淺析由母題構建開放性設問對提升數學核心素養的作用

高麗

摘要：本文試圖根據近幾年開放性課堂提問的嘗試，探討提升數學素養的新途徑——由母題構建開放性設問。開放性設問非常有利于創造性思維的培養、有利于數學精神的發揚、有利于數學語言的表達，是一種值得開發的教學方式。

關鍵詞：數學；核心素養；母題；開放性設問

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）17-075-1

數學素養就是會用數學的眼光觀察世界、用數學的思維分析世界、用數學的語言表達世界[1]。本文試圖根據近幾年開放性課堂提問的嘗試，探討提升數學素養的新途徑——由母題構建開放性設問。所謂“母題”，是指誘導一個問題串的主要問題；所謂“開放性問題”，就是沒有標準的過程、沒有標準的條件和結論的問題。這種問題有利于發動學生積極探究、體驗過程，有利于創造性思維的培養、有利于數學精神的發揚、有利于數學語言的表達，是一種值得開發的教學方式。

一、請學生擬小題

母題1.將asinα+bcosα寫為Asin（α+φ）（A>0）的形式。

公式asinα+bcosα=a2+b2sin（α+φ）稱為“輔助角公式”。講完這個公式的推導后，不是讓學生訓練一系列從左到右的套用公式，而是提出

問題1：“請每個同學幫老師擬三個小題目，要求是：選擇適當的一對實數a，b，使得y=asinx+bcosx能轉化成為y=Asin（x+φ）（A>0）的形式?！?/p>

問題2：“試在黑板上這些題目中選出至少6個并作從易到難的排序?！蓖瑫r請三個同學一起上臺從易到難整理和篩選，得以下結果：

1）y=22sinx+22cosx，2）y=32sinx-12cosx，3）y=sinx-3cosx，

4）y=sinx+cosx，5）y=3sinx+4cosx，6）y=2sinx-3cosx。

問題3：“為什么要這樣排序？這幾個題目有什么特點？”

問題4：請大家“將上面的6個式子轉化一下?！薄?/p>

評析：通過這個擬小題的問題串，學生在構建習題的活動中同時感受到了動手實踐、自主探索、合作交流等多種學習方式。在尋題中發展了直觀想象素養，在整理中發展了數學抽象素養，在表述中發展了數學表達能力，在最后的解題中發展了運算素養。學生感覺到在做教師做過的事，建立了自信，可謂一舉多得。

二、帶學生探命題

母題2.已知在平面直角坐標系中，A（-2，0），B（1，3），O為坐標原點，且OM=αOA+βOB（α+β=1），若N（1，0），求|MN|的最小值。

同學們幾乎都做了同一種方法：|MN|=|OM-ON|=（-2α+β-1）2+（3β）2

=32β2-2β+1，當β=12時|MN|的最小值為322。

這時老師提出

問題1：“滿足OM=αOA+βOB（α+β=1）的M點的軌跡是什么？”

問題2：“點N到直線AB上的點的最短距離如何求出？”

問題3：“點N到線段AB上的點的最短距離如何求出？”

問題4：“設OM=αOA+βOB，則線段（而不是直線）AB上的點用向量如何表示？α+β>1和α+β<1表示M在什么位置？”

同學們表示了各自的猜想，但不能進行當場證明。老師十分簡潔地給出分析總結，得到重要命題：“已知不在原點的兩點A，B，則平面上的任何點M的位置都可以表示為OM=αOA+βOB，α+β=1，α+β>1，α+β<1分別對應點M在直線AB上，關于點O在AB的異側，關于點O在AB的同側?！?/p>

評析：帶學生探究本題，可以將數形結合思想發揮到極致，其中直觀形象和數學抽象素養也同時得到體現。本題發揮作用遠不在于題目本身，而在于探究過程，學生通過這個過程獲得了形式推理的體驗并得出一般結論，理解并表達了現實世界中事物的本質與規律，這是數學素養的重要體現。

三、讓學生做評價

母題3.討論函數y=lnx-ax的零點個數。

教師先讓學生課外解題，次日課上請同學們討論

問題1：“本題有哪些解法？”

選出不同方法的學生上臺講題，不到位的方法由老師補充，得到多種方法。

問題2：“這些方法有什么聯系和區別？哪種方法最為便捷？”

問題3：“如何討論函數y=ax-ex的零點個數？”

同學們口頭描述出五種解法。

評析：讓學生思考一題多解是從不同角度對同一個問題的分析，特別是這種零點的討論，富含直線或曲線的運動過程，對培養數學思維很有益處。而學生通過對方法的歸納總結，實質是提高了數學策略的素養，也可視作數學建模的核心素養。

綜上所述，對一個數學母題進行多方位挖掘，是學生參與數學活動的重要方式，而數學活動是數學素養生成的載體。在數學活動中，學生經歷和體驗了數學應用，感悟了數學思想方法，就會形成一種綜合性特征，這種特征會在真實情境中表現出來，生成數學核心素養[2]。因此，母題的運用，既能提高學生的解題能力，又能培養學生的數學素養，可謂一舉兩得、事半功倍。

[參考文獻]

[1]趙光禮.數學素養新思維：兒童數學素養內涵發展與評價的研究[M].北京：光明日報出版社，2012.

[2]康世剛.數學素養生成的教學研究[D].西南大學，2009.