探究型教學法在高等數學課堂教學中的實踐

屈娜 李應岐 劉華

摘要：高等數學作為大一新生的一門基礎理論課，對培養學生的創新能力具有重要的作用。本文以“泰勒公式”為例，探討了在高等數學課堂教學中如何實施對學生創新能力的培養。

關鍵詞：探究型教學；泰勒公式；教學設計

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）42-0197-02

一、引言

高等教育對培養高素質和高質量的創造型人才具有重要意義。而高等數學是作為理工科專業的一門重要的必修基礎課程，由于其內容上的抽象性、嚴謹性、應用性以及整個框架的系統性等特點，是培養學生理性思維品格和思辨能力的重要載體，是開發學生潛在能動性和創造力的重要基礎。泰勒公式是近似計算和理論分析中的一個重要內容，本文在該內容的教學過程中，采取了探究型教學方法，取得了良好的教學效果。

二、提出問題

高等數學研究的主要對象是函數，而要研究函數，首要的問題是解決函數值的計算。比如求y=sinx在x=1處的函數值。但sin1在我們解決實際問題中卻并不可用，結合實際問題的需求，鼓勵學生保持探索未知的積極性。

三、“泰勒公式”的教學實施

（一）探究1——尋求給定函數的近似公式

對于一般函數，為了便于數值計算和理論分析，希望用一些簡單的函數來逼近它，即用簡單函數作為給定函數的近似公式。什么樣的函數可稱為簡單函數呢？通過學生的交流討論分析，得到作為近似公式的函數為多項式函數。

將問題歸結為：尋找多項式函數P（x），在給定點x鄰域內，作為f（x）的近似函數。而近似會引起誤差，將其記為r（x），自然希望r（x）盡可能的小。所以問題轉化為：選擇恰當的多項式函數P（x）來近似f（x），使r（x）盡可能小！借助于幾何的直觀性來分析。

通過觀察以上結果發現：多項式函數P（x）與f（x）的近似程度，取決于它們在點x處的各階導數值是否相同，引導學生做出猜測：

當P（x）=f（x），（k=0，1，2，…）時，

r（x）=f（x）-P（x）會比較小。

（二）探究2——滿足上述條件的P（x）的存在性與唯一性

假定多項式函數P（x）如下：

P（x）=a+a（x-x）+a（x-x）+…+a（x-x）

其滿足條件P（x）=f（x），（k=0，1，2，…），據此確定系數并討論多項式的唯一性，得到如下多項式。

定義：將多項式

P（x）=f（x）+f（x）（x-x）+（x-x）+…+（x-x） ①

稱為f（x）的n次泰勒多項式。1715年，法國數學家泰勒提出一個很好的創意：用該多項式函數來近似一些三角函數、指數函數等，我們稱其為泰勒多項式。

（三）探究3——尋找誤差估計式

用泰勒多項式來近似y=sinx，并借助于Matlab軟件在幾何上觀察他們的逼近程度。隨著多項式次數的增加，P（x）與y=sinx的逼近程度越來越好，但誤差到底有多大呢？聯系已知，注意到如果用一次泰勒多項式來近似f（x），實質上就是微分中的“以直代曲”，產生的誤差是（x-x）的高階無窮小。如果用P（x）來近似f（x），它產生的誤差是否為（x-x）的高階無窮小呢？通過分析證明，得到本次課的定理1。

定理1 設f（x）在x處具有直到n階的導數，則存在唯一的n次多項式P（x），使得

f（x）=P（x）+r（x） ②

其中r（x）=o[（x-x）]，（x→x），稱為peano型余項，P（x）即為泰勒多項式。

利用公式②，在x附近，用P（x）近似f（x）時，誤差為（x-x）高階的無窮小，精確度非常高，但是注意到誤差僅為階的估計，未給出準確的誤差范圍，我們能不能對誤差做出定量的估計呢？先來分析r（x）的性質。由前面的討論，r（x）滿足以下三個條件：

各階可導并且r（x）=0（k=0，1，2，…），r（x）=o（（x-x）），x→x

由條件r（x）=o[（x-x）]，（x→x）知道，它至少是（x-x）的同階無窮小。因此，我們不妨來看看會是什么樣的結果？分析兩函數的性質，聯系已知，啟發學生回顧牽涉到兩函數增量比的定理——柯西中值定理，通過理論證明得到定理2。

定理2 設f（x）在x的某鄰域內具有直到n+1階的導數，則對于任意的x∈（a，b），有唯一的n次多項式

P（x），使得

f（x）=P（x）+r（x） ③

其中rn（x）=（x-x）稱為lagrange型余項，P（x）即為泰勒多項式，ξ介于x與x之間。

泰勒在1715年提出了用多項式函數近似一般函數的創意，雖然這個創意非常好，但是由于他沒有給出這種近似的誤差估計，所以很長一段時間并沒有引起大家的注意。40年后，即到了1755年，由歐拉和拉格朗日應用于自己的工作之后，泰勒公式的重要性才被確認，而且拉格朗日給出了誤差的精確估計式之后，在1772年將其稱為泰勒中值定理。

四、小結

在泰勒公式的教學過程中，由教師提出問題，作為學生探究的出發點，逐步根據需要引入概念和定義，課堂氣氛變得十分活躍，學生能夠積極思考，參與到定理的探索、發現、證明過程中來，對培養學生的創新思維能力具有非常重要的意義。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學[M].7版.北京：高等教育出版社，2014：314-320.

[2]劉雄偉，朱建民，劉建平.問題式課堂教學設計案例分析[J].高等教育研究學報，2013，36（1）：67-70.

[3]章勁鷗.高等數學探究式教學案例研究[J].寧波教育學院學報，2015，17（1）：55-57.

[4]吳瑞玲.秘書實務課程教學中情境教學法的應用探究[J].廣西教育，2015，（35）.

[5]解迎剛，蘇中，吳韶波.情境教學法在“數據處理與智能決策”教學中的應用[J].科教文匯（下旬刊），2016，（02）.

[6]吳瑞玲.秘書實務課程教學中情境教學法的應用探究[J].廣西教育，2015，（35）.