從明暗兩線設計，凸顯學生主體地位

康憲剛 劉宇晟

摘 要：對于概念課教學授課教師如何突破零散講授的慣性思維，突出學生的主體地位，以北師大版九下第三章第一節圓的教學設計為例，從學生活動環節設計明線、思維訓練鋪設暗線、關注課堂生成資源三個方面介紹凸顯學生主體地位的具體做法，進而達到培養學生數學思維能力的目的。

關鍵詞：教學設計；學生主體；思維潛質

正如古希臘畢達哥拉斯學派所言，在一切平面圖形中，圓是最美的！義務教育九年級北師大版數學的最后一章（九下第三章）也是圓，希望即將畢業的初中學生圓滿地完成學業！

九下第三章的第一節是圓，主要內容是圓的概念、與圓有關的概念（弧、弦、半圓、等圓等）、點和圓的位置關系。絕大多數的老師在教學此課時，常常忽略以下三點：

忽略一：只注重點和圓的位置關系，忽略圓的概念的生成過程，不注重從集合的觀點研究圓的概念。究其原因，教師想當然地認為學生從小學到初中對圓很熟悉了，不需要細致琢磨。忽略二：不深挖教材，沒有從集合的數學思想出發，把圓的概念、圓的有關概念、點和圓的位置關系進行統一整合，統整到集合的數學思想上。常常是分散地，一個一個地講解概念。忽略三：探究活動不深入。對點與圓的位置關系進行探究，也由于圖形的形象直觀，沒有用心設計探究活動，沒有深挖為什么要用點到圓心的距離d，同樣的研究方法在前后的知識點（點與直線的位置關系）中有沒有鋪墊？

對于這樣的概念課、知識點簡單的課（從老師的角度而言），如何進行有深度的教學，如何擺脫教師以講為主的傳統形式，如何在課堂教學中凸顯學生的主體地位？我們嘗試從明暗兩線設計，突出學生數學素養的培養，凸顯學生的主體地位。即：明線為從學生學習活動的環節安排上設計了六個環節；暗線為從學生思維的訓練梯度上設計了四道習題（共9個小題）。

一、設計學生活動明線，循序漸進，滲透學習方法

學生在課堂上學習，主要途徑有動手、動口、動腦、傾聽、互助與合作，教師設計的教學活動如果能盡可能多地包含這些學習行為，則學生的主體地位很明顯地就表現出來了。這其中自然而然地包含了學習方法的滲透。為此，我們設計了如下六個環節：

活動一：實踐操作（畫圓和說圓）。請大家在紙上用圓規畫一個圓。說一說你對圓的認識（至少寫出三點）。設計意圖：與學生重溫圓規畫圓的過程，圓的相關知識，如半徑、直徑、軸對稱、面積等。

活動二：觀察思考（定義圓）。如何確定一個圓的位置和大小？請嘗試給出圓的定義。設計意圖：與學生聚集圓的兩個核心要素，定點圓心、定長半徑。從畫圓的操作過程來定義圓，初步感受滿足集合條件的定義方法。

活動三：閱讀理解（識圓一，了解圓的有關概念）。請同學們閱讀課本第65頁，完成下列問題。

1.圓上任意兩點間的部分叫做________，簡稱弧。

2.以A，B兩點為端點的弧，記作________，讀作“弧AB”。

3.小于半圓的弧叫劣弧，如記作__________。（用兩個字母）

4.大于半圓的弧叫做優弧，如記作_________。（用三個字母）

5.連接圓上任意兩點間的線段叫做_________。（如弦AB）。

6.經過圓心弦叫做___________。（如直徑AC）。

7.直徑將圓分成兩部分，每一部分都叫_________。

8.能夠重合的兩個圓叫做__________。

9.在__________________中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

設計意圖：幫助學生學會對規定性概念的閱讀理解，能在具體的圖形中舉例，滲透動點變化、動靜結合的抽象思維方法。

活動四：辨別分析（識圓二，辨別易混淆的概念）。弦與直徑的區別是什么？弧和半圓的區別是什么？設計意圖：明確強調弦、弧通過運動變化分別能轉化成直徑、半圓。

活動五：數形結合（研圓，探究點與圓的位置關系）。請同學們類比“點與直線的關系”研究點與圓的位置關系。⊙O是一個半徑為r的圓，在圓內、圓上、圓外分別取一點A、B、C，點到圓心的距離為d，請你用r和d的大小關系刻畫點的位置特征。

點A在⊙O內？圳d_____r 點B在⊙O上？圳d_____r

點C在⊙O外？圳d_______r

設計意圖：通過類比的方法，探究點與圓的三種位置關系，滲透類比的學習方法，為后續學習直線與圓、圓與圓的位置關系做方法上的鋪墊。

活動六：鞏固提升（分為基礎訓練與拓展延伸）。基礎訓練1、2、3小題，拓展延伸4小題。習題見下文。

二、鋪設思維訓練暗線，層層推進，提高思維能力

現代心理學研究表明，初中段學生的思維，正處于從形象思維向抽象思維過渡，由感性向理性升華的過程。老師在課堂教學中要抓住這一規律，設計好思維訓練題，要有思維深度，不能只停留在淺層次的思維上。盡管有較大深度的思維訓練題不是全體學生都能掌握，但應該讓全體學生了解此類知識點可以綜合到什么深度的思維訓練題。為此，我們設計了如下四道層層推進思維的習題。

