基于核心素養的深度數學課堂教學研究

祝浩軍

摘 要：聚焦深度的數學課堂，應讓學生在自主的、豐富的數學活動中平等交流，積極思考，自主積累數學活動經驗，提升學生的數學素養。要實現基于核心素養的深度數學課堂，教師要把握教材，放手活動與交流；要引發思維，形成數學思想方法；要研發習題，促進學生思維發展和習慣養成。

關鍵詞：深度課堂；數學教學；數學思想；數學活動經驗；核心素養

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2018）27-0076-03

第二學段“圖形與幾何”領域的教材，素材豐富，圖文并茂，有利于學生自學思考、實踐探究，有助于發展學生的空間觀念、形象思維。不少教師在“圖形與幾何”的教學中，比較重視學生觀察能力的培養，也比較關注圖形特征、計算公式等知識的講解傳授，卻忽視了豐富的數學活動及數學思想方法的引導，也忽視了學生動手實踐、合作探究與思考交流的學習經歷，這樣的數學課堂教學沒有深度，從而在一定程度上影響了學生核心素養的發展和能力的提高。例如，在一次課堂教學調研中，在學生學完“圓的面積”后，教師讓學生解答：正方形面積是7平方厘米，求圓的面積是多少平方厘米？某班37人，有16位學生面對此題束手無策。學生的回答是：這個題目中沒有圓的半徑，而且圓的半徑也無法求出，圓的面積也就無法求出來。課堂中教師過于強調運用公式，要求學生牢牢抓住公式：“求圓的面積必須知道圓的半徑，如果告訴我們圓的直徑、周長，必須先求出圓的半徑，再根據公式求出圓的面積。”課堂中過多的講解、不足的探究與實踐活動封閉了學生解題的思維。在某區畢業班數學教學質量評估中，有這樣一題：我們都知道，梯形面積的計算公式是“（上底+下底）×高÷2”，那么，為什么要“÷2”呢？請用寫一寫、畫一畫的方式表達你的想法。有不少學生寫了“因為有上底和下底，兩個底了，就需要÷2”，表達不清；有的學生雖然畫了圖示，但思考過程的文字表述與畫圖沒有結合起來。課堂教學中沒有重視讓學生自己動手實踐，忽視借助圖示直觀推導梯形面積公式的過程，沒有落實表述自己的發現規律環節，削弱了推理、想象和數學表達能力的培養與促進。那么，在“圖形與幾何”的教學中，如何聚焦課堂深度，幫助學生有效積累數學活動經驗，提升數學素養呢？

一、要放手，把握教材，放手活動與交流

蘇步青教授曾說：“看書要看到底，書要看透，要看到書背面的東西。這背面的東西，就是數學的思想方法。”一個理想的數學學習過程應該如此：學生積極參與、獨立思考、主動探索、自主選擇、自由表達、富于想象、敢于否定和充滿激情。而實現這一理想的前提在于教師把握好教材，創造性地運用教材，充滿自信地放手，讓學生自主地開展豐富而有效的活動，進行平等而寬松的交流。

1.能夠“獨立理解”的，讓學生自主活動

教師要把握學情，善解“生”意，要能夠找到與學生需要相吻合的言行，提供最好的指導和交流方式，因勢利導，達到水到渠成、事半功倍的效果。例如，在“圓環的面積”這一課的學習中，學生對圓環不理解，教師可讓學生找圓環、畫圓環，再根據課本上的圖自己做一個圓環。通過一系列動手操作活動，學生不僅理解了圓環的概念，而且很快推導出了圓環的面積計算公式。學生對自己通過操作實踐學到的知識不但記憶牢固，而且能靈活應用。

