化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討

龔澤南

【摘 要】高中生數(shù)學(xué)成績(jī)不好最重要的原因是不會(huì)利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解題。化歸思想作為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)思想，可以像橋梁一般把題目中難理解的部分變得清晰明了，以便學(xué)生更快、更簡(jiǎn)單地解決問題，所以高中生學(xué)習(xí)化歸思想是有必要的，其不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】化歸思想；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教師們一直在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的重要性與必要性，化歸思想是數(shù)學(xué)思想中的靈魂思想，在高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中格外重要。在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用化歸思想解題，可以做到更貼切的理解題目并快速找到需要的解題信息，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，所以對(duì)于高中生來說，學(xué)習(xí)化歸思想并能熟練運(yùn)用變得刻不容緩。

一、化歸思想的基本原則

（一）非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型轉(zhuǎn)化

在高中的數(shù)學(xué)知識(shí)中我們大多都是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型的討論，比如對(duì)各種圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和其圖像、對(duì)稱性等性質(zhì)的討論。所以在解決問題時(shí)，遇到不屬于標(biāo)準(zhǔn)形式的可以先進(jìn)行轉(zhuǎn)換，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型，在使用各種基本定理解答題目。

（二）復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)題目的結(jié)構(gòu)都會(huì)比較復(fù)雜，遇到這樣的題目可以先考慮通過某種運(yùn)算使得結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化，便于下手。如在解關(guān)于絕對(duì)值的不等式時(shí)，第一步是利用絕對(duì)值意義將絕對(duì)值的絕對(duì)符號(hào)去掉，使之成為一般不等式在進(jìn)行計(jì)算。

（三）陌生實(shí)例向熟悉轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)題目的題型是千變?nèi)f化的，但萬變不離其宗，當(dāng)遇到陌生的題目時(shí)，可以根據(jù)題目中個(gè)別熟悉的字眼將問題向相似的解答靠攏，這就是再向熟悉問題進(jìn)行化歸。把問題化歸成熟悉問題時(shí)，就可以利用已經(jīng)有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解答。

（四）雜亂條件向和諧轉(zhuǎn)化

問題中最容易出現(xiàn)的陷阱就是題目給出的量在其單位或者表現(xiàn)形式上并不統(tǒng)一，此時(shí)我們需要對(duì)相應(yīng)的問題進(jìn)行統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)化，從而使得問題中的量在其單位或者表現(xiàn)形式上呈現(xiàn)出統(tǒng)一狀態(tài)。例如在三角函數(shù)問題中，題目總是給出不同名的三角函數(shù)，我們需要利用正弦定理、余弦定理等將其轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的函數(shù)名再進(jìn)行計(jì)算。

（五）高層次向低層次轉(zhuǎn)化

學(xué)習(xí)每一科的知識(shí)，我們都是從低維次學(xué)起的，所以我們更容易掌握從低處所學(xué)的知識(shí)。遇到高層次的多元問題時(shí)，我們需要利用化歸思想換化多層次為低層次問題。如涉及立體幾何問題時(shí)，我們要根據(jù)題目中給出的條件把所求的問題放到相應(yīng)的平面中去解決；我們常說的消元法也就是利用了這個(gè)思想。

二、化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）函數(shù)中動(dòng)與靜的相互轉(zhuǎn)化

在高中的函數(shù)中靜態(tài)函數(shù)值和動(dòng)態(tài)的函數(shù)圖像單調(diào)性常常需要結(jié)合起來進(jìn)行探討。在解決問題的過程中有些靜態(tài)的量根據(jù)我們現(xiàn)有的知識(shí)并不能給出具體的解答，所以我們需要排除一些困難將這樣的不確定通過動(dòng)態(tài)的形式將數(shù)量表現(xiàn)出來，也就是說把靜態(tài)的量建立在動(dòng)態(tài)圖形的模型上根據(jù)單調(diào)性來進(jìn)行解答。這樣也就完成了函數(shù)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)之間的互相轉(zhuǎn)換。

例1：比較log 3和log 值的大小。

從題面上看，log 3和log 都是靜態(tài)的值，我們沒有辦法根據(jù)高中學(xué)到的知識(shí)點(diǎn)給出log 3和log 的具體值，這就需要對(duì)它進(jìn)行靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)換。對(duì)于他們可以先建構(gòu)一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)log x，題目中的兩個(gè)值分別可以看做是建構(gòu)函數(shù)的自變量是3和 時(shí)的函數(shù)值，這樣就完成了靜到動(dòng)的轉(zhuǎn)換。根據(jù)我們學(xué)到的知識(shí)畫出圖像可知函數(shù)log x在（0，+∞）的范圍內(nèi)時(shí)單調(diào)遞減函數(shù)，既而可以得到這道題的解答log 3

（二）不等式中的應(yīng)用

不等式知識(shí)點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)必修知識(shí)中基礎(chǔ)又重要的部分，也是高考中的高頻考點(diǎn)。在高考中，不等式常常和函數(shù)方程糅合到一起進(jìn)行考察。遇到這種考點(diǎn)時(shí)，我們可以利用化歸思想來把問題進(jìn)行分解處理，讓解法變得簡(jiǎn)潔明了。

比如，在“不等式恒成立求字母取值”問題中，我們常將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題以后，再化歸為不等式的求解問題。

例2：若不等式x -kx+k-1>0對(duì)x∈（1，2）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是什么？

解決本題關(guān)鍵是先分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的范圍。本題體現(xiàn)了化歸思想在解決問題中的實(shí)際應(yīng)用，問題化成形如：a=f（x）或a>f（x）或af（x）恒成立 a>f（x）max；a0可以化成（1-x）k>1-x ，在其定義域內(nèi)構(gòu)造函數(shù)y=1+x，顯然函數(shù)是增函數(shù)，所以k的取值范圍是（-∞，2]。

