“數學化”理論對初中數學教學的啟示

朱進紅

[摘 要] 弗賴登塔爾認為，數學學科的教學，需要經歷數學化的過程. 數學化就是數學地組織現實世界的過程，也是現實例子加工后變成數學概念的過程. 數學化包括水平數學化和垂直數學化. 數學化的教學過程涉及數學抽象、邏輯推理以及數學建模等，因而也是可以促進數學學科核心素養培育的.

[關鍵詞] 初中數學；數學化；數學教學

如何看待學科教學，涉及教師的教學理念，也涉及以什么樣的過程讓學生更合規律地掌握學科知識. 對于數學學科而言，數學教師均知道其是研究數與形的學科，可從教學的角度來看，對這一判斷的認識不能過于狹隘，不能據此認為數學教學就是讓學生去研究數與形. 從教學的視角來看，又或是從學生掌握數學概念規律、形成數學認知，進而形成數學問題解決能力的角度來看，教師對數學教學的認知需要向學生的生活延伸，需要基于生活元素來構建學生數學學習的基礎. 而這，就是數學化的過程.

所謂數學化，就是指人們在觀察、認識和改造世界的過程中，運用數學的思想與方法來分析和研究客觀世界的種種現象，并加以整理和組織的過程. 這樣的界定是由弗賴登塔爾給出的，其進一步指出，數學化有兩個層次：一是水平數學化，二是垂直數學化. 所謂水平數學化，就是現實問題向數學問題的轉化；所謂垂直數學化，就是水平數學化后的進一步數學化. 前者是將現實情境用數學語言進行表述，進而表征為數學問題，而后者則是將現實問題轉換之后得到的數學符號進行概念化處理，這是一個高度抽象的過程，與數學學科本質的關聯程度較水平數學化更高. 初中數學教學中，水平數學化是數學知識構建的基礎，而垂直數學化則更多地指向純粹的數學邏輯與體系. 需要指出的是，數學化的兩種層次都與數學學科核心素養密切相關，教學中不可有所偏頗.

水平數學化，疏通生活與數學聯系的關節

水平數學化是現實問題到數學問題的轉化，關于這一點，其實一線教師并不陌生，當前初中數學教學的過程中引入生活素材，以讓學生的數學思維建立于生活之上，已經成為一個基本的教學理念. 因此筆者在這里更多的想強調其中的“轉化”這一關鍵詞. 結合筆者的教學經驗，筆者以為水平數學化的關鍵在于構建與表征，即用數學思維去加工現實問題，用數學語言去表征思維的結果. 下面以“三角形全等的判定”為例，談談有效的建構與表征.

三角形全等的判定中，有一個非常有意思的現象，即教師對能夠成功判定三角形全等的方法通常都是重點講的，學生也是重點學的；但對于無法判定三角形全等的那些方法，似乎重視不夠. 如“角邊邊”雖然不是有效的三角形全等判定方法，但學生在解題當中卻又常常用到這些方法，很多時候教師都不知道學生是新學知識時沒懂，還是實際解題時誤用. 在筆者看來，這是因為學生在構建三角形全等認識時出了問題. 于是筆者就這樣設計了教學過程：在黑板上畫了一個三角形，然后讓學生用事先準備好的學具——飲料吸管進行比畫. 由于有了前面的相關證明過程，此時學生思維的重點并非要讓手中的吸管三角形與黑板上的三角形全等，而是思考利用“角邊邊”能否讓兩個三角形全等，如果不能，那其中的原因又是什么？

這個思維過程中，學生會將手中的吸管三角形進行變形，去控制一角及另兩邊相等. 這個過程中學生的思維還是很有趣的，有學生一不小心，確定了“邊角邊”，誤認為是“角邊邊”，然后認為可讓三角形全等，待到別人提醒之后，立馬像泄了氣的皮球一樣. 這個時候筆者還鼓勵他：你看，你無意當中幫大家認識到“邊角邊”和“角邊邊”是不同的！也有學生在比畫的過程中，通過吸管的變形，發現了原來“角邊邊”相等是可以出現兩種可能的，而兩種可能就意味著三角形全等不是必然的了. 這個時候，學生會興奮地利用手中的吸管進行模擬，以讓同學能夠認可兩種三角形的出現是正確的. 這種通過動作構建出來的三角形固然是思維的產物，但也可以看作是學生所構建出來的現實的三角形，這個三角形是實物體現的，更是數學角度的三角形，于是就實現了有效的構建.