2.能夠“互相啟發”的，讓學生合作思辨

課堂中，教師可以設計富有操作性的合作探究活動，讓學生一起動手、動眼、動腦、動口，在活動中積極探究，親身體驗，積累一些直接的經驗，培養學生合作與交流能力。例如，在“梯形的面積公式”教學中，教師引導：平行四邊形面積和三角形面積都與底和高有關，請同學們大膽猜測，然后探究驗證。在學具袋中選擇各種梯形（有直角梯形、一般梯形等若干個，有完全一樣的，也有不一樣的），然后分組探究：利用手中的學具，選擇你所需要的梯形，或拼、或剪……轉化成一個以前我們所學的圖形；想一想可以轉化成什么圖形，所轉化成的圖形與原來梯形有什么聯系；說一說發現了什么，并嘗試推導梯形的面積計算公式。學生小組合作，操作、觀察、交流，教師參與討論，學生交流匯報。（教師根據學生的回答借助課件演示）生1：我選擇兩個完全相同的直角梯形，拼成了一個平行四邊形，也可以拼成一個長方形。每個梯形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半。生2：我們只是找了兩個完全一樣的一般梯形，只拼成了一個平行四邊形。這個平行四邊形的底等于梯形上底和下底的和，高等于梯形的高。面積就是拼成的平行四邊形的一半。生3：我用剪刀，把梯形剪開分成兩個三角形。不同的兩個底乘高除以2，就是上底×高÷2+下底×高÷2。生4：我找了一個等腰梯形，對折一下，剪開拼成了一個長方形。學生再通過相互交流、互補，使結論更加完善，得出梯形面積的計算公式：梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。學生能想到、做到、說到的，教師不限制、不替代、不暗示，為學生提供了一個充分發揮才智自己想辦法解決問題的思維空間，在這里學生可以按照自己的想法任意剪拼一個梯形，擺拼兩個梯形，使學生經歷“嘗試——失敗——成功”的過程，培養學生探究、發現和推理能力。教師做好引導，落實交流，協助學生完成個性化的推導，糾正學生的錯誤猜想，鞏固正確的推導思路。

3.可以“實踐體驗”的，讓學生操作演繹

數學課程標準的一個重要理念就是為學生提供做數學、“玩”數學的機會，讓學生在學習過程中去體驗、去經歷數學，積累經驗，體驗屬于學生自己的數學思維方式和解決問題的實踐途徑。例如，在“面積和面積間的進率”的教學中，教師分別出示1平方厘米、1平方分米的正方形。師：請大家觀察這兩個正方形，你能否大膽猜測一下，1個大的正方形可以剪成多少個小的正方形？平方分米和平方厘米之間的進率是多少？生1：我猜可能是100。生2：我猜可能是1000……師：你有什么辦法來驗證你的猜想呢？請你認真思考一下，動手試一試。有的學生用1平方厘米的小正方形在1平方分米的正方形上擺；有的學生用尺子測量起1平方分米的正方形邊長，并用鉛筆畫出邊長是1厘米的正方形分解起來；也有學生將大正方形對折；有的同桌之間小聲討論著……當學生處在一種積極探索的心理狀態時，就會興趣盎然地投入實踐活動。在這個過程中，目標是明確的，思維是發散的，操作活動是自由的，最后結論是驗證后得到的。自主活動后的交流過程，更是充滿個性化的感受和見解，同伴之間通過合作交流，可以學習研究問題的多種方法，促進認知的個性化發展，探索與思辨、實踐與創新能力也能得到培養。這樣的課堂是有深度的，留給學生感悟是深刻的。

二、要引領，引發思維，培育數學思想方法

數學課程標準中指出：數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、演繹、模型等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數學思想。深度數學課堂要基于學生是數學學習的主人，積極發揮學生的主體地位，讓他們動腦、動手、合作探究，經歷分析、思考、解決問題的全過程，感悟數學思想，促進數學理解。教師要成為忠實的思維導航員，做好“核心問題”的引領，為學生開闊思路，優化方法。

1.適時提供“媒體”直觀，在觀察中培育

心理學家研究表明，學生思維是從具體形象思維為主要形式逐步過渡到抽象邏輯思維為主要形式。即便到了高年級，他們的抽象思維也離不開具體形象思維的支持。課堂教學中，教師要利用感性材料的直觀形象，特別是計算機多媒體形象化的演示活動，把靜態的數學知識轉化為一種動態的活動過程，引導學生結合動態的畫面更好地理解數學知識的形成過程。例如，在“圓柱體積計算公式”的探索與推導中，教師可通過動態的演示過程（見下圖），幫助學生清楚地了解圓柱轉化成近似長方體的過程，明確圓柱體體積計算公式V=Sh的來歷，理解計算公式規定的合理性：柱體體積=底面積×高。