1.作圖

（1）已知A點，找出到A點的距離等于2厘米的所有點組成的圖形。

（2）已知B點，找出到B點的距離小于2厘米的所有點組成的圖形。

設計意圖：進一步加深用集合的觀念去分析點的分類特征，區別圓和圓面。

2.已知⊙O的面積為9π，判斷點P與⊙O的位置關系。

（1）若PO=4.5，則點P在__________；

（2）若PO=2，則點P在___________；

（3）若PO=_______，則點P在圓上。

設計意圖：靈活運用點與圓的位置關系的知識點。

3.如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，AD=4。

（1）以點A為圓心，4為半徑作圓A，則點B、C、D與圓A的位置關系如何？

（2）若以A點為圓心作圓A，使B、C、D三點中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外，則圓A的半徑r的取值范圍是什么？

設計意圖：綜合圓的概念與點與圓的位置關系知識，進行簡單的綜合運用，鞏固勾股定理、不等式的相關知識。

4.如圖所示，在A地正北300m的B處有一變電設施，正西400m的C處有一幢民房，在BC的中點D處是一古建筑。

（1）因施工需要，必須在A處進行一次爆破。為使民房、變電設施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應控制在什么范圍內？

設計意圖：綜合運用點與圓的位置關系、勾股定理、中線等知識。

（2）若BC是一條馬路，且馬路上有行人和車輛，在爆破時也不能影響到馬路的行人和車輛，那爆破影響面的半徑應控制在什么范圍內呢？

設計意圖：綜合運用點與直線、點與圓的位置關系、勾股定理、高線等知識。

三、關注課堂生成資源，即時互動，挖掘學生思維潛質

做好教學設計工作后，我們把教學設計付諸實踐，并且在課堂教學過程中，時刻關注學生的學習狀態，處理好預設與生成的關系。

（一）用教師的激情點燃學生的激情

教師用自己對知識與能力的自信，喚醒學生對數學學習的興趣；用充滿激情的語言調動學生學習的積極性。如：學生用圓規畫完圓以后，老師拋出思考問題，為什么同學們紙上的圓有大有小？學生立刻想到了半徑不同。你知道圓的哪些知識？要大聲地說出來！在閱讀教材環節，授課教師發現好多學生沒有在學案紙上立刻書寫，就用鼓勵的語言對學生說：“要對自己的閱讀理解能力充滿自信，大膽書寫！如果有疑問，可以同桌互相交流。”在探究點與圓的位置關系時，學生很快類比出點與圓有三種位置關系時，授課教師鼓勵學生舉手回答，但好多學生沒有舉手。授課教師再次鼓勵學生，要在公眾場合勇敢地、自信地表達自己觀點或建議。

（二）敏銳地抓住課堂生成的教學資源培養學生數學素養

數學課程標準明確提出：數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志。教師要善于挖掘課堂生成資源的教育價值，要在教學實踐中分析各種現象，恰當地進行養成教育。在基礎訓練1題（2）小題的作圓時，學生圓出了圓，但沒有用陰影表示出“到B點的距離小于2厘米的所有點組成的圖形”。授課教師發現問題后，及時拋出思考問題，“本題中的兩個小題答案相同嗎？若不同怎樣區別？（2）小題正是我們辨別過的圓面，包含不包含圓（邊線）”。學生齊聲答：“不包含！”在做基礎訓練3題時，授課老師發現部分學生讀題有困難，就安排一位學生（數學成績中下）在黑板上板演做題過程。老師耐心地指導學生確定圓心，明確半徑為AD。最終，這位學生成功地完成了板演，得到了全班同學和全體聽課教師的掌聲鼓勵！

（三）熟練運用變式練習激活學生思維

眾所周知，數學課程在培養學生的抽象思維和推理能力方面具有不可替代的作用，而變式練習是激活思維的最佳方法之一。在做拓展延伸4題時，發現部分學生有遲疑，授課教師及時給予充足的時間讓學生同桌討論或前后四位同學討論，并邀請小組代表板演了（1）（2）小題的解題過程。當大家沉浸在解決了有深度思考問題的喜悅之中時，授課教師即時抓住時機，把題干中的數量變了一下，如圖所示，在A地正北70m的B處有一變電設施，正西240m的C處有一幢民房，在BC的中點D處是一古建筑。讓學生再次做（1）小題。因施工需要，必須在A處進行一次爆破。為使民房、變電設施、古建筑都不遭到破壞，問爆破影響面的半徑應控制在什么范圍內？結果很多學生都落入了套用中線解法的陷阱中，沒有抓住問題的本質是比較點與點之間的距離，要關注誰的距離更短的問題。當老師質疑學生的答案時，持正確答案的聲音逐漸由小到大，并肯定地說出答案是70米，而不是125米。這時，落入陷阱中的學生不由地發出了“哦！”茅塞頓開，豁然開朗！

參考文獻：

楊慶.初中數學關于圓的相關概念教學實踐研究[J].數學大世界，2017（9）.