在表征這個結論的時候，有學生這樣說：兩個三角形，如果只是一個角以及兩個邊相等，那這兩個三角形不一定全等. 而其他學生則迅速更正：必須強調這個角不是這兩個邊的夾角. 在這樣的語言表達過程中，可以肯定的是學生的思維必然隨著語言的運用而在大腦中浮現出相應的情形，有了表象構建，筆者以為這樣的一個數學化的過程就是成功的.

垂直數學化，完善學生基本數學認知結構

垂直數學化是水平數學化后的再次數學化，其強調基于符號認知的概念構建. 這樣的描述似乎有些抽象，但其實很好理解，如果說水平數學化是認為學生對現實問題與數學問題的認識處于橫向轉變的話，那垂直數學化就是對已經形成的數學符號認知進行深度思考，以促進數學概念的顯性形成.

眾所周知，數學學習離不開數學概念的學習. 數學概念是怎樣形成的？顯然，不是說讓學生去重復數學概念的名稱、記憶數學概念的定義就掌握了數學概念. 數學概念的形成實際上是需要經歷一個過程的，對符號化了的數學問題進一步抽象，并以合適的數學語言描述之，就是數學概念形成的重要途徑.

例如，在上面的例子中，學生已經認識到“兩個三角形，如果只是一個角以及兩個邊相等，而且這個角不是這兩個邊的夾角，那這兩個三角形不一定全等”，其實這種描述更多的還是用的生活語言，也還只是一種概述，描述的只是當時探究情境中形成的認識. 經驗表明，即時情境下學生是能夠聽得懂的，也是知道為什么的；而時過境遷，學生則有可能只知其然而不知其所以然，這意味著水平數學化的結果要想得到鞏固，還需要學生建立持久的表象以提供支撐. 而對表象的描述，則需要經歷一個垂直數學化的過程. 如筆者在教學中，讓學生清晰地構建一個表象：黑板上的三角形記作ABC，手中吸管的三角形記作. 由于BC繞B點轉動可能得到另一個三角形，所以全等是不成立的. 待這個表象清晰之后，教學就進入垂直數學化的階段.

第一步，離開具體的實物與經驗化表述，在大腦中重構表象. 這個表象就是“角邊邊”所可能出現的兩個三角形，務必讓學生大腦中的這個表象變得十分清晰. 此時教師可以讓學生將此表象與“邊邊邊”“邊角邊”等判定所用的三角形進行比較，這是一個純粹的抽象思維過程，思維加工的對象不是實物形成的表象而是學生的想象表象. 在水平數學化的基礎上進一步地抽象化處理，邁開了垂直數學化的第一步.

第二步，利用形成的想象表象，進一步抽象得出數學模型. 數學建模是數學教學的重要內容，同時也是數學學科核心素養的重要組成部分，其實，在數學化的過程中，垂直數學化的重要載體之一，就是數學模型. 在三角形全等的判定中，學生要建立的模型是不同判定法則下兩個三角形全等的模型及其數學表述. 同樣，如果說學生對有效的判定模型的認識是清晰的話，那對于像“角邊邊”這樣的判定法則的表象常常是模糊的，而這會導致問題解決過程中的誤用，因此建立它們的模型其實也是重要的. 這一步其實已經是綜合性的過程了，在上面學習的基礎上，學生將“角邊邊”的表象與數學表述結合起來，然后讓學生用語言去描述——即“說出來”. 說出來是數學表示教學思想的體現，說出來的目的是讓學生大腦中的數學模型變得清晰、準確，這可以避免學生在建模的過程中因為模型模糊而導致知識掌握不準確、應用低效等情形.

數學概念作為垂直數學化的產物，其最大的價值在于幫學生擴展、完善認知結構. 因為概念是建構數學認知的基礎，也是認知結構中的有效結點，垂直數學化的過程，在深化學生概念認識的方面是起到重要作用的.

數學化理念，奠定數學核心素養培育思路

弗賴登塔爾在界定數學化的時候，明確提出數學化的過程就是數學地組織現實世界的過程. 這意味著數學教學要堅持從現實生活出發，走向數學的思路. 尤其是對于初中數學而言，更多、更復雜的數學知識，只有有效地依靠現實生活中的事例，才能讓學生的數學學習建立在堅實的基礎之上.

從核心素養培育的角度來看，我們可以看到數學化的過程中，需要讓學生對現實例子進行數學抽象，需要讓學生基于數學邏輯進行推理，也有充分的數學建模過程. 而根據史寧中教授的界定，這三者恰恰是數學學科核心素養最重要的組成部分，因此可以認為在初中數學教學中，堅持數學化的理念，是可以促進學生核心素養的養成的. 從這個角度講，數學化的教學理念是可以立足于數學教學的傳統，面向核心素養培育的未來的.