2.精心編制“思考”流程，在點撥中培育

課堂教學是否體現數學的本質，這是很關鍵的。深度教學一定要著眼于提高學生的數學素養，以學生的學習活動對學生的思維發展是否有促進作用來衡量，把握教材、學生經驗和教學目標，編制“思考”流程。例如，特級教師牛獻禮的“三角形的穩定性”教學片段中，理解了三角形的定義后，師：我們再畫幾個三角形來理解意義。（出現基本圖形三個點）以這三個點為頂點畫一個三角形。學生上黑板畫三角形。師問：三個頂點在三角形中起什么作用？生：固定位置，固定大小……（結合學生的描述，課件體驗）師：還有沒有不同的見解？你們都認同嗎？我們再來想象一下。請同學們閉上眼睛，在大屏幕中想象出三個點，再想象出以這三個點為頂點的一個三角形，看到三角形了嗎？它的位置看到了嗎？看到它的大小了嗎？用手比一比大小。睜開眼睛吧。師：你們能夠根據三個點就想象出三角形的位置和大小，已經具有了學好數學圖形的重要品質。課件演示：出示三條邊，拉開點距離。用這三條線段圍成一個三角形，讓三角形旋轉后觀察，你有什么發現？生：位置變化了，形狀大小相同，相對角的大小不變。生：看來三條線段的長短可以確定三角形的大小和角的大小。（課件閃爍，抽取一個角）師：你會把這個角變大或變小嗎？生：兩邊叉開越大角就越大，叉開越小角就越小了，（課件演示變化過程）師：（出示教具）如果老師想讓這個角固定不變，你有辦法嗎？學生想辦法。師引導：來，我們合作一下，做成三角形。檢驗一下，這個角度的大小還變嗎？（學生拉）是誰固定了這個角度的大小？揭示：三角形具有穩定性。（板書：穩定性）教師針對“三角形的穩定性”這個核心知識點，展開了最有利于學生思考的引導：固定頂點畫三角形，觀察、想象三角形，操作角的大小變化。學生聚焦了最本質的問題，由淺入深，深刻地理解了三角形的穩定性。

3.大膽創設“想象”情境，在說理中培育

例如，在“平面圖形的總復習”的教學中，由線及平面圖形的教學環節，教師這樣引導：我們小學階段已經學過哪些平面圖形？閉上眼睛，你能一下子想起來嗎？師：我先畫一個平面圖形，請同學們看黑板。畫了兩條線段，形如一個角（見下圖）。師問：根據你的經驗，猜一猜，老師將要畫什么圖形？生1：猜測是三角形，還要畫一條邊。生2：我猜測是平行四邊形，再畫與它平行的對邊各一條，因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。生3：我猜測畫只有一組對邊平行、另一組對邊不平行的四邊形、梯形。師質疑：有可能是正方形、長方形嗎？為什么？生：長方形、正方形的四個內角都是直角。不可能是這兩種平面圖形，更不是圓。這個環節中，教師運用多媒體投影出六種平面圖形，形象而直觀，讓學生眼睛一亮，注意力一下子集中了。而后，教師組織學生猜一猜：老師要畫什么平面圖形呢？這樣就喚起了舊知，引導學生對小學階段平面圖形的回憶，回顧平面圖形特征，猜測、說理的過程，促進了學生的積極思考和對數學的理解，培養了學生合情推理的能力。

三、要研習，研發習題，促進思維發展和習慣養成

研習，指的是研究習題，形成思想。數學專家說過：數學訓練的第一層次是“知識堆積”與“解題術”式的；第二層次是“思維方法”和“解題方法式”的；第三層次是“數學思想”和“數學觀念”的，它雖抽象，但功能性強，是對前兩個層次的指導和引領。所以，有深度的課堂教學，教師必須科學地、有層次地設計練習，培養學生良好的思維習慣，形成數學思想和觀念。

