案嗎？

（有的學生在搖頭，有的學生在沉思……我默不作聲，拿出尺子以B點為頂點描出了一個三角形，再連接A點與球門的左邊頂點，并作出了角的標記，如圖11所示）

生4（眼前一亮）：是不是與角度有關？

師（微笑著點頭）：動手畫一畫、量一量，用數據來說明A點、B點、C點哪個位置更容易進球。

……

可以想象，接下來的數學活動是多么有趣，畫角、量角不再生硬，還讓學生解開了最感興趣的足球比賽中的“心結”。

三、結合不同領域實例，凸顯幾何直觀的特殊作用

幾何直觀需要滲透在數學學習的各個領域，“圖形與幾何”領域自然是不用說的，事實上，教材在“數與代數”“統計與概率”“實踐與綜合”領域所滲透的幾何直觀內容也是非常多的。教師應結合多領域的數學實例，不斷凸顯幾何直觀的特殊作用。

1.代數直觀

問題的解決離不開大量的信息，文字信息通常以靜態方式呈現，而幾何直觀可以化靜為動，使文字具有動感，變得鮮活。在解決數量關系稍復雜的問題時，用畫圖的方式呈現相關信息更利于梳理數量關系，便于解題。其中，線段圖無疑就是最好的“幫手”。以北師大版教材（2011年版）為例，可以看到教材從一年級的加減法到六年級的百分數解決問題，線段圖在很多“數與代數”領域中都起到了不容忽視的作用。當所有信息匯集在線段圖上時，幾何直觀就開啟了學生探索的大門，多元信息在這里碰撞、組合、沉淀。當學生感受到線段圖能容納題中所有信息時，原題以文字呈現的內容已是多余，此時教師可去掉題目的文字信息，這樣圖表直觀功能立刻得到凸顯。

例如，“乘坐出租車”的問題：“某地出租車定價是4公里以內（含4公里）起步價10元，4公里到15公里之間每公里收費1.2元，15公里以上的路程每公里要提價50%，不足1公里的按1公里計算。王老師去該地出差，從長途汽車站下車后，他用‘滴滴打車叫了一輛出租車，‘滴滴打車顯示總路程為18.5公里。請問，王老師要準備多少車費？”問題中的信息量很大，對于學生來說，要整體把握信息，并有效提取和運用信息不是一件簡單的事。教師可引導學生將紛繁的信息梳理成圖文結合的線段圖（如圖12），摒棄大量的文字，學生的思路瞬間明晰。有了這樣的圖示，就可將原題隱去，“柳暗花明又一村”的感覺就能讓學生感受到幾何直觀的強大力量。

2.統計直觀

“統計與概率”所提供的“運用數據進行推斷”的思考方法已經成為現代社會一種普遍適用并且強有力的思維方式。這一部分知識是最接近數學本質的。因為生活中與數學相關的大部分知識是無法用具體的表達式來刻畫的，而統計學恰恰制定了較為合理的策略（這其中最重要的策略就是幾何直觀），解決了難以用簡潔的語言來刻畫數學模型的問題。以北師大版教材（2011年版）為例，選部分內容來看“統計與概率”知識在小學階段的發展過程（如圖13）。

可以看出，教材是按照由簡單到復雜、由具體到抽象的順序安排上述內容的。二年級限于用有特定代表意義的圖形“一一對應”表達簡單數據；三年級開始用一個符號（正字）來表示相應數據，符號表示使統計的記錄和計量更加便捷；到了四年級，隨著數據的擴大，“一一對應”的表達方式不再適用，于是開始用一個符號表示一些數據（如一個雞蛋圖形代表100個雞蛋的數量），并最終抽象成條形統計圖“1格表示100個單位”；五年級多組數據綜合表征的復式條形統計圖和復式折線統計圖能夠更輕松直觀地呈現大量信息；六年級的扇形統計圖已經是高度抽象的數量分配示意圖的載體。

沿著教材的路徑，教師在教學中要極力突出圖形在描述事物和分析問題中的演變過程，抓住點、線、面等幾何直觀在表達數據時逐步發展、漸漸豐滿的數學魅力。首先要學會畫圖，畫出信息；其次要學會讀圖，讀出關系；最后要學會想圖，想出知識。統計的啟蒙活動必須借助數學中的各類形體，充分使用學生原有的、處在生活經驗狀態的幾何認知，使得學生能夠熟練地描述與表征統計的對象和數量。這些探索的活動需要安排在不同的學習層次中，讓學生透過幾何直觀的逐漸演變，從簡單到復雜、從單一到多元，發現統計的多種表征方式，從而促進 “統計與概率”思維的發展。

3.綜合直觀

“綜合與實踐”領域溝通了生活中的數學與課堂上的數學的聯系，使得幾何、代數和統計與概率的內容交織在一起出現，使發展學生的綜合應用知識的能力得以實現。“綜合與實踐”對于改變學生的學習方式，讓學生在學習過程中接觸到一些有研究和探究價值的題材和方法，使學生全面認識數學、了解數學，是數學在學生未來的職業和生活中發揮作用等方面具有重要意義。以北師大版教材（2011年版）為例，選取二年級至六年級“綜合實踐”（數學好玩）部分內容（如圖14）來看在“綜合與實踐”領域中教材是如何運用幾何直觀的。

不難看出，二年級是圖形的直接表達；三年級清晰呈現對象的關系；四年級有了數形結合；五、六年級是圖形和圖表的綜合表達。教學中，在實物直觀（即實物層面的幾何直觀）階段，教師要引導學生借助與研究對象有著一定關聯的現實世界中的實際存在物（如：長方形彩旗、三角形彩旗），并以此作為參照物，進行形象的思考，獲得針對研究對象的初步判斷。與其同時，還要激發學生經歷圖形抽象的過程，能根據物體特征抽象出幾何圖形（如：用√表示紅花，×表示黃花；用三角形表示上衣，正方形表示褲子）。接下來，學生需要學會“依據語言的描述畫出圖形關系”（如：一條連線表示一種搭配方案）。借助這些幾何直觀，就能幫助學生對復雜關系進行一定程度的抽象而形成半符號化的直觀（如：數形結合、圖表等），并且在分析圖形的基本要素之間的相關關系中解決綜合實踐問題。只有擁有豐富的幾何直觀活動經驗并且善于反思的人，他的綜合實踐能力才有可能達到更高的水平。

總而言之，幾何直觀是一種重要的思維策略，掌握幾何直觀的基本步驟，有助于思維結構的平衡和優化，能有效提升直觀把握數學本質和解決問題的思維效能。正如美國數學家斯蒂恩所言：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法。”在實際教學中，怎樣滲透好幾何直觀、怎樣運用好幾何直觀、怎樣發展好幾何直觀，我們要探索的還很多。

（責編 金 鈴）