（三）化歸思想在數(shù)列中的運(yùn)用

數(shù)列是高考中大題的必出部分，等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和都是重點(diǎn)內(nèi)容，近年利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)也成了比較熱的問題。在練習(xí)的過程中就能發(fā)現(xiàn)數(shù)列比較靈活，并沒有比較統(tǒng)一的公式去進(jìn)行概括，但是把普通數(shù)列通過轉(zhuǎn)換向等差數(shù)列或者等比數(shù)列靠攏再利用通項(xiàng)公式解決會(huì)比較簡(jiǎn)單，在此又一次很好的體現(xiàn)了化歸思想的重要性。

例3：a =1，a -a =n-1，求a 。

左邊是類似于等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)，可以用累加的方法將左邊全部消除只留通項(xiàng)和首項(xiàng)，右邊累加化成等差數(shù)列，可得a -a =1+2+3+……+（n-1），利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得a = （n -n+2）。

三、化歸思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的策略

（一）深度挖掘數(shù)學(xué)教材中的化歸思想

化歸思想是源于普通的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的，但又高于普通的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，是有規(guī)律可循的數(shù)學(xué)思想。所以，化歸思想不是一個(gè)固定的公式或者定理，它存在于許多的數(shù)學(xué)概念之中，這就需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中盡量的細(xì)化，要不斷地去總結(jié)，發(fā)現(xiàn)不同知識(shí)中的內(nèi)在聯(lián)系，并且分析其邏輯性和隱形含義，從而達(dá)到用思想去間接去引導(dǎo)知識(shí)，將知識(shí)點(diǎn)做到融會(huì)貫通。

（二）在教學(xué)中打好基礎(chǔ)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

如果學(xué)生的大腦里沒有任何的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)是沒有辦法去培養(yǎng)他的數(shù)學(xué)思想的，相反的，如果學(xué)生們對(duì)知識(shí)點(diǎn)了如指掌那么在做題的過程中自然會(huì)呈現(xiàn)出手到擒來的感覺，所以進(jìn)行化歸思想培養(yǎng)的前提是學(xué)生要掌握好數(shù)學(xué)中的基本知識(shí)點(diǎn)和結(jié)構(gòu)。為了幫助學(xué)生們打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，教師也需要做到以下兩點(diǎn)。

首先，教師需要認(rèn)真仔細(xì)的鉆研教材。只有當(dāng)教師自己熟練掌握全盤知識(shí)， 才能在課堂給學(xué)生們講授時(shí)和盤托出。教師提前將瑣碎的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理按照不同的模塊或者性質(zhì)整理建構(gòu)出自己熟知的知識(shí)體系，再通過該體系去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自己的歸納整理。

其次，要堅(jiān)持進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)的原則。教師幫學(xué)生做的太多就會(huì)成為保姆似的教學(xué)，到最后學(xué)生只能做到死記硬背且眼高手低，難以發(fā)生知識(shí)的遷移。但如果以興趣進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，使得學(xué)生得到的知識(shí)點(diǎn)、方法和經(jīng)驗(yàn)都是通過自己的整理得出，會(huì)記憶的更為深刻，運(yùn)用也相對(duì)的靈活。

（三）培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)

（1）注重問題解決的過程性變式

利用化歸思想將抽象、不可知的問題化為具體、所熟知問題時(shí)需要一定的介質(zhì)和平臺(tái)，否則兩者之間無法建立起相應(yīng)的化歸關(guān)系。要做到這一步就需要學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)掌握全面并且思維清晰、廣闊，能在看到問題以后就在腦海里調(diào)出相應(yīng)的公式，或者有類似題目的解題方案，善于變通從問題的不同角度去分析、觀察。教師在課堂除了講授知識(shí)點(diǎn)以外應(yīng)該開闊學(xué)生的思維，并且在這過程中可以穿插一些“過程性變式”，以備在做題過程中更好地對(duì)困難問題進(jìn)行化歸。

（2）鼓勵(lì)聯(lián)想、類比

聯(lián)想就是因?yàn)槟骋桓拍罨蚰骋皇挛锒懫鸬牧硪环N相關(guān)的概念或者事物。我們習(xí)慣于用已知的知識(shí)去探究未知的知識(shí)，解題也是一樣。遇到難題時(shí)，需要通過聯(lián)想去把當(dāng)前的問題歸結(jié)到以前學(xué)過的知識(shí)里，再通過經(jīng)驗(yàn)去解決。這樣做的好處是常常能給待解決的問題提供許多的方向，從而能活躍學(xué)生的思維。

類比帶有主觀性，是指兩個(gè)事物之間會(huì)有某些性質(zhì)是相同或者相似的，那么就可以推斷這兩個(gè)事物之間其他的一些性質(zhì)也是相同或者相似的。雖然不能肯定所有的類比都是正確的，但是在做題過程中，根據(jù)類比可以提前確定好目標(biāo)，然后再根據(jù)這個(gè)方向去做一些探索或者證明，也達(dá)到了活躍學(xué)生思維的目的。

四、結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)里， 化歸思想并不僅僅用在于解決問題，它更是一種能力，一種有效的數(shù)學(xué)思維方式的顯示。充分地運(yùn)用這種化歸思想的基本原則，可以將困難簡(jiǎn)單化，讓難題也變得有跡可循。綜上所述，教師應(yīng)該在這種思想的培養(yǎng)上多下功夫，多元化的幫學(xué)生學(xué)會(huì)善于利用此思想去觀察問題。

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