1.提供“一圖多解”，領悟“聯系”

學習題材的多樣化、豐富性，同一問題、圖表解法的多樣性，都能有效促進學生數學思考和積極交流。但在課堂上，學生之間存在差異，他們的認識水平和理解能力也有深有淺，但不同的解題方法有其內在的必然聯系，需要教師加以引導、指點，讓學生領悟其內在的聯系。例如，教學“長方形、正方形面積”時，教師出示右圖（單位：厘米），它的面積是多少平方厘米？解題時，很多學生都將其分割成兩部分來計算，得出：10×3+（6-3）×4=42（平方厘米）。6×4+（10-4）×3=42（平方厘米）。有學生提出了兩種不同的算式：（10+4）×3=42（平方厘米）和6×（4+3）=42（平方厘米）。針對后兩種回答，大部分學生不解。教師引導學生觀察想象：“你們能不能將這個圖形割補成一個規則的圖形解答呢？”學生們動手操作，很多學生敏銳地觀察到10-4=6（厘米）、6-3=3（厘米），并借此想象，用靈活運動變化的觀點，割補法轉化成為一個完整的長方形來解答。

2.提供“典型變式”，體會“本質”

所謂“變式”，即在教學中用不同的直觀材料或實例說明事物本質屬性，或變換同類事物的非本質特征以突出事物本質特征。數學課堂中運用變式，有利于學生進行有意義的學習。教師需要給學生提供富有挑戰性的問題情境，尤其是提供一些突出知識的關鍵屬性的典型變式，來幫助學生把握事物的本質，讓學生能夠在變異中把握“不變”的本質，把不變的本質遷移運用到帶“變化”的情境中去。例如，對于“已知正方形的面積是7平方厘米，求圓的面積是多少”這道題，如果教師在平時教學讓學生分析公式中的“已知量”和“未知量”，關注數學思考，強調解題策略，學習效果就會不同。學生就會認為簡單，直接或間接地知道圓的半徑或半徑的平方就能求出圓的面積：因為R2=7，所以S=πR2=7π=21.98（平方厘米）。

3.提供“對比習題”，培養“慎思”

例如，在“圓錐體積”的練習課中，教師讓學生解答兩個對比性問題。題1：小林用橡皮泥做了等底等高的一個圓柱和一個圓錐，圓柱的體積是36立方厘米，那么圓錐的體積是（ ）立方厘米。已知圓錐的底面積是9平方厘米，它的高是（ ）厘米。題2：王師傅把一個底面積是36平方分米，高4分米的圓柱體鋼塊，鑄成一個圓錐體零件，這個零件的體積是（ ）立方分米。已知這個零件的高是9分米，那么鑄成的圓錐的底面積是（ ）平方分米。這兩道題的難度相仿，思路相近，而第二題做錯的學生接近一半，這并不是學生不理解，而是學生在大量的同類型問題解決訓練后，思維機械化、自動化了。學生一看到求“圓錐的體積”，就自然而然地將圓柱的體積除以3。所以，提供對比題，可以促使學生通過認真審題、借助直觀圖示、畫畫草圖等方法，發揮想象力，形成謹慎思考問題、深刻反思的習慣。

4.豐富實際問題解決，促進“創新”

首先教師要有效使用教材中的習題，落實一題多解、一題多變、對比訓練、改編等策略，讓實際問題更富有創意。其次教師要提供綜合性的動手操作題，讓學生在實踐中理解本質，促進學生思維創新。例如，用一張正方形的紙制作一個無蓋的長方體，怎樣制作使得體積較大？還可以提供給學生一些標準的正面實例，或非標準正例，甚至是反例，讓學生獨立思考問題，交流想法，這樣解題思路就會由“單一”變為“多樣”，更能促進學生創新思維的發展。

總之，只要教師精準把握教材，潛心設計流程，科學研發習題，既注重教學過程，關注學生的學習經歷，又重視學生的數學活動經驗積累和思維提升，切實讓數學課堂走向深入，學生學習就更有深度，數學教學就會有新的突